高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 12 命题及其关系充分条件与必要条件教师用书.docx
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高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件教师用书
(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书
1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,但q
p,则p是q的充分不必要条件;
(3)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;
(4)如果q⇒p,且p
q,则p是q的必要不充分条件;
(5)如果p
q,且q
p,则p是q的既不充分也不必要条件.
【知识拓展】
1.两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
2.若A={x|p(x)},B={x|q(x)},则
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;
(6)若A
B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( × )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × )
(3)若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题.( √ )
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(5)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(6)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
1.下列命题为真命题的是( )
A.若
=
,则x=yB.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则
=
D.若x 答案 A 2.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 答案 A 解析 对于A,其逆命题是若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x>y. 3.(2016·慈溪中学高三适应性考试)设a,b为实数,则“log2a>log2b”是“ > ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由log2a>log2b,得a>b>0, 而 > ⇔a>b≥0, 故log2a>log2b是 > 的充分不必要条件. 4.在下列三个结论中,正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A是B的必要不充分条件,则綈B也是綈A的必要不充分条件; ②“ ”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件; ③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①② 解析 易知①②正确.对于③,若x=-1,则x2=1,充分性不成立,故③错误. 题型一 命题及其关系 例1 (2016·湖州一模)有下列四个命题: ①若“xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题; ③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题; ④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题. 其中真命题为( ) A.①②B.②③ C.①④D.①②③ 答案 D 解析 ①的逆命题: “若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题;②的否命题: “面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题;③的逆否命题: “若x2-2x+m=0没有实数解,则m>1”是真命题;命题④是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.故选D. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q“形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. (1)命题“若x>0,则x2>0”的否命题是( ) A.若x>0,则x2≤0 B.若x2>0,则x>0 C.若x≤0,则x2≤0 D.若x2≤0,则x≤0 (2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福 答案 (1)C (2)D 题型二 充分必要条件的判定 例2 (1)(2016·北京)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件p: x>1或x<-3,条件q: 5x-6>x2,则綈p是綈q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)D (2)A 解析 (1)若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件. (2)由5x-6>x2,得2 即q: 2 所以q⇒p,p q,所以綈p⇒綈q,綈q 綈p, 所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法: 根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. (1)(2016·四川)设p: 实数x,y满足x>1且y>1,q: 实数x,y满足x+y>2,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知p: x+y≠-2,q: x,y不都是-1,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A 解析 (1)当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p⇒q, 当x+y>2时,可以x=-1,y=4,即q p, 故p是q的充分不必要条件. (2)(等价法)因为p: x+y≠-2,q: x≠-1或y≠-1, 所以綈p: x+y=-2,綈q: x=-1且y=-1, 因为綈q⇒綈p但綈p 綈q, 所以綈q是綈p的充分不必要条件, 即p是q的充分不必要条件,故选A. 题型三 充分必要条件的应用 例3 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P. 则 ∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3]. 引申探究 1.若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ 方程组无解, 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 2.本例条件不变,若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解 由例题知P={x|-2≤x≤10}, ∵綈P是綈S的必要不充分条件, ∴P⇒S且S P. ∴[-2,10][1-m,1+m]. ∴ 或 ∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞). 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)已知命题p: a≤x≤a+1,命题q: x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________________. (2)已知条件p: 2x2-3x+1≤0,条件q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 答案 (1)(0,3) (2)[0, ] 解析 (1)令M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<0}={x|0 ∵p是q的充分不必要条件,∴MN, ∴ 解得0 (2)命题p为{x| ≤x≤1}, 命题q为{x|a≤x≤a+1}. 綈p对应的集合A={x|x>1或x< }, 綈q对应的集合B={x|x>a+1或x ∵綈p是綈q的必要不充分条件, ∴ 或 ∴0≤a≤ . 1.等价转化思想在充要条件中的应用 典例 (1)(2016·绍兴柯桥区二模)已知x,y∈R,则“(x-1)2+(y-2)2=0”是“(x-1)(y-2)=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件p: x2+2x-3>0;条件q: x>a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,1] C.[-1,+∞)D.(-∞,-3] 思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题,在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化. 解析 (1)∵{(x,y)|(x-1)2+(y-2)2=0} ={(x,y)|x=1且y=2}, {(x,y)|(x-1)(y-2)=0}={(x,y)|x=1或y=2}. ∴{(x,y)|(x-1)2+(y-2)2=0}{(x,y)|(x-1)(y-2)=0}, 故“(x-1)2+(y-2)2=0”是“(x-1)(y-2)=0”的充分不必要条件. (2)由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件. ∴{x|x>a}{x|x<-3或x>1},∴a≥1. 答案 (1)A (2)A 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B 解析 依题意,得原命题的逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数. 2.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A.如果x B.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2 C.如果x<2ab,那么x D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab 答案 C 解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,“≥”的否定是“<”.故答案C正确. 3.(2016·浙江重点中学模拟)已知命题p: “正数a的平方不等于0”,命题q: “若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( ) A.逆命题B.否命题 C.逆否命题D.否定 答案 B 解析 命题p: “正数a的平方不等于0”写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题. 4.(2017·宁波十校联考)设a∈R,则“a<1”是“ >1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由1- = <0,得0 所以“a<1”是“0 5.(2016·山东)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交; 若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A. 6.已知集合A={x∈R| <2x<8},B={x∈R|-1 A.{m|m≥2}B.{m|m≤2} C.{m|m>2}D.{m|-2 答案 C 解析 A={x∈R| <2x<8}={x|-1 ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A, ∴AB,∴m+1>3, 即m>2,故选C. 7.设x>0,则“a=1”是“x+ ≥2恒成立”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为x+ ≥2,x>0恒成立⇔a≥(2x-x2)max=1,x>0, 所以“a=1”是“x+ ≥2恒成立”的充分不必要条件,故选A. 8.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由Venn图易知充分性成立.反之,A∩B=∅时,由Venn图(如图)可知,存在A=C,同时满足A⊆C,B⊆∁UC. 故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件. 9.函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
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