双曲线的定义及性质练习题一菁优网427.docx
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双曲线的定义及性质练习题
.选择题(共20小题)
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足IPF|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为()
A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线
=1的渐近线方程为()
A.尸土*B•尸±寺£Cy=±yXD-尸土号"
22
3.如果方程-^+^=1表示双曲线,贝Um的取值范围是(
血2jTrfl
2)
2+y2=1上,点R
A.(2,+X)B.(-2,-1)C.(-X,-1)D.(1,
22
4.已知点P在曲线C1:
牯专二1上,点Q在曲线C2:
(X-5)
在曲线C3:
(X+5)2+y2=1上,则IPQI-IPR的最大值是()
迹方程是(
B.
上,△OAF是边长为2的等边三角形(0为原点),则双曲线的方程为(
A.B.手C•需D.2
10.已知M(x0,yo)是双曲线C:
言--丫^1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若・MF;v0,则y。
的取值范围是()
C,2^22V2,D.2<32V3,
Cr‘丁)D・r‘丁)
11.
(aMb)同时增加m
将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b
12.
13.
则点F到C的一条
已知F为双曲线C:
x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,
渐近线的距离为()
A.贡B.3C.VSmD.3m
2r
14.若点O和点F(-2,0)分别是双曲线的中心和左焦点,点p为双曲线右支上的任意一点,则硬的取值范围为(
B.[3+2亦,+8)|C.r丄+ 22 二7壬=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,at/ 且IPF|=2|PF2I,则双曲线离心率的取值范围为( 2 F2分别是双曲线X2-匚=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且 g 而7? 呢=0,则I再^甸訴() A.VT3B.2顷C.衝D.2/e 22 17.已知双曲线昱^壬尹(色>0,bAO)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60° ab 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+^)D.(2,+^ 18.P是双曲线字咅 =1的右支上一点,M、N分别是圆(X+5)2+y2=4和(X -5)2+y2=1上的点,则IPM|-|PN的最大值为() 11小题) 则点M的轨迹方程为 A.6B.7C8D.9 另一个外切.则动圆C的圆心M轨迹L的方程是 23.已知圆(X+4)2+y2=25的圆心为M1,圆(x-4)2+y2=1的圆心为M2,动圆 与这两个圆都外切,则动圆圆心的轨迹方程为 24.已知F是双曲线予 2? 二1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点, 则|PF+|PA的最小值为 25.已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b 为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若/MAN=6°, 则C的离心率为 22 26.设直线X-3y+m=0(0)与双曲线一-「=1(a>0,b>0)的两条渐近a? b? 线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA=|PB,则该双曲线的离心率 22 27.设Fi,F2是双曲线C: 务七二1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,ab 若|PF|+|PF2|=6a,且^PFF2的最小内角为30°则C的离心率为 标为(2,0),AM为/FiAb的平分线,则|AF2|= 22 29.过双曲线--二1左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点,F2为其 4b 右焦点,则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为 22 30.已知Fi,F2为双曲线匸1OG$b>0且aHb》的两个焦点,P为双曲ab 线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.下面四个命题( A、APF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上; B、APFF2的内切圆的圆心必在直线x=b上; C、APFF2的内切圆的圆心必在直线OP上; D、APFF2的内切圆必通过点(a,0). 22 31.过双曲线笃-笃 其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号). ■=! (a>0,b>0)的左焦点且垂直于X轴的直线与双曲线 相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于. 2018年04月27日****@丑的想撞墙的高中数学组卷 参考答案与试题解析 •选择题(共20小题) 「已知两定点Fi(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为() A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线 【分析】先看a=3时,根据双曲线的定义可推断出P点的轨迹是双曲线,同时利用已知条件可推断出|PF|>|Pb|,进而可知其轨迹是双曲线的一支;再看当a=5时,可求得P的轨迹方程,同时根据|PF|>|PF2|推断出P的轨迹为射线.最后综合可得答案. 【解答】解: 当a=3时,根据双曲线的定义可推断出P点的轨迹是双曲线,|PFi| >IPF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支. 当a=5时,方程y=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为IPF|-|PF2|=2a,说明IPF|>|PF2|所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线, 故选: D. 的综合运用. 【分析】由双曲线方程与渐近线方程的关系,只要将双曲线方程中的“1换为“0”化简整理,可得渐近线方程. 【解答】解: 由题意,由双曲线方程与渐近线方程的关系,可得 的渐近线方程为y=土寻x, 22 将双曲线方程中的“1换为“0”双曲线牛专=1故选: D. 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,注意运用双曲线方程与渐近线方程的关系,考查运算能力,属于基础题. 22 3.如果方程匚+~^=1表示双曲线,则m的取值范围是() 耐2irrfl A.(2,+x)B.(-2,-1)C.(-X,-1)D.(1,2) 【分析】根据双曲线的标准方程,可得只需2+m与1+m只需异号即可,则解不 等式(2+m)(1+m)<0即可求解. 解得-1 故入的范围是(-2,-1). 故选: B. 标准方程建立不等关系. 点Q在曲线C2: (X-5)+y2=1上,点R 在曲线C3: (X+5)2+y2=1上,则|PQ-|PR的最大值是() A.6B.8C.10D.12 【分析】由已知条件可得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再把IPQ-|PR的最大值转化为求IPQmaX-IPRmin即可. 22 【解答】解: 由双曲线的知识可知: 唸二1的两个焦点 10勺 分别是Fi(-5,0)与冋(5,0),且IPF|-|PF2|=8 而这两点正好是两圆(X+5)2+y2=1和(X-5)2+y2=1的圆心,两圆(X+5)2+y2=4和(X-5)2+y2=1的半径分别是ri=1,「2=1, 问题的关键. B. D. •••顶点C的轨迹方程为 故选: B. 的双曲线一支,是解题的关键.易错点是误判为整个双曲线. 6.已知F1、巨为双曲线C: X2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,/F1P屉=60°则P到X轴的距离为() A亜B些 A.2BpT 【分析】设点P(X0,y。 )在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得 2 方 ||PFI|=e[Kq-()]=a+eXg=l+V2sj 由余弦定理得cos/ 2g |PF2l=e[Kq)]=Gs-a=V2K0T 2 |PF]I二亡[jcp-()]二n+esa—Xu c 由余弦定理得 【解答】解: 不妨设点P(刈,yo)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得 3 a ,IPFJ二亡[kq)eKjjKQ-1. c 【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 2 7.已知F是双曲线C: X-冷-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,L? 点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( A. 1 B. 1 c.2 D. 3 3 2 3 2 -APF的面积S专XIAPMPF丨 同理当yv0时,则△APF的面积S专, 上,△OAF是边长为2的等边三角形(0为原点),则双曲线的方程为() 【分析】利用三角形是正三角形,推出a,b关系,通过c=2,求解a,b,然后等到双曲线的方程. 22 【解答】解: 双曲线务-厶7=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的 ab 渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(0为原点), 解得a=1,,双曲线的焦点坐标在x轴,所得双曲线方程为: 故选: D. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力. 轴垂直,sin/MF2F1丄,则E的离心率为() 3 寻C•體D.2 ^_r 【分析】 由条件MFi丄MF2,sin/MF2Fi4,列出关系式,从而可求离心率. ■J 【解答】 解: 由题意,M为双曲线左支上的点, 则丨mFi丨羊,IMF2丨春耳(厶2 £ •••sin/MFzF诗,•••「: b44, 可得: 2b4=a2c2,即b2=ac,又c2=a2+b2,可得Jl^e2-e-|Vl=0, e>1,解得e^2. 【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解,关键是找出几何量之间的关系,考查数形结合思想,属于中档题. 【解答】解: 由题意,肝;・MF;=(-xo,-yo)? (-xo,-yo)=xo2- 【点评】本题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程,考查学生的计算能力,比较基础. 11.将离心率为ei的双曲线Ci的实半轴长a和虚半轴长b(aMb)同时增加m D.当a>b时, 【分析】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论. 【解答】解: 由题意,双曲线C1: c2=a2+b2,e1=2; a (b+m、2 (b-a)呂bm+bitiSamB 2a ta+m、2 a勺a+m)' e2 呂■+m •飞1J严 双曲线C2: c2=(a+m)2+(b+m)2」5>沁" •••当a>b时,e1>e2;当avb时,e1ve2, 故选: B. 【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 12.已知F为双曲线C: X2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为() A.亦B.3C^3mD.3m 【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论. 32 -1, 【解答】解: 双曲线C: X2-my2=3m(m>0)可化为Z_JL_3m3 •••一个焦点为(巫肓,0),一条渐近线方程为Ix+Vriiy=0,•••点F到C的一条渐近线的距离为芈亜毛. Vl+m 故选: A. 【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题. 2口 13.若点0和点F(-2,0)分别是双曲线青匚1(赳>0)的中心和左焦点, a A.[3・2需.+8)B.[3+2^/3,+8) 点P为双曲线右支上的任意一点,则迅的取值范围为() C•[+3D. 【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a,则双曲线的方程可得,设出点P,代入双曲线方程求得yo的表达式,根据P,F,O的坐标表示出历和帀, 进而求得帀的表达式,利用二次函数的性质求得其最小值,则帀・而的取值范围可得. 【解答】解: 因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,2C 所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为号-/二1,设点P(X0,yo), 2賃n则有号-护 因为FP二(s+2・和),OP二(只旷坯), 因为"沙, 所以当丸二冈时丽讦? 取得最小值霁3+2爲-1=3+2"3, J 故[qP-FP的取值范围是⑶2后+8),故选: B. 【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力. 22 14.双曲线 牛召=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,ab 且IPF|=2|PF2I,则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+^)D.[3,+^] 【分析】可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者 可以取到等号成立,因为可以三点一线.也可用焦半径公式确定a与c的关系. 【解答】解: 设IPF|=x,IPF! |=y,则有 x=2y 解得x=4a,y=2a, •••在△PFF2中,x+y>2c,即卩4a+2a>2c,4a-2av2c, •••1O<3, a 又因为当三点一线时,4a+2a=2c,综合得离心率的范围是(1,3], 故选: B. 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了关于离心率范围的确定.可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法. 22 15.已知双曲线C: &十^=1的左右焦点分别为Fi,氏P为C的右支上一点, 【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标,再利用双曲线的第一定义求得IIPF|,作PF边上的高AF2则可知AFi的长度,进而利用勾股定理求得AF2,则△PFF2的面积可得. 22 【解答】解: •••双曲线C亡十評中a=3,b=4,c=5, •-Fi(-5,0),F2(5,0)•-1Pb|=|FiF2|, •••|PF|=2a+|Pb|=6+10=16 作PF1边上的高AF2,贝UAF1=8, 二舒2二-护二E•••△PFF2的面积为寺|卩珥卜|叫|吉*16><44£ 【点评】此题重点考查双曲线的第一定义,双曲线中与焦点,准线有关三角形问 题;由题意准确画出图象,利用数形结合,注意到三角形的特殊性. 而7? 呢=0,则丨所7诵7I=() A.顷B.2^iC.衍D.2V5 【分析】由点P在双曲线上,且PF: ? 吓;=0可知IPfT;Bf;I=2IPOI=IFF;I.由 丄巴1_L£_■ 此可以求出IpF;+Pfr;|的值. 2 【解答】解: 根据题意,Fi、F2分别是双曲线=1的左、右焦点. 9 •••点P在双曲线上,且PF;? FF;=O, •••I函+瓦I=2|而=|F]F;|=2烦. 故选: B. 【点评】把I而7+丽71转化为II丽;I是正确解题的关键步骤. 1-LZ_i 22 17.已知双曲线三;^丿二1(a>0,bAO)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2]B.(1,2)C[2,+^)D.(2,+^) 【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围. 22 【解答】解: 已知双曲线务斗1@>山b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 b a 18.P是双曲线尊-£ 916 =1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x -5)2+y2=1上的点,则IPM|-IPN的最大值为() A.6B.7C8D.9 【分析】由题设通过双曲线的定义推出IPFi|-|PF2|=6,利用|MP|< IPF|+|MFi|,IPN|>IPb|-INF2|,推出IPM|-|PN|<|PF|+|MFi|-|Pb|- |NF2|,求出最大值. 2 2 K 一 y 9 16 【解答】解: 双曲线 =1中,如图: a=3,b=4,c=5, •••IPF|-|Pb|=2a=6, •••-IPN|<-IP冋I+INF2|, 所以,IPM|-IPN| =6+1+2 =9. 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化. 19.已知双曲线/空一二1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF;・吓;二0,则 出点M到x轴的距离. 【解答】解: ;而*丽=0,二点M在以FiF2为直径的圆x2+y2=3上 「.点M到x轴的距离为翠故选: C. 【点评】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件. M、N两点,MN中点的横坐标为- 20.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(听,0),直线y=x-1与其相交于寻,则此双曲线的方程是( 222'2-一 A号-亍1B=1CT-T=1D.T十=1 【分析】先设出双曲线的方程,然后与直线方程联立方程组,经消元得二元一次 方程,再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a、b的一个方程,最后解a、b的方程组即得双曲线方程. 又c2=s2+b2=7,解得a2=2,b2=5. 22 所以双曲线的方程是邑匚 25 故选: D. 【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题,同时考查双曲线的标准方程与性质等. 二.填空题(共11小题) 21.如果点M(X,y)在运动过程是总满足关系式jF+(y_5)'=8,则点M的轨迹方程为—害¥*) 【分析】方程jF+〔y-5)十〔y+5),表示点M(x,y)与定点(0,5), (0,-5)的距离的差为8,禾用双曲线的定义,即可得到结论. 【解答】解: 方程+^-Vx^+ty+5)^=3,表示点M(X,y)与定点(0,5),(0,-5)的距离的差为8•••8V10 •••点M(X,y)的轨迹是以两定点为焦点的双曲线的下支 2a=8,c=5 •b=3 22 •••点M的轨迹方程为L斗1(穴0) 169 故答案为: 属于基 【点评】本题考查双曲线的轨迹方程,解题的关键是掌握双曲线的定义, 础题. 2c 另一个外切.则动圆C的圆心M轨迹L的方程是亠宀 【分析】由题意直接利用已知列出关系式,结合圆锥曲线的定义,即可求出圆心 M的轨迹方程. •••|MC1|-|MC2|=4v|C1Q|=^,或|MC2|-|MC1|=4<|C1C2I=2/5 所以,圆心M的轨迹是以G、C2为焦点的双曲线, 2C 故答案为: 故M的轨迹方程为: 片--/二1 「丫二1 【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法,圆的几何性质的应用和圆锥曲线的定义 M1、M2为左、右焦点,2a=4的双 曲线右支,再结合双曲线的基本量及其关系,不难求出相应的轨迹方程. 【解答】解: 圆(X+4)2+y2=25的圆心为Mi(-4,0),半径为5; 而圆(X-4)2+y2=1的圆心为M2(4,0),半径为1. 设动圆M与圆Mi和M2都相外切,动圆半径为R,则 |MM1|=R+5,|MM2|=R+1,可得|MM1|-|MM2|=4, 2a=4的双曲线右支上 •••点M在以M1、M2为左、右焦点, a=2且c=4,可得b2=c2-a2=12 22 •双曲线方程为+--$=1, 2 2 K Y 4 12 故答案为: =1(x>2) \ r1 【点评】本题给出动圆与两个定圆都相外切,求动圆圆心的轨迹方程,着重考查了两圆的位置关系和双曲线的定义与标准方程等知识,属于基础题. 24.已知F是双曲线 22 勺左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点, 则IPF+IPA的最小值为9. 【分析】根据A点在双曲线的两支之间,根据双曲线的定义求得a,进而根据 PAI+IPF|>IAFI=5两式相加求得答案. 【解答】解: •••A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F'(4,0), •••由双曲线性质IPF-IPF'I=2a=4 而IPA+IPF|>IAF|=5 两式相加得IPF+IPA>9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立. 故答案为9. 【点评】本题主要考查了双曲线的定义,考查了学生对双曲线定义的灵活运用. 求解双曲线的离心率即可. 以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点. 若/MAN=6°,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为: bcos30°=^_v, 2 可得: 』泌|巫b,即H • 3 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程 '唾,可得离心率为: e旦3. 故答案为: C-23 的应用,考查转化思想以及计算能力. 22 26.设直线X-3y+m=0(m^0)与双曲线耳三=1(a>0,b>0)的两条渐近 线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA=|PB,则该双曲线的离心率是 2 ma 皿22 9b-a ),利 丁―• 【分析】先求出
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