开学教案第二章第三章.docx
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开学教案第二章第三章
第3章概率的进一步认识
第1节用树状图或表格求概率
第一课时用树状图或表格求概率
教学目标:
1、进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率.
2、会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.
重难点:
1、借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.
2、理解两步试验中“两步”之间的相互独立性,认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性.正确应用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.
教学过程:
一、复习提问
问题再现:
小明和小凡一起做游戏。
在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球,摸到红球小明获胜,摸到白球小凡获胜。
(1)这个游戏对双方公平吗?
(2)在一个双人游戏中,你是怎样理解游戏对双方公平的?
如果是你,你会设计一个什么游戏活动判断胜负?
二、课本做一做
(1)每人抛掷硬币20次,并记录每次试验的结果,根据记录填写下面的表格:
抛掷的结果
两枚正面朝上
两枚反面朝上
一枚正面朝上、一枚反面朝上
频数
频率
(2)5个同学为一个小组,依次累计各组的试验数据,相应得到试验100次、200次、300次、400次、500次……时出现各种结果的频率,填写下表,并绘制成相应的折现统计图。
试验次数
100
200
300
400
500
…
两枚正面朝上的次数
两枚正面朝上的频率
两枚反面朝上的次数
两枚反面朝上的频率
一枚正面朝上、一枚反面朝上的次数
一枚正面朝上、一枚反面朝上的频率
(3)由上面的数据,请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率。
由此,你认为这个游戏公平吗?
三、课本议一议
在上面抛掷硬币试验中,
(1)抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果?
它们发生的可能性是否一样?
(2)抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果?
它们发生的可能性是否一样?
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪些结果?
它们发生可能性是否一样?
如果第一枚硬币反面朝上呢?
请将各自的试验数据汇总后,填写下面的表格:
抛掷第一枚硬币
抛掷第二枚硬币
正面朝上的次数
正面朝上的次数
反面朝上的次数
反面朝上的次数
正面朝上的次数
反面朝上的次数
表格中的数据支持你的猜测吗?
四、课堂小结
1、本节课你有哪些收获?
有何感想?
2、用列表法求概率时应注意什么情况?
五、课后作业
第二课时游戏的公平性
教学目标:
1、通过两种求概率方法的选择使用,理解两种方法各自的特点,并能根据不同情境选择适当的方法;
2、通过具体情境,感受一件事情公平与否在现实生活中广泛存在,体现数学的价值;
3、让学生掌握一定判断事件公平性的方法,提高其决策能力。
重难点:
判断事件公平性的方法,提高其决策能力。
教学过程:
一、温故知新,做好铺垫
提问:
上节课,你学会了用什么方法求某个事件发生的概率?
目的:
通过学生回答,回想上节课主要内容,为这节课计算概率做好铺垫。
二、创设情景,导入课题
本节是从“石头、剪刀、布”这个耳熟能详的游戏作为切入点,使学生产生学习新知的兴趣,使学生进一步掌握用列表法或树状图计算某事件发生的概率,进而得到判断游戏规则公平与否的依据。
本节课提供了多种具体情境,一方面使学生感受概率存在的普遍性,另一方面适应不同的情境,得到概率。
内容(展示例题,引出新课):
小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏游戏规则如下:
由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏,如果两人的手势相同,那么小凡获胜;如果两人手势不同,那么按照“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.
假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,你认为这个游戏对三人公平吗?
目的:
通过儿时的游戏,激发学生学习新知的兴趣。
使学生意识到是比较事件发生的概率,是评判规则公平与否的依据,而求概率的方法即为课前回顾的——树状图和列表法。
实际效果:
激发了学生的求知欲和好奇心,激起了学生探究活动的兴趣,能引导学生从问题出发,利用概率解决实际问题。
三、激发兴趣,探求新知
内容:
在例题结束后,适时抛出一个类似的情境:
小明和小军两人一起做游戏.游戏规则如下:
每人从1,2,…,12中任意选择一个数,然后两人各掷一次均匀的骰子,谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜;如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和,就再做一次上述游戏,直至决出胜负.如果你是游戏者,你会选择哪个数?
目的:
本环节的设置,开放性更强,让学生在问题中需求解决方案。
加强对列表法和树状图求概率的理解,从中也体会本题因为结果较多,使用列表法更好一些,感受两种求概率方式的优劣。
四、巩固基础,检测自我
内容:
有三张大小一样而画面不同的画片,先将每一张从中间剪开,分成上下两部分;然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中,把下半部分都放在第二个盒子中.分别摇匀后,从每个盒子中各随机地摸出一张,求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率。
目的:
随堂练习的给出,使学生适应不同的情境,自主选择合适的方式求事件发生的概率,加强树状图和列表法求概率的熟练程度。
进一步,感受概率存在的普遍性,消除对新知的恐惧感。
五、课堂小结,布置作业
课后作业:
习题3.21.2.3
第二节用频率估计概率
教学目标:
1、经历收集数据、进行试验、统计结果、合作交流的过程,估计一些复杂的随机事件发生的概率.
2、经历试验、统计等活动过程,在活动中发展学生合作交流的意识和能力.
重难点:
1、掌握试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率。
2、试验估计随机事件发生的概率;
3、通过试验、统计活动,体会随机事件的概率。
教学过程:
一、课本情境引入
(1)400位同学中,一定有2人的生日相同(可以不同年)吗?
有什么依据呢?
(2)300位同学中,一定有2人的生日相同(可以不同年)吗?
(3)教师提出一个论断:
“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”你相信吗?
二、思考探究
(1)如果50个同学中有2人生日相同,能否说明50人中有2人生日相同的概率是1?
(2)如果50人中没有2人生日相同,就说明50人中2人生日相同的概率为0?
三、练习提高
1、课本P168随堂练习
2、课外调查的10个人的生肖分别是什么?
他们中有2人的生肖相同吗?
6个人中呢?
利用全班的调查数据设计一个方案,估计6个人中有2个人生肖相同的概率.
四、课堂小结
1、师生共同总结本节内容
2、回顾本节教学目标
3、本节课经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、统计结果,合作交流的过程,知道了用大量的实验频率来估计,一些复杂的随机事件的概率,当试验次数赵多时,实验频率稳定于理论概率,还知道了“直觉并不可靠”,本节“生日相同的概率”50人中有2人生日相同的概率竟高达0.97,这有违我们的“常识”。
五、布置作业
1、课本习题
2、收集有关概率的文章
回顾与思考
教学目标:
引导学生共同回忆有关概率的知识框架图。
重难点:
1、列表法计算.2、树状图计算。
一、问题引入,复习旧知
在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?
该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?
解:
根据概率的意义,可以认为其概率大约等于250/2000=0.125.
该镇约有100000×0.125=12500人看中央电视台的早间新闻.
二、重点知识回顾,建立知识架构
回顾:
1.某个事件发生的概率是1/2,这意味着在两次重复试验中该事件必有一次发生吗?
2.你能用试验的方法估计那些事件发生的概率?
举例说明.
3.有时通过试验的方法估计一个事件发生的概率有一定的难度,你能否通过模拟试验估计该事件发生的概率?
4.你掌握了哪些求概率的方法?
举例说明.
三、课堂练习
1、课本复习题2、数学配套练习册
四、课堂小结
五、课后作业
第2章一元二次方程
第1节认识一元二次方程
教学目标:
1、理解一元二次方程的定义,会判断满足一元二次方程的条件。
2、能根据具体情景应用知识。
3、体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
重难点:
1、一元二次方程的定义;建立一元二次方程的模型。
2、一元二次方程的一般形式。
教学过程:
一、复旧引新:
1、什么是方程?
什么样的方程是一元一次方程?
2、多项式2x2-3x+1是几次几项式?
每项的系数和次数分别是几?
二、学习探究:
理解一元二次方程的概念并会把一元二次方程化为一般形式。
阅读教材31-32页,回答:
(1)如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为m,宽为m根据题意,可得方程
(2)试再找出其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和:
;
如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为、、
、,根据题意可得方程:
(3)根据图2-2,由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙m,如果设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙m,梯子顶端距地面的垂直距离为m,根据题意,可得方程:
三、合作交流:
观察上述三个方程,它们的共同点为:
①;②;象这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式,ax2,bx,c分别称为、、,a、b分别称为、。
1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)
(2)
(3)
四、归纳总结:
1、通过本节课的学习你学到了哪些知识?
与同学交流一下。
2、通过本节课你认为学的比较好的内容是什么?
不足又是什么?
五、当堂训练:
1、判断下列方程是否为一元二次方程,如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项:
(1)2x2+3x+5
(2)(x+5)(x+2)=x2+3x+1
(3)(2x-1)(3x+5)=-5(4)(3x+1)(x-2)=-5x
2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
3、关于x的方程(k-3)x2+2x-1=0,当k时,是一元二次方程。
4、根据题意,列出方程:
(1)有一面积为54平方米的长方形,将它的一边剪短5米,另一边剪短2米,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?
(2)三个连续的整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?
4、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
4、关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0当k时是一元二次方程;当k时是一元一次方程。
六、课后作业:
习题2.1
第2节用配方法求解一元二次方程
第一课时用配方法解简单的一元二次方程
学习目标:
1.经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识。
2.能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型。
3.渗透“夹逼”思想,发展估算意识和能力,培养克服困难的勇气。
重难点:
1.探究一元二次方程的解或近似解,发展估算意识和能力。
2.用估算方法求一元二次方程的近似解。
教学过程:
一、回顾交流:
1、若x2=4,则x=.
2、若(x+1)2=4,则x=.
3、若x2+2x+1=4,则x=.
4、若x2+2x=3,则x=.
二、学习探究:
理解配方法解一元二次方程的过程变化依据。
1、填上适当的数,使下列等式成立:
x2+12x+=(x+6)2;
x2-4x+=(x-)2;
x2+8x+=(x+)2.
2、根据上述变形,你能解哪些一元二次方程?
三、合作交流:
1、你会解下列方程吗?
与同学交流一下你是如何做的?
x2=5,(x+2)2=5,x2+12x+36=5
2、解方程x2+12x-15=0的困难在哪里?
你能将方程x2+12x-15=0转化成上面方程的形式吗?
与同学交流一下。
3、思考:
根据上面解答过程,你认为解一元二次方程的关键是什么?
4、在这里,解一元二次方程的基本思路是将方程转化成的形式,它的一边是另一边是,当时两边便可以求出它的根。
这种通过配成进一步求得一元二次方程根的方法称为配方法
四、归纳总结:
通过本节课的学习你学到了哪些知识?
与同学交流一下。
五、例题解析:
例1解方程x2+8x-9=0
分析:
将常数项移到方程的右边可得方程。
这样你将如何进行配方解方程?
试写出完整解答过程。
六、当堂训练:
解下列方程:
(1)x2+12x+25=0
(2)x2+4x=10 (3)x2-6x=11
(4)x2-2x-4=0 (5)x2-4x-12=0
七、课后作业:
习题2.3
第二课时用配方法解复杂的一元二次方程
教学目标:
1、能够熟练地、灵活的应用配方法解一元二次方程。
2、进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。
3、培养观察能力运用所学旧知识解决新问题。
重难点:
1、理解并掌握配方法,能够灵活运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
2、如何利用等式的性质进行配方。
教学过程:
一、知识回顾:
上节课我们学过的解一元二次方程的基本思路是什么?
其关键是什么?
二、学习探究:
熟练掌握解一元二次方程的两种方法。
1、解下列方程:
(1)(2-x)2=3
(2)(x-
)2=64(3)2(x+1)2=
2、用配方法解方程:
(1)x2-6x-40=0
(2)x2-6x+7=0(3)x2+4x+3=0(4)x2-8x+9=0
三、合作交流:
1、当x取何值时,代数式10-6x+x2有最小值,是几?
2、配方法证明y2-12y+42的值恒大于0。
四、归纳总结:
通过本节课的学习你进一步熟练了哪些知识?
与同学交流一下。
五、例题学习:
例1解方程3x2+8x-3=0
分析:
如何将二次项系数化为1?
这样你可得方程。
试将解方程的解答过程写出。
六、当堂训练:
1、
(1)x2-4x+=(x-)2;
(2)x2-
x+=(x-)2
2、方程x2-12x=9964经配方后得(x-)2=
3、当x=-1满足方程x2-2(a+1)2x-9=0时,a=
4、已知:
方程(m+1)x2m+1+(m-3)x-1=0,试问:
(1)m取何值时,方程是关于x的一元二次方程,求出此时方程的解;
(2)m取何值时,方程是关于x的一元一次方程
5、关于x的一元二次方程(a+1)x2+3x+a2-3a-4=0的一个根为0,则a的值为()
A、-1B、4C、-1或4D、1
6、不论x、y为什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值()
A、总不小于2B、总不小于7C、可为任何实数D、可能为负数
七、课后作业:
习题2.4
第3节用公式法求解一元二次方程
第一课时公式法
教学目标:
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程;
2、会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。
重难点:
1、用求根公式解简单数字系数的一元二次方程
2、对求根公式的推导过程的理解。
教学过程:
一、回顾引新:
1.利用配方法快速解下列两个方程:
(1)x2+2x-35=0
(2)5x2-15x-10=0
2.通过对配方法解一元二次方程的学习,你认为利用配方法解方程的关键是什么?
步骤呢?
。
二、学习探究:
利用配方法推导一元二次方程的求根公式,若给出一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)你觉得应如何利用配方法求解?
(1)ax2+bx+c=0(a≠0)方程的两边同时除以a可得到:
。
(2)把上式中的常数项移项可得:
(3)如果对上式进行配方,方程两边应加上什么式子,这个式子是怎样得到的?
。
(4)配方后可得:
。
(5)思考:
对于上式能不能直接利用直接开平方,为什么?
结论:
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当时,它的根是:
x=。
式子称为求根公式,用解一元二次方程的方法称为公式法。
三、合作交流:
1、上面我们利用了推导出了解一元二次方程的另外一种方法:
。
2、你认为利用求根公式解一元二次方程的关键是什么?
与同学交流一下的想法。
3、利用公式法解方程的一般步骤:
(1)
(2)(3)(4)。
四、归纳总结:
通过本节课的学习你学到了哪些知识?
与同学交流一下。
五、例题解析:
例1利用公式法解方程x2-7x-18=0
分析:
此方程中哪些数字相当于ax2+bx+c=0(a≠0)中的a、b、c?
试写出解方程的完整过程。
六、当堂训练:
1、用公式法解下列方程:
(1)x2+2x-35=0
(2)5x2-15x-10=0(3)9x2+6x+1=0(4)16x2+8x=3
2、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,求这个三角形的三条边长。
7、课后作业:
习题2.6
第二课时公式法的实际应用
教学目标:
1、学会一元二次方程求根公式的推导
2、理解公式法,会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程,体会公式法和配方法的内在联系。
教学过程:
一、知识回顾
1、复习用配方法接一元二次方程的步骤,推导出一元二次方程的求根公式:
对于一元二次方程
其中
,由配方法有
,
(1)当
时,得
;
(2)当
时,一元二次方程无实数解。
2、公式法的定义:
利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。
3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤:
(1)必须把一元二次方程化成一般式
,以明确a、b、c的值;
(2)再计算
的值:
①当
时,方程有实数解,其解为:
;
②当
时,方程无实数解。
二、经典例题
例1、推导求根公式:
(
)
例2、利用公式解方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
例3、已知a,b,c均为实数,且
+|b+1|+(c+3)2=0,解方程
例4、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x-1与B=3x2-2相等吗?
例5、一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根为零,求m的值及另一根.
三、经典练习
1、用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是()
A.x1、2=
B.x1、2=
C.x1、2=
D.x1、2=
2、方程x2+3x=14的解是()
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
3、下列各数中,是方程x2-(1+
)x+
=0的解的有()
①1+
②1-
③1④-
A.0个B.1个C.2个D.3个
5、若代数式x2-6x+5的值等于12,那么x的值为()
A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或1
6、关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2,则m的值等于()
A.2B.-
C.-2D.
7、当x为何值时,代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?
第四节用因式分解法解一元二次方程
学习目标:
1、了解分解因式法的概念。
2、会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
重难点:
会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
教学过程:
一、回顾引新:
1、有两个数a、b,如果它们之间满足a•b=0,则a,b的值会是怎样的情况?
2、对下列各式分解因式:
(1)5x2-4x
(2)x-2-x2+2x
二、学习探究:
会用分解因式法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
学习教材P.60—61的内容,解答下列问题:
1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?
2、观察小颖、小明、小亮的做法,正确的有,思考错误的原因;
小颖的依据是,小亮是如何做的?
(说明)
由小亮的做法可以得到:
如果,那么
3、当一元二次方程的一边为0,而另一边容易时,我们就可以采用的方法求解。
这种解一元二次方程的方法称为。
三、合作交流:
1、利用分解因式法解一元二次方程的步骤是什么?
2、你能用分解因式法解方程x2-4=0,(x+1)2-25=0吗?
与同学交流一下。
四、归纳总结:
通过本节课的学习你学到了哪些知识?
与同学交流一下。
五、例题解析:
例1、利用分解因式法解方程
(1)5x2=4x
(2)x-2=x(x-2)
六、当堂训练:
1、用分解因式法解方程并思考做题依据:
(1)x2-6x=0
(2)3(x-5)2=2(5-x)(3)2(x-3)2=x2-9
(4)4x2-4x+1=0(5)4(x-2)2=9(x+3)2
2、解方程2x(x-1)=x-1时,有的同学在方程的两边同时除以(x-1),得2x=1,解方程得x=0.5,这种做法对吗?
如果不对,请你写出正确的答案并与同学交流.
七、课后作业:
习题2.7
第5节一元二次方程根与系数的关系
教学目标:
1.理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a、b、c之间的关系。
2.根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知数。
3.会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
重难点:
在推导过程中,培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
教学过程:
一、复习回顾
1、一元二次方程的一般形式?
ax2+bx+c=0(a≠0)(板书)
2、一元二次方程有实数根的条件是什么?
(△=b2-4ac≥0)
3、当△>0,△=0,△<0根的情况如何?
4、一元二次方程的求根公式是什么?
二、情景引入
内容:
同学们,我们来做一个游戏,看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积?
(1)x2+3x+4=0
(2)6x2+x-2=0 (3)2x2-3x +1=0
目的:
通过游戏入手,激发学生学习兴趣。
效果:
激发了学生的求知欲和好奇心,激起了学生探究新知的兴趣。
自然引出本节课要学习的课题
三、探究新知
内容:
计算填表(验证第一环节游戏的结果)
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+4=0
6x2+x-2=0
2x2-3x +1=0
问题:
1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗?
2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系,那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢?
3、请根据以上的观察发现进一步猜想:
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a、b、c之间的关系:
__________。
4.你能证明上面的猜
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