解三角形知识点汇总情况和典型例题docx.docx
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解三角形知识点汇总情况和典型例题docx
实用标准
解三角形讲义
授课对象
杨文、黄银
授课教师
程锐
授课时间
3月11日
授课题目
解三角形复习总结
课
型
复习课
使用教具
人教版教材
教学目标
熟练掌握三角形六元素之间的关系,会解三角形
教学重点和难点
灵活解斜三角形
参考教材
人教版必修5第一章
教学流程及授课详案
解三角形的必备知识和典型例题及详解
文档
一、知识必备:
1.直角三角形中各元素间的关系:
在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。
(1)三边之间的关系:
a2+b2=c2。
(勾股定理)
(2)直角之间的关系:
A+B=90°;
(3)边角之间的关系:
(直角三角函数定义)
aba
sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=。
ccb
2.斜三角形中各元素间的关系:
在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边。
(1)三角形内角和:
A+B+C=π。
(2)正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
abc
2R(R为外接圆半径)
sinAsinBsinC
(3)余弦定理:
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。
3.三角形的面积公式:
(1)S
(2)S
=1aha=1bhb=1chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);
222
=1absinC=1bcsinA=1acsinB;
222
4.解三角形:
由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)
求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平
分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型:
2
(1)两类正弦定理解三角形的问题:
第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.
(2)两类余弦定理解三角形的问题:
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.
5.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
(1)角的变换
因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。
ABCABC
sincos,cossin;
2222
(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.
6.求解三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:
分析题意,弄清已知和所求;
(2)建模:
将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图;
(3)求解:
正确运用正、余弦定理求解;
(4)检验:
检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析
题型1:
正、余弦定理
例1.
(1)在
ABC中,已知A32.00
,B
81.80
,a
42.9cm,解三角形;
(2)在
ABC中,已知a
20cm,
b28
cm,A400
,解三角形(角度精确到
10,边长精
3
确到1cm)。
解:
(1)根据三角形内角和定理,
C1800(A
B)
1800
(32.0081.80)66.20;
asinB
42.9sin81.80
根据正弦定理,b
sinA
sin32.0
0
80.1(cm);
根据正弦定理,
c
asinC
42.9sin66.20
74.1(cm).
sinA
sin32.00
(2)根据正弦定理,
sinBbsinA
28sin400
0.8999.
a
20
因为00
<B<1800,所以B
640,或B1160.
①当B
640
时,
C
1800
(A
B)
1800
(400
640)760
,
c
asinC
20sin76
0
30(cm).
sinA
sin400
②当B
1160时,
0
0
0
0
0
asinC
20sin240
C180
(A
B)
180
(40
116
)
24
,c
sinA
sin400
13(cm).
点评:
应用正弦定理时(
1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,
可能有两解的情形;
(2)
对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
题型2:
三角形面积
例2.在
ABC中,sinA
cosA
2,AC
2,AB
3,求tanA的值和
ABC的面积。
2
解法一:
先解三角方程,求出角
A的值。
sinA
cosA
2cos(A
45)
2,
2
cos(A
45)
1.
2
又0A
180,
A45
o
60
o
A
o
105.
4
tanA
tan(45o
60o)
1
3
2
3,
1
3
sinA
sin105sin(45
60)sin45cos60
cos45sin60
2
6
.
4
SABC
1
AC
ABsinA
1
2
3
2
4
63(
2
6)。
2
2
4
解法二:
由sinA
cosA计算它的对偶关系式
sinA
cosA的值。
sinA
cosA
2
①
2
(sinA
cosA)2
1
2
2sinAcosA
1
2
Q0o
A
180o,
sinA
0,cosA
0.
另解(sin2A
1
)
2
(sinA
cosA)2
1
2sinAcosA
3
2
sinA
cosA
6
②
2
①+②得sinA
2
6
4
。
①-②得cosA
2
4
6。
从而tanA
sinA
2
6
4
2
3。
cosA
4
2
6
以下解法略去。
点评:
本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力,是
一道三角的基础试题。
两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢?
题型3:
正、余弦定理的综合应用
例3.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2
5
bsinB
-c2=ac-bc,求∠A的大小及
的值。
c
分析:
因给出的是
a、b、c之间的等量关系,要求∠
A,需找∠A与三边的关系,故可用余弦定
理。
由b2=ac可变形为
b2
=a,再用正弦定理可求
bsinB
c
c
的值。
解法一:
∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac。
又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。
b2
c2
a2
bc
1
在△ABC中,由余弦定理得:
cosA=
2bc
=2bc=
2
,
∴∠A=60°。
在△
中,由正弦定理得
sin
B
=bsinA
,∵
2=
ac
,
ABC
a
b
∠A=60°,
bsinB
b2sin60
3
∴
=sin60
°=。
c
ac
2
解法二:
在△ABC中,
由面积公式得
1bcsinA=
1
acsinB。
2
2
∵b2=ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB。
∴bsinB=sinA=
3。
c
2
评述:
解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型4:
正、余弦定理判断三角形形状
例4.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
答案:
C
6
解析:
2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
∴sin(A-B)=0,∴A=B
另解:
角化边
点评:
本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向,通
畅解题途径
题型5:
三角形中求值问题
例5.ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA2cosBC取得最大值,并
2
求出这个最大值。
解析:
由A+B+C=
B+C
π
A
B+C
A
π,得
=
-,所以有cos
2
=sin。
2
2
2
2
B+C
=cosA+2sin
A
A
A
A
1
3
cosA+2cos
2
=1-2sin2+2sin
=-2(sin
-)2+
;
2
2
2
2
2
2
A
1
π
B+C
3
当sin
=,即A=
时,cosA+2cos
取得最大值为
。
2
2
3
2
2
点评:
运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,
通过三角函数的
性质求得结果。
题型6:
正余弦定理的实际应用
例6.(2009
辽宁卷文,理)如图,
A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,
B,D为两岛上的
两座灯塔的塔顶。
测量船于水面
A处测得B点和D点的仰角分别为
750
,300
,于水面C
处测得B点和D点的仰角均为
600
,AC=0.1km。
试探究图
中B,
D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求
B,D的距离(计
算结
果精确到0.01km
,
21.414
,
6
2.449)
7
解:
在△ABC中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
AB
AC
故CB是△CAD底AD的中垂,所以BD=BA,
在△ABC中,sinBCA
sinABC
ACsin60
326
即AB=sin15
20
3
2
6
0.33km。
因此,BD=
20
故B,D的距离0.33km。
点:
解三角形等内容提到高中来学,又近年加数形合思想的考和三角要求的降低,
三角的合考将向三角形中伸展,但也不可太,只要掌握基本知、概念,深刻理解其中
基本的数量关系即可关。
三、思
1.解斜三角形的常思方法是:
(1)已知两角和一(如A、B、C),由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b;
(2)已知两和角(如a、b、c),用余弦定理求c;再用正弦定理先求短所的角,然后利用A+B+C=π,求另一角;
(3)已知两和其中一的角(如a、b、A),用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再
由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况;
(4)已知三a、b、c,余弦定理求
A、B,再由A+B+C=
π,求角C。
2
.三角学中的射影定理:
在△ABC
中,b
a
cosCc
cosA,⋯
3
.两内角与其正弦:
在△ABC中,A
B
sinA
sinB,⋯
4.解三角形可能出一解、两解或无解的情况,合“三角形中大大角定理及几何作来帮助理解”。
8
三、课后跟踪训练
1.(2010上海文数18.)若△ABC的三个内角满足
sinA:
sinB:
sinC
5:
11:
13
,则△ABC
(
)
(A)一定是锐角三角形.
(B)一定是直角三角形.
(C)一定是钝角三角形.
(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.
解析:
由sinA:
sinB:
sinC
5:
11:
13及正弦定理得a:
b:
c=5:
11:
13
52
112
132
由余弦定理得cosc
2
5
0,所以角C为钝角
11
2.(2010
天津理数
7)在△ABC
中,内角
A,B,C的对边分别是
a,b,c,若a2
b2
3bc,
sinC2
3sinB,则A=(
)
(A)300
(B)600
(C)1200
(D)1500
【答案】A
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。
由正弦定理得
c
23b
2R
c23b,
2R
b2+c2-a2
3bcc2
3bc23bc
3
0
所以cosA=
2bc
=
,所以A=30
2bc
2bc
2
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
3.(2010
湖北理数)
3.在
ABC
中,a=15,b=10,A=60
cosB
°,则
=
A-22
B22
C-6D
6
3
3
3
3
【答案】D
a
b
15
10
解得sinB
3,又因为b
a,则
【解析】根据正弦定理
sinA
可得
sin60
o
sinB
sinB
3
9
BA,故B为锐角,所以cosB
1sin2B
6
,故D正确.
3
4.(2010
广东理数)
11.已知a,b,c
分别是△ABC
的三个内角
A,B,C所对的边,若
a=1,b=
3,
A+C=2B,
则sinC=
.
解:
由
A
+
C
=2
B
及
A
+
=180°知,
=60°.由正弦定理知,
1
3
,即
B+C
B
sinA
sin60o
sinA
1
.由a
b知,A
B
60o,则A30o,
2
C180o
A
B
180o30o
60o
90o,sinC
sin90o
1
5(2009
湖南卷文)在锐角
ABC中,BC1,B
AC
,
AC的取值
2A,则
的值等于
cosA
范围为.
解析设A,B2.由正弦定理得
AC
BC
AC
1
AC
sin2
sin
2.
2cos
cos
由锐角
ABC得0o
2
90o
0o
45o,
又0o
180o3
90o
30o
60o,
故30o
45o
2
cos
3
,
2
2
AC
2cos
(
2,
3).
6(.
2009全国卷Ⅰ理)在
ABC中,内角A、B、C的对边长分别为
a、b、c,已知a2
c2
2b,
且sinAcosC
3cosAsinC,
求b
分析:
:
此题事实上比较简单
但考生反应不知从何入手
.对已知条件
(1)a2
c2
2b
左侧是二次
的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理
而对已知条件
(2)
sinAcosC
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