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261锐角三角函数
26.1锐角三角函数第1课时
邢台市内丘县侯家庄中学杜利敏
一,教学目标:
(一)知识与技能:
1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值是固定值,引出正切的概念.
2.理解锐角正切的概念并能根据正切的概念进行计算.
3.会计算特殊角的正切值.
(二)过程与方法
1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实生活与数学的联系.
2.经历正切概念的形成过程,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,同时培养学生的归纳推理能力.
(三)情感态度与价值观
1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.
2.通过主动探究,合作交流,培养学生的合作意识,同时体验成功的快乐.
二,教学重点与难点
【重点】 理解正切函数的意义,并会求锐角的正切值.
【难点】 理解直角三角形中的锐角,它的对边与邻边的比值是固定值.
三,教学准备
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P104,106.
四,教学过程
复习提问:
1.直角三角形有哪些特殊性质?
2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质?
3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质?
导入:
【课件展示】 如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?
(结果保留两位小数)
教师提问:
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在RtΔABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5km,求BC长度的问题)
【师生活动】 教师提示学生将实际问题转化为数学问题,学生思考回答,教师点评.
[过渡语] 解决此问题,需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系,即锐角三角函数,今天我们学习第一种锐角三角函数——锐角的正切.
[设计意图] 通过问题情境提出如何求轮船距灯塔的距离,激发学生学习和探求新知识的欲望.通过复习和本节课有关的直角三角形的知识导入新课,为本节课的学习做好铺垫.通过导入把实际问题转化为数学问题,让学生初步感知直角三角形中边角之间存在着某种关系,体会生活与数学之间的密切联系.
新知构建:
共同探究 直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值
【课件展示】
如图所示,在RtΔABC中和RtΔA'B'C'中,∠C=∠C'=90°.当∠A=∠A'时,与具有怎样的关系?
思路一
教师引导思考:
(1)如何证明线段成比例?
(三角形相似)
(2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?
(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴RtΔABC∽RtΔA'B'C')
(3)由三角形相似的性质可以得到与之间的关系吗?
∵RtΔABC∽RtΔA'B'C',
∴
(4)你能用语言叙述这个结论吗?
(当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关)
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示后,教师作出点评.
【师生活动】 学生尝试叙述结论,教师归纳完整.
结论:
当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关.
[过渡语] 在上图中的两个直角三角形中,相等的角所对的直角边与邻边的比值是相等的,在下图中,上述结论是否还正确呢?
【课件展示】
思路二
教师展示课件后,小组合作交流,共同探究,写出结论,说明理由.教师对有困难的学生进行分析指导,对学生的展示进行点评.
如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为C,C'.与具有怎样的关系?
【师生活动】 学生类比上边的思考方法,独立思考后,小组内交流答案,教师及时发现问题,及时帮助解决问题.
追问:
根据以上两个图形中角的对边与邻边的比的探究,你能得到什么结论?
【师生活动】 学生独立思考后回答,教师点评,规范归纳的结论.
【课件展示】 在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的RtΔABC的两条直角边的比是确定的.
[设计意图] 通过教师引导或独立思考后小组合作交流,让学生感知并证明锐角一定时,它的对边和邻边的比是定值,为引出正切的概念做好铺垫,同时培养学生观察、思考及合作交流的能力.
形成概念
[过渡语] 在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与邻边的比是固定值,那么这个固定值被定义为什么呢?
【课件展示】 如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=
.
大家谈谈:
(1)∠A的正切tanA表示的是tan与A的乘积还是一个整体?
(tanA表示的是一个整体)
(2)当∠A的大小变化时,tanA是否变化?
(tanA随着∠A的大小变化而变化)
(3)tanA有单位吗?
(tanA是一个比值,没有单位)
(4)∠B的正切怎么表示?
tanA与tanB之间有怎样的关系?
(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?
(需要知道这个锐角的对边和邻边)
(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗?
(根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)
【师生活动】 学生独立思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点评.
[设计意图] 在解决一系列的问题中,经历建立数学概念的过程,让学生全面理解正切的概念、写法和意义,教师强调概念中注意的事项,使学生加深对正切概念的理解和掌握.
例题讲解
(教材105页例1)在RtΔABC中,∠C=90°.
(1)如图
(1)所示,∠A=30°,求tanA,tanB的值.
(2)如图
(2)所示,∠A=45°,求tanA的值.
【师生活动】 学生独立思考完成,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师巡视、观察学生的解答情况,对发现的问题及时解决,并对学生的展示进行点评和规范做题步骤.
[设计意图] 学生独立完成该问题的理解和解答,巩固了对正切的概念的理解和应用,为下节课学习特殊角的三角函数值做好铺垫,同时教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力.
课堂小结:
1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与邻边的比值是一个固定值.
2.正切的定义:
在RtΔABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA。
五,检测反馈:
1.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c,则tanA等于( )
2.把ΔABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值( )
A.不变B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍D.不能确定
解析:
因为ΔABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正切值也不变.故选A.
3.已知RtΔABC中,∠C=90°,tanA=,BC=12,则AC等于 .
tan30°
4.计算2tan45°+3
解析:
根据正切定义可得tanA=,所以AC=9.故填9
tan80°
5.tan30tan60°
6.tan10°
六,归纳小结(主要由学生完成)
1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与邻边的比值是一个固定值.
2.正切的定义:
在RtΔABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=
.
板书设计
26.1锐角三角函数第1课时
共同探究 直角三角形中锐角一定时,它的对边与邻边的比是定值
形成概念
例题讲解
七,作业布置:
必做题:
教材第106页习题A组第1,2题.
选做题:
教材第106页习题B组第1,2题.
八,教学反思:
成功之处:
本节课通过复习特殊角直角三角形的性质,为探究锐角的正切概念做好铺垫,同时以具体情境引入新课,让学生体会数学与生活息息相关,激发学生学习兴趣,并初步感受直角三角形中边角之间的关系.然后通过学生自主探究、合作交流等数学活动,归纳出结论:
直角三角形中锐角一定时,它的对边与邻边的比相等.从而自然引出正切的概念,顺理成章完成知识的迁移,培养了学生发现问题、探究思考与合作交流的能力.在课堂上,学生参与意识较强,课堂气氛活跃,让不同的学生得到不同的发展,突出了学生在课堂上的主体作用.
不足之处:
本节课通过探究直角三角形中锐角的对边和邻边的比是固定值,由此归纳总结正切定义.在教学设计中,注重知识间的联系,由前边所学知识自然推导结论,由结论自然导出正切概念,但在授课过程中忽略了学生的认知能力,部分学生对正切的理解有困难.在以后的教学中,给出正切定义后,应给出几个简单的练习题,加深学生对概念的理解和掌握。
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