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大学物理典型例题分析
大学物理典型例题分析
第13章光的干涉
设入射光波
例13-1如图将一厚度为I,折射率为n的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间,
,测量中点C处的光强与片厚I的函数关系。
如果1=0时,该点的强度为
(1)点C的光强与片厚I的函数关系是什么;
(2)I取什么值时,点C的光强最小。
解
(1)在C点来自两狭缝光线的光程差为
相应的相位差为
长为
nl
Io,试问:
I
0
M1
C
点C的光强为:
2
I
2
其中:
h为通过单个狭缝在点
I411cos
例13-1图
⑵当
—(n1)I
C的光强。
Ii
(n1)l
1
(k2)时
点C的光强最小。
所以
例13-2如图所示是
I(k1k1,2,3,川
2n1
种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。
其中
对完全相同的玻璃管,长为I,实验开始时,两管中为空气,在P0处出现零级明纹。
然后
在T2管中注入待测气体而将空气排除,在这过程中,干涉条纹就会移动,通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。
设l=20cm,光波波长589.3nm,空气的折射率1.000276,充一某种气体后,条纹移动
200条,求这种气体的折射率。
解当两管同为空气时,零级明纹出现在P。
处,则从S和S2射出的光在此处相遇时,
光程差为零。
T2管充以某种气体后,从s射出的光到达屏处的光程就要增加,零级明纹将要向下移动,出现在FO处。
如干涉条纹移动N条明纹,这样P。
处将成为第N级明纹,因此,充气后两光线在P0处的光程差为
n2ln1l
所以
n2l
nj
N
即
代入数据得
n2
N
l
n1
n2
200
589.3103
1.0002761.000865
0.2
例13-3.在双缝干涉实验中,波长=5500?
的单色平行光垂直入射到缝间距a=210-4m
的双缝上,屏到双缝的距离D=2m.求:
(1)中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距;
(2)用一厚度为e=6.610-6m、折射率为n=1.58的玻璃片覆盖一缝后,零级明纹将移到原来的第几级明纹处?
D
解:
(1)因为相邻明(暗)条纹的间距为T,共20个间距
x20—0.11m
所以a
(2)覆盖玻璃后,零级明纹应满足:
r2(r1e)ne0
设不盖玻璃片时,此点为第k级明纹,则应有
r2r1k
所以(n1)ek
(n1)e
k6.967
零级明纹移到原第7级明纹处.
例13-4薄钢片上有两条紧靠的平行细缝,用波长=5461?
的平面光波正入射到钢片
上。
屏幕距双缝的距离为D=2.00m,测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为x
=12.0mm.,
(1)求两缝间的距离。
(2)从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹,共经过多大距离?
(3)如果使光波斜入射到钢片上,条纹间距将如何改变?
2kD
x
解
(1)d
2kd
d
x
此处k5
10D
d0.910mm
x
(2)共经过20个条纹间距,即经过的距离
d
(3)不变。
例13-5如图波长550nm的光线垂直入射在折射率匕1.5照相机镜头上,其上涂了一层折射率n21.38的氟化镁增透膜,问:
若在反射光相消干涉的条件中取k=l,膜的
厚度为多少?
此增透膜在可见光范围内有没有增反?
解因为ni1 时(2k1)- 代入k=1和n2求得: 3355010 d 4n241.38 2.982107m 此膜对反射光相干相长的条件: 2n2dk将d代入 k11855nm k22412.5nm k33275nm 波长412.5nm的可见光有增反。 例13-6.在Si的平面上形成了一层厚度均匀的SiO2的薄膜,为了测量薄膜厚度,将它 的一部分腐蚀成劈形(示意图中的AB段)。 现用波长为600.0nm的平行光垂直照射,观 察反射光形成的等厚干涉条纹。 在图中AB段共有8条暗纹,且B处恰好是一条暗纹,求薄膜的厚度。 (Si折射率为3.42,SiO2折射率为1.50) 解: 上下表面反射都有半波损失,计算光程差时不必考虑附加的半波长,设薄膜厚度为e。 B处暗纹有: B处第8条暗纹对应上式k7 (2k1)3 e1.510mm 4n 例13-7为了测量金属细丝的直径,把金属丝夹在两块平玻璃之间,形成劈尖,如图所 示,如用单色光垂直照射,就得到等厚干涉条纹。 测出干涉条纹的间距,就可以算出金属 丝的直径。 某次的测量结果为: 单色光的波长 589.3nm,金属丝与劈间顶点间的距离 L=28.880mm,30条明纹间得距离为4.295mm,求金属丝的直径 解30条明纹29个间距,相邻两条明纹间的间距为 4.295 Imm 29 其间空气层的厚度相差2,于是 Isin 其中为劈间尖的交角,因为 2 很小,所以 sintg D- I2 代入数据得 0.05746mm 例13-8在牛顿环实验中用紫光照射,借助于低倍测量显微镜测得由中心往外数第k级 33 明环的半径,径rk3.010m,k级往上数第16个明环半径rk165.010m,平凸透 镜的曲率半径R=2.50m。 求: 紫光的波长? 解根据明环半径公式: 22 「k16m16R 4.0107m (5.0103)2(3.0103)2 162.50 以其高精度显示光测量的优越性。 10cm长的玻璃管A、B,其中一个抽成 107.2条条纹移动,所用波长546nm。 例13-9在迈克耳孙干涉仪的两臂中分别引入真空,另一个在充以一个大气压空气的过程中观察到 求: 空气的折射率? 解: 设空气的折射率为n,两臂的光程差为 2nl2l2l(n1) 相邻条纹或说条纹移动一条时,对应光程差的变化为一个波长,当观察到107.2条移过 时,光程差的改变量满足: 2l(n1)107.2 107.2 n11.0002927 2l 例13-10如图所示,牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小空气缝隙仓,现用波长 为的单色光垂直照射,已知平凸透镜的曲率半径为R,求反射光形成的牛顿环的各 暗环半径。 解: 设某暗环半径为r,由图可知,根据几何关系,近似有 1 2e2e°(2k1)⑵ 22 式中k为大于零的整数,把式 (1)代入式 (2)可得 r,R(k__2^0] 方法是将已知半径的平凸透 例13-11利用牛顿环的条纹可以测定平凹球面的曲率半径,镜的凸球面放置在待测的凹球面上,在两球面间形成空气薄层,如图所示。 用波长为 平行单色光垂直照射,观察反射光形成的干涉条纹,试证明若中心0点处刚好接触,则第k个暗环的半径rk与凹球面半径r2,凸面半径R(R%艮)及入射光波长的关系为: eq e2 由几何关系可得近似关系: 2R 第k个暗环的条件为: 大学物理典型例题分析 第14章光的衍射 例14-1水银灯发出的波长为546nm的绿色平行光,垂直入射于宽0.437mm的单缝缝 后放置一焦距为40cm的透镜,试求在透镜焦面上出现的衍射条纹中央明纹的宽度。 解: 两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹宽度,对第一级暗条纹(k=1)求出其衍 射角 1sin1_ a 21 2 a 中央明纹角宽度为 透镜焦面上出现中央明纹的线宽度 2f x2ftg12f1 a 中央明纹的宽度与缝宽a成反比,单缝越窄,中央明纹越宽。 1和2并垂直入射于单 的单缝上, P点而言 X sintgf⑵ 联立式 (1)式 (2)得 ax1 k f2 例14-2在某个单缝衍射实验中,光源发出的光含有两种波长 缝上,假如1的第一级衍射极小与2的第二级衍射极小相重合,试问: (1)这两种波长之间有何关系? (2)在这两种波长的光所形成的衍射图样中,是否还有其他极小相重合? 解 (1)由单缝衍射的暗纹公式: asin11 asin222 因为1的第一级暗纹与2的第二级暗纹重叠有 12,1 22 (2) asin1k11 2k12 (1) asin2k22 (2 ) 由式 (1)式⑵当 k222k〔2 即 k22k1时,1 2 则相应的两暗纹重垒。 例14-3若有一波长为600nm的单色平行光,垂直入射到缝宽a=0.6mm 缝后有一焦距f=40cm的透镜。 试求: (1)屏上中央明纹的宽度; (2)若在屏上P点观察到一明纹,op=1.4mm问P点处是第几级明纹,对狭缝处波面可分成几个半波带? 解: (1)两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹的宽度 当k3时,可分成2k17个半波带。 例14-4波长=6000? 的单色光垂直入射到一光栅上,测得第二级主级大的衍射角为300且第三级是缺级。 (1)光栅常数等于多少; (2)透光缝可能的最小宽度a等于多少; ⑶选定了上述d和a后,求在屏幕上可能呈现的主级大的级次。 解 (1)由光栅衍射,主极大公式: dsink 2.4106m (2)由光栅公式知第三级主级大的衍射角的关系式: a,的方向应是单缝衍射第一级暗纹的方向,即 dsin90° dsin3 (1) asin (2) 由式 (1)式 (2)可得 d l.r6 a 0.810m 3 (3)由 dsin k 由于第三级缺级,对应于最小可能的 kmax 因为第3级缺级,所以实际呈现: k0,1,2.等各级主级大,第4级看不见。 例14-5一台光谱仪备有1500条/mm,900条/mm和60条/mm三块光栅,今欲用它测量波长约为710-4mm的红光波长,选用那块光栅比较合适? 试用1500条/mm的光栅观察 1mmab 1500 sin1.05k ab sin1,所以k仅能取0,故此光栅不合适。 试用900条/mm的光栅观察 a .1 bmm 900 sin k 0.63k ab sin 0.63 36°,出现第一级主极大位置适合观察,故选此光栅较合适。 试用60条/mm的光栅观察: ab 1 mm 60 k sin ab 0.042k sin k 0.042k ab 取k 1, sin1 0.042, 20 1 取k 2, sin2 0.084, 24.80 条纹间距太小, 不适合。 例14-6用每毫米刻有500条栅纹的光栅,观察钠光谱线,589.3nm,问: (1)平行光线垂直入射时,最多能看见第几级条纹? 总共有多少条条纹? (2)平行光线以入射角300入射时,最多能看见第几级条纹? 总共有多少条条纹? (3)由于钠光谱线实际上是波长i589・0nm及2589.6nm,两条谱线的平均波长, 求在正入射时最高级条纹将此双线分开的角距离及在屏上分开的线距离。 设光栅后透镜的焦 距为2m.。 解 (1)根据光栅方程(ab)sink kUin 可见k的可能最大值相应于,sin1按题意知,光栅常数为 代入数值得 其中衍射角入射角i为代数量, 斜入射时的光栅方程为: 取ki1 而在o点下方观察到的最大级次为k2,取90°得 (ab)sin(90°)sin30°k2 (ab)(1°95)5.09 589.310 取k25 所以斜入射时,总共有5,4,3,2,1,0,1,共7条明纹。 (3)对光栅公式两边取微分 (ab)coskdkkd 波长为及d的第k级的两条纹分开的角距离为 kd dk (ab)cosk 106cos62°7 钠双线分开的线距离 例14-7一双缝,缝距d=0.40mm,两缝宽度都是a=0.08mm,用波长为=4800? 的平行光垂直照射双缝,在双缝后放一焦距f=2.0m的透镜,求: (1)在透镜焦平面处的屏上双缝干涉条纹的间距X; (2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目。 解: (1)双缝干涉第k级亮纹条件: dsink 第k级亮纹在屏上的位置: Xkftg fsin fkd 相邻亮纹的间距: XXk1Xk f d 2.4 103m 2.4mm 单缝衍射中央亮纹包迹内,可能有主极大的数目为: d0.40「 5 又因a0.08 所以: 双缝衍射±5级主极大缺级。 在单缝衍射中央亮纹范围内,双缝干涉亮纹数目为: N9,即k0,1,2,3,4。 3 例14-8一衍射光栅,每厘米有200条透光缝,每条缝宽为a210cm,在光栅后放一焦距f1m的凸透镜,现以6000人的单色平行光垂直照射光栅,求: (1)透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少? (2) 在该宽度内,有几个光栅衍射主极大? 单缝衍射第1级暗纹的条件: asin1 asin1atg1a7即f (ab)(sinOsin30°)2 (ab)sin(90°)sin30°k 大学物理典型例题分析 第15章光的偏振 102 cos 2 系统出射的光强为 虫sin22t 8 h(icos4t) 16 t=00,900,1800,2700时,输出光强为零。 I0 tt=450,1350,2250,3150时,输出光强为8。 t每旋转偏振片p一周,输出光强有“四明四零”。 例15-3在两个偏振化方向正交的偏振片之间插入第三个偏振片。 (1)当最后透过的光强为入射自然光强的1/8时,求插入第三个偏振片偏振化的方向; (2)若最后透射光强为零,则第三个偏振片怎样放置? 解 (1)设插入的第三个偏振片偏振化方向与第一个偏振片偏振化方向的夹角为,则与 第三个偏振片偏振化方向的夹角为 (2),设入射线自然光的强度为10 光经过三个偏振片后的光强为: 102 Icos 2 I土 2/ cos(— 2 )丄 8sin2 已知 8 解得 sin2 1, 450 其中: 为插入的偏振片与第一个偏振片之间偏振化方向的夹角。 (2)同理 I10COS2cos()0 22 解得Sin20, 。 。 或- 例15-4一束光是自然光和偏振光的混合光,让它垂直通过一偏振片,若以此入射光束 为轴,旋转偏振片时,测得透射光强强度的最大值是最小值的5倍,求入射光束中,自然光 与线偏振光的光强比值。 解: 设入射光束中自然光强为I。 ,线偏振光的光强为Ii,则垂直通过一偏振片后,透射 光强最大时,线偏振光全通过,透过偏振片的自然光强度始终为2 1max Ii 透射光强最小时,线偏振光被偏振片完全吸收 又因为 即 所以 0 min 2 5 I5I maxmin I0 2 0 Ii Io Ii 例15-5已知方解石晶体的o光和e光的折射率分别为no=i.658,ne=1.486今将该 晶体做成波晶片,使光轴与晶面平行,用波长为589.3nm的单色偏振光入射,光的振 动方向与光轴成=45°角,若使出射光是圆偏振光,问这镜片的最小厚度是多少? 解: 要使透过波晶片的光是圆偏振光,除满足题中给的条件=45。 ,使Ao=Ae外,还 要求晶片有特定的厚度d,从而使o光和e光的相位差为/2,光程差为/4,即对波 长为589.3nm的光而言是四分之一波片。 (none)d; d0.86m 4(n°n°) 则晶片的最小厚度为: °86m
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