5群的自同构群.docx
- 文档编号:27392587
- 上传时间:2023-06-30
- 格式:DOCX
- 页数:6
- 大小:52.31KB
5群的自同构群.docx
《5群的自同构群.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《5群的自同构群.docx(6页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
5群的自同构群
§8群的自同构群
给定一个群,可以有各种方式产生新的群。
比如,给定群G的任何一个正规子群N,就可以产生一个商群%,它就是一种新的群。
本节要讲的自同构群也是一种产生新的群的方法。
自同构群的定义:
定理1设M是一个有代数运算的集合(不必是群),则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群,称为M的自同构輕。
延明_设6厂是M的任意两个自同构,则Va,bwM,有
(jr(ab')=(j[T(ab)]=cr[T(a)T(b)]=a(T(a))a(T(b))=ar(a)ar(b),即or也是M的一个自同构。
这表明,全体自同构关于变换的乘法封闭。
又因为\/xeM有87(乂)=0^6»=兀,故
a~l(ab)=cr_l[o;cr_l(a)acr~l(b)]=cr_I[cr(cr_1(Z?
))]=cr_1(a)a~l(b)
即o-_,也是M的一个自同构。
群的定义的第3条成立。
■
另外,变换的乘法显然满足结合律,且恒等变换就是单位元,群的定义的第1、2条也成立。
所以,M的全体自同构关于
变换的乘法作成一个群。
注意:
前面有M的全体双射关于变换的乘法作成一个群,记为S(M),称为M的对称群。
定理1表明M的自同构群是S(M)的一个子群。
推论1群G(在定理1中取M=G)的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
这个群叫作群G的自同构群,记作AutGo由上面,如果\G\=n9则AutG 例1求Klein四元群 K4={(0(12)(34),(13)(24),(14)(23)}={匕%,计 的自同构群。 解VbwAutK"由于o■是自同构,必有6>)=幺(幺元变成幺元)。 又由于b是双射,因此: 、;1其中 锐b(d)(y(b)b(c)丿 cr(a)Q(b),cr(c)是ci,b,c的全排列。 每个全排列不一定都是自同构,但根据©的运算特点,可以验证这些全排列都是心的自同构。 例如,设6X)二匕cr(a)二b,cr(Z? )二a,cr(c)二c,则可以验证它是心的自同构: cr(ab)=b(c)=c=ba=a(a)a(b),a(ac)=cr(Z? )=a=bc=a(a)a(c),•••・ 由于a,b,c的全排列共有6个,与D同构,因此心的全体自同构也有6个,Aut/C4=S3o (2)巴阶循环群的自同构群是一个似>)阶的群,其中似>)是欧拉函数(即小于巾且与料互素的正整数的个数)。 证明由于在同构映射下,循环群的生成元与生成元相对应,而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。 因此,一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。 例如, I 设G=是由G生成的循环群,则当乞是小于巾且与料互素的正整数时,也是G的生成元,即G= G^G,ak(a)=ak,则有耳(心=川,且al#aj时, ==d+从=aikajk, 即6是G的自同构。 由于无限循环群只有2个生成元,比阶循环群只有0")个生成元,所以其自同构群分别为2阶循环群和似>? )阶的群。 例2 (1)求G=va>,1小=4,4阶循环群的自同构群。 (2)求G=va>,Ial=5,5阶循环君丰的自同构群。 0(5)=4,4个生成元为a,a2,a3,a4,从而AlltG=低",辺,q}, 推论2无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同构。 证明由定理2知,这两种群的自同构群都是2阶群,2是素数,所有2阶群都彼此同构,都与2次单位根群同构。 注意: 定理2说明一件事实,即不同的循环群其自同构群可以相同。 3^内自同构群 定理3设G是一个群,ueG,则 (1): xToraj,(VxwG)是G的一个自同构,称为G的内 自同构; (2)G的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群,称为 G的内自同构群,记为InnG; (3)InnG 证明 (1)易知6是G的一个双射变换。 又 6(小)=a(xy)a~l=(axa~l)(aya~")=cr/x)cr/y), 所以6是G的一个自同构。 (2)设6与叭是G的任何两个自同构,则VxeG, =^a(bxb~l)=a(bxb'l)a~l=(ab)x(ab)~l=aab(x),即有仍是一个内自同构,此表明InnG关于变换的乘法封闭。 又易知(o-J-1elnnG,且空之是幺元,结合律显然成立,所以InnG关于变换的乘法作成一个群。 ■ (3)VreAutG,Vo-(/elnnG,VxeGo令n,即r{y)=x,则T(yar-[(x)=rat(y)=T(aya~[)=r(6f)r(y)r(^_,)=T(a)xr(ay[=crr(a)(x),由x的任意性有TdaT~[=(jr(a)elnnG,所以InnG 注意: 设N 这就是说,£的正规子群就是对£的任何内自同构都保持不变的子群: NvGO\/crwInnG,c(N)oNo 因此,也常称正规子群为不变子群。 群的中心: 称C(G)={a\ax=xayxeG}为群的中心,即群G的中心就是与G的所有元素都可交换的元素组成的集合。 根据中心的定义,显然有C(G)vG。 定理4.%(G)三InnG. 证明利用同态基本定理。 令 0: GtInnG,(p(a)=(Ja(\faeG), 显然,这样定义的炉是满射。 由定理3知=%,即 0仙)=(p{a)(p(b),所以0是满同态。 又 ( Ker0={c“0(d)=£,awG}={c/a(i=w,dwG}={ab“(x)=x,awG,\/xwG} ={aaxa~l=x,aeG,\/xeG^=^aax=xa,awG,X/xwG}=C(G)o由同态基本定理,有%(G)三InnG. 注意: 定理4表明,要求G的内自同构群InnG,只需求出G的中心C(G),再作商群%(g),即得InnG,所以求一个群的内自同构群相对容易些。 但是要求出一个群的自同构群AutG,一般来说是非常困难的。 这是因为,在大多数情况下,一个群本身的性质不能转移到它的自同构群上去。 例如,由例1知,交换群的自同构群可以是非交换群,Aug三S3;推论2表明,不同构的群它们的自同构群可以同构。 但是,有些群如素数阶循环群的自同构群能够完全确定。 定理4・设G=是由。 生成的〃阶循环群,〃是素数,则 AutG是p-1阶的群,且AutG^Z;,>o 这里Z;={l,2,・・・,p-1},乘法指模p乘法。 证明略。 4o正规子群的推广 前面有,正规子群就是对G的所有内自同构都保持不变的子群,将这一概念推广就得到: (1)特征子群: 对群G的所有自同构都保持不变的子群叫做G的一个特征子群,即Vo-eAutG都有uN。 例3,任何群g的中心c(g)都是g的特征子群。 证明只需证明Vo-eAutG都有cr(C(G))匸C(G),亦即VcreAutG,V%eC(G)都有b(x)wC(G)。 验证: VaeG,(j(x)a=(a))= =(a)x)二<7(cr_1(d))cr(x)=aa(x), 所以b(x)wC(G),结论成立。 注意: 显然,特征子群一定是正规子群;但反之不成立,即正规子群不一定是特征子群。 例如,取G=K4={£,a,b,c},N={e,a},则N 取6K4TK4,a(e)=e,a(a)=b,a(b)=a,cr(c)=c,则前面例1已验证b是©的一个自同构,对此自同构 1 cr(7V)={e.b}={e.a}, 所以心不是特征子群。 (2)全特征子群: 设H 例4证明: 循环群G=<a>的子群都是全特征子群。 证明由于循环群的子群还是循环群,所以可设H=">。 例0: GtG是任何自同态,则存在『,使得0(a)=R。 于是\/askeH,有(p(ask)=(ask=(as)kreH,所以H是G的一个全特征子群。 注意: 显然,全特征子群一定是特征子群;但反之不成立,即特征子群不一定是全特征子群。 例如,群的中心总是特征子群(例3),但不一定是全特征子群。 例5有理数域Q上的2阶线性群G=GUQ)的中心 C(G)={4|AwG,A=a/,gO,aw! 2}(高等代数结论),则C(G)不是全特征子群。 证明首先VAeG,即A为有理数域上的2阶满秩方阵,则b 行列式IAl是一个有理数。 因此可令IAI=—・2川川,其中°上Cl 是奇数,"(A)是与A有关的一个正整数,由4唯一确定。 设⑻=£・2"⑻,其中c,d是奇数。 则I仙1=14IIB畔.2"⑷曲)bd.ac是奇数,所以n(AB)=n(A)^n(B)。 于是令 。 fl77(A) /Gtg,人―]。 [y由于 flfln(A)+n(B))fln(A)V1 lo1JloI丿(01丿(01丿ws, 故0是G的一个自同态。 关于此自同态,取 A=PM=2/eC(G),贝"1=4=2园,n(A)=2,所以(UZ) (\2) 0(A)=[oJ*CQ),这说明C(G)不是全特征子群。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 自同构