海淀二模数学理科doc.docx
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海淀二模数学理科doc
海淀区高三年级第二学期期末练习
数
学(理科)
2018.5
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项.
(1)已知全集U{1,2,3,4,5,6},
集合A{1,2,4},
B{1,3,5},则(eUA)IB=
(A){1}
(B){3,5}
(C){1,6}
(D){1,3,5,6}
(2)已知复数z在复平面上对应的点为
(1,1),则
(A)z+1是实数
(B)z+1是纯虚数
(C)z+i是实数
(D)z+i是纯虚数
(3)已知xy
0,则
1
1
(B)
(1)x
(1)y
(A)
y
x
2
2
(C)cosx
cosy
(D)ln(x
1)
ln(y1)
(4)若直线x
ya0是圆x2
y2
2y0的一条对称轴,则a的值为
(A)1
(B)1
(C)2
(D)2
(5)设曲线C是双曲线,则“C的方程为x
2y2
1”是“C的渐近线方程为y2x”
4
的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(6)关于函数fxsinxxcosx,下列说法错误的是
(A)fx是奇函数
(B)0不是fx的极值点
(C)f
x在(
)上有且仅有
个零点
3
22
(D)fx的值域是R
(7)已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是
开始
(A)求首项为
1,公比为
2的等比数列的前
2017项的和
S=0,n=1
(B)求首项为
1,公比为
2
2018
S=S+2n-1
的等比数列的前
项的和
n=n+2
(C)求首项为
1,公比为
4
的等比数列的前
1009
项的和
否
n>2018
是
(D)求首项为
1,公比为
4
的等比数列的前
1010
项的和
输出S
(8)已知集合M
{x
N*|1
x15},集合A1,A2,A3满足
结束
①每个集合都恰有
5个元素
②A1UA2UA3
M.
集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合
Ai的特征数,记为
Xi(i1,2,3),则
X1X2X3的值不可能为(
).
(A)37
(B)39
(C)48
(D)57
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)极坐标系中,点
(2,)到直线
cos
1的距离为________.
2
(10
)在(x
2
)5的二项展开式中,
x3的系数为
.
x
(11)已知平面向量
a,b的夹角为
,且满足|a|
2,|b|
1,则ab
,
3
|a
2b|
.
(12
)在ABC中,a:
b:
c
4:
5:
6
,则tanA
.
(13
)能够使得命题“曲线x2
y2
1(a
0)上存在四个点P,Q,R,S满足四边形
4a
PQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为.
(14
)如图,棱长为
2的正方体ABCDABCD中,
M
是
1
111
D1
C1
棱AA的中点,点
P
在侧面ABBA内,若DP垂直于CM,
1
11
1
A1
B1
则
PBC的面积的最小值为_________.
M
P
C
D
A
B
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题13分)
如
图
,
已
知函
数
f(x)Asin(
x
)
(A
0,
0,
)
在一个周期内的图象经过
B(
0)
,
y
2
6
D
C(
2
5
三点.
0),D(
2)
3
12
(Ⅰ)写出A,
,
的值;
OBC
x
(Ⅱ)若
(5
2),且f(
)
1,求cos2
的值.
123
16.(本小题共13分)
某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况,从高二年级随机抽取10名
学生进行了两轮测试,并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如
下:
1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号
第一轮测96898888929087909290
试成绩
第二轮测90909088888796928992
试成绩
(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生,试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率;
(Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学,求这两名同学两轮测试成绩
均大于等于90分的概率;
2
(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为x1,s1,考核成绩的平均
数和方差分别为x2,s22,试比较x1与x2,s12与s22的大小.(只需写出结论)
17.(本小题共14分)
如图,在三棱柱ABC
ABC中,ACBC
AB
2,
AB1
⊥平面ABC,
111
1
AC
AC,
D
,
E
分别是AC,BC
的中点.
1
11
C1
A1
(Ⅰ)证明:
AC
BC
E
1
1
B1
(Ⅱ)证明:
DE//平面AABB;
11
(Ⅲ)求DE与平面BBCC所成角的正弦值.
11
CDA
B
18.(本小题共14分)
2
已知椭圆C:
xy21,F为右焦点,圆O:
x2y21,P为椭圆C上一点,
4
且P位于第一象限,过点P作PT与圆O相切于点T,使得点F,T在OP两侧.
(Ⅰ)求椭圆C的焦距及离心率;
(Ⅱ)求四边形OFPT面积的最大值.
19.(本小题共13分)
已知函数f(x)eaxax3(a0)
(Ⅰ)求f(x)的极值;
(Ⅱ)当a0时,设g(x)
1eax
1ax2
3x.求证:
曲线y
g(x)存在两条斜率为
1且
a
2
不重合的切线.
20.(本小题共13分)
如果数列
an
“
i,j,i
j,都存在正整数
k
,使得a
aa
”
满足对任意正整数
k
ij
,则称
数列an具有“性质P”已.知数列an
是无穷项的等差数列,公差为
d.
(Ⅰ)若a1
2,公差d3
,判断数列an
是否具有“性质P”,并说明理由;
(Ⅱ)若数列
a
1
n
具有“性质
P”,求证:
a
0
且d0;
(Ⅲ)若数列
an
具有“性质
P”,且存在正整数
k,使得ak2018,这样的数列
an共有
多少个?
并说明理由
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准
数
学(理科)
2018.5
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项.
12345678
BCDBACCA
第二部分(非选择题
共110分)
二、填空题共6小题,每小题
5分,共
30分.
(9)1
(10)10
(11)1;23
(12)
7
3
(13)答案不唯一,a
0或a4
的任意实数
(14)25
5
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题13分)
解:
(Ⅰ)
A
2
,
2,
.
·
7
分
3
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
f(x)2sin(2x
).
3
因为f(
)1,所以sin(2
)
1
.·······················8分
3
2
因为
所以
所以
5
2
),所以2
(,).················9分
(
12
3
3
2
2
5
,··································11分
6
3
7
2,·····································12分
6
所以cos2cos73.····························13分
62
16.(本小题共13分)
解:
(Ⅰ)这10名学生的考核成绩(单位:
分)分别为:
93,89.5,89,88,90,88.5,91.5,91,90.5,91.
其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号,共6人.·1分
所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为:
6
·3分
0.6,
10
从该校高二年级随机选取一名学生,估计这名学生考核成绩大于等于
90分的概率为
0.6.
·4
分
(Ⅱ)设事件A:
从上述考核成绩大于等于
90分的学生中再随机抽取两名同学,
这两名
同学两轮测试成绩均大于等于
90分.···························5分
由(Ⅰ)知,上述考核成绩大于等于90
分的学生共6人,其中两轮测试成绩均大于
等于90分的学生有1
号,8
号,10
号,共3
人.··················6
分
C32
3
1
···························9
分
所以,P(A)
.
C62
155
(Ⅲ)x1x2,s12
s22
.··································13分
17.(本小题共14分)
解:
(Ⅰ)因为AB1⊥平面ABC,AC平面ABC,
所以AB1AC.··································1分
因为AC1AC,AB1IAC1A,AB1,AC1平面AB1C1,
所以AC平面AB1C1.·······························3分
因为B1C1平面AB1C1,
所以ACB1C1.···································4分
(Ⅱ)法一:
取A1B1的中点M,连接MA、ME.
因为E、M分别是B1C1、A1B1的中点,
所以
ME
∥A1C1
,且
ME
2
A1C1.
5
分
1
···························
C1
A1
1
E
在三棱柱ABC
A1B1C1
中,ADPA1C1
,且
,
M
AD
AC
1
2
1
B1
所以ME∥AD,且ME=AD,
所以四边形
ADEM是平行四边形,
········6分
D
C
A
B
所以DE∥AM.····················7分
又AM平面AA1B1B,DE平面AA1B1B,
所以DE//平面AA1BB.··············9分
注:
与此法类似,还可取
AB的中点M,连接MD、MB1.
法二:
取AB的中点M,连接MD、MB1.
因为D、M分别是AC、AB的中点,
所以MD∥BC,且MD
1
BC.·········5分
C
2
在三棱柱ABCA1B1C1中,B1EPBC,且B1E
1BC,
2
所以MD∥B1E,且MD=B1E,
所以四边形B1EDM是平行四边形,·······6分
所以DE∥MB1.····················7分
又MB1平面AA1B1B,DE平面AA1B1B,
所以DE//平面AA1BB.··············9分
法三:
取BC的中点M,连接MD、ME.
因为D、M分别是CA、CB的中点,
C1
E
B1
DA
M
B
A1
所以,DM//AB.·································5分
在三棱柱ABCA1B1C1中,BC//B1C1,BC
B1C1,
C1
因为E、M分别是C1B1和CB的中点,
E
B1
所以,MB//EB1,MB
EB1,
所以,四边形MBB1E是平行四边形,······6分
CDA
所以,ME//BB1.···················7分
M
B
A1
又因为MEIMDM,BB1IABB,
ME,MD
平面MDE,BB1,AB
平面AA1B1B,
所以,平面
MDE//平面AA1B1B.········8分
z
因为,DE
平面MDE,
C1
A1
E
所以,DE//平面AA1BB.
············9分
B1
(Ⅲ)在三棱柱
ABC
A1B1C1中,BC//B1C1
,
因为AC
B1C1,所以AC
BC.
C
D
y
A
在平面ACB1内,过点C作Cz//AB1,
B
因为,AB1
平面ABC,
x
所以,Cz
平面ABC.···············10分
建立空间直角坐标系
C-xyz,如图.则
C(0,0,0),B(2,0,0),B1(0,2,2),C1(2,2,2),D(0,1,0),E(1,2,2).
uuur
uuur
uuur
DE
(
1,1,2),CB(2,0,0)
,CB1
(0,2,2).··············11分
设平面BB1C1C的法向量为n
(x,y,z),则
uuur
0
2x
0
nCB
uuur
,即
,
nCB1
0
2y
2z
0
得x
0
,令
y
1
,得z
1,故
n
(0,1,1)
.
··············
分
12
设直线
DE
与平面BB1C1C所成的角为
θ
,
uuur
uuur
n
则sinθ=cos
DE
3,
DE,n
uuur
|n|
|DE|
6
所以直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为
3.
············14
分
6
18.(本小题共14分)
解:
(Ⅰ)在椭圆C:
x2
y2
1中,a
2,b
1,
4
所以c
a2
b2
3,·······························2分
故椭圆C
的焦距为
2c
2
3
,··························3分
离心率e
c
3.··································5分
a
2
(Ⅱ)法一:
设
P(x0,y0)(x0
0,y0
0),
y
则x02
x02
T
y02
1,故y02
1
.·········6分
4
4
2
2
2
2
2
3
2
O
所以|TP|
|OP|
|OT|x0
y0
1
4
x0,
所以|TP|
3x0,
··················8分
2
SOTP
1|OT|
|TP|
3x0.
······9分
2
4
又O(0,0)
,F(
3,0)
,故SOFP
1OF
y0
3y0.···········10分
2
2
因此S四边形OFPT
SOFP
SOTP
3
(x0
y0)
···············11分
2
2
3x02
x0y0
y02
3
1x0y0.
2
4
2
x02
2
1,得2
x2
2
1,即x0
y0
1,
由
4
y0
0
y0
4
所以S四边形OFPT
3
1
x0y0
6,·······················13
分
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