学年新课标最新湘教版八年级数学下册《四边形》同步练习题及答案解析.docx

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学年新课标最新湘教版八年级数学下册《四边形》同步练习题及答案解析

湘教版2017—2018学年八年级数学下学期

《四边形》2.1—2.2同步练习与解析

一．选择题（共10小题）

1．从n边形一个顶点出发，可以作（　　）条对角线．

A．nB．n﹣1C．n﹣2D．n﹣3

2．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成10个三角形，则此多边形的边数为（　　）

A．9B．11C．12D．10

3．若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（　　）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

4．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（　　）

A．7B．10C．35D．70

5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（　　）

A．a＞bB．a=bC．a＜bD．b=a+180°

6．商店出售下列形状的地砖：

①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．

若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（　　）

A．1种B．2种C．3种D．4种

7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）

A．150°B．130°C．120°D．100°

8．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）

A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3

9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（　　）

A．10B．14C．20D．22

10．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（　　）

A．2B．3C．4D．6

二．填空题（共8小题）

11．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　　．

12．如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是　　．

13．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于

PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为　　．

14．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是　　．

15．如图，在▱ABCD中，AB=2

cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长　　cm．

16．一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是　　．

17．试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：

　　．

18．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为　　cm2．

三．解答题（共5小题）

19．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．

20．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．

21．已知线段AC=8，BD=6．

（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图

（1）、图

（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1=　　，S2=　　，S3=　　；

（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．

22．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：

AG=CH．

23．在▱ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，设∠ABC=α，过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME．

（1）如图①，当α=90°，ME与MC的数量关系是　　；∠AEM与∠DME的关系是　　；

（2）如图②，当60°＜α＜90°时，请问：

（1）中的两个结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图③，当0°＜α＜60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是　　；∠AEM与∠DME的关系是　　．（直接写出结论即可，不必证明）

2.1—2.2同步练习解析

一．选择题（共10小题）

1．从n边形一个顶点出发，可以作（　　）条对角线．

A．nB．n﹣1C．n﹣2D．n﹣3

【分析】根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有n﹣3个．

【解答】解：

n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引n﹣3条对角线．

故选D．

【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义，是需要熟记的内容．

2．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成10个三角形，则此多边形的边数为（　　）

A．9B．11C．12D．10

【分析】根据从一个n边形一个顶点出发的对角线可将这个多边形分成（n﹣2）个三角形进行计算即可．

【解答】解：

设这个多边形的边数是n，

由题意得，n﹣2=10，

解得，n=12．

故选：

C．

【点评】本题考查的是n边形的对角线的知识，从n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可将这个多边形分成（n﹣2）个三角形．

3．（2016•南通）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（　　）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

【解答】解：

设多边形的边数为n，根据题意得

（n﹣2）•180°=360°，

解得n=4．

故这个多边形是四边形．

故选B．

【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．

4．（2016•广安）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（　　）

A．7B．10C．35D．70

【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入

中即可得出结论．

【解答】解：

∵一个正n边形的每个内角为144°，

∴144n=180×（n﹣2），解得：

n=10．

这个正n边形的所有对角线的条数是：

=

=35．

故选C．

【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．

5．（2016•宜昌）设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（　　）

A．a＞bB．a=bC．a＜bD．b=a+180°

【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．

【解答】解：

∵四边形的内角和等于a，

∴a=（4﹣2）•180°=360°．

∵五边形的外角和等于b，

∴b=360°，

∴a=b．

故选B．

【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．

6．商店出售下列形状的地砖：

①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．

若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（　　）

A．1种B．2种C．3种D．4种

【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：

围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

【解答】解：

①长方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；

②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；

③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；

④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；

故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有①②④．

故选C．

【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．

7．（2016•河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）

A．150°B．130°C．120°D．100°

【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠AEB=∠ABE，

∵∠BED=150°，

∴∠ABE=∠AEB=30°，

∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．

故选C．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

8．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）

A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3

【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．

【解答】解：

设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，

则S2=

（a+c）（a﹣c）=

a2﹣

c2，

∴S2=S1﹣

S3，

∴S3=2S1﹣2S2，

∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．

故选A．

【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．

9．（2016•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（　　）

A．10B．14C．20D．22

【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，

∵AC+BD=16，

∴AO+BO=8，

∴△ABO的周长是：

14．

故选：

B．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO的值是解题关键．

10．（2016•泰安）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（　　）

A．2B．3C．4D．6

【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：

DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，

∴∠F=∠DCF，

∵CF平分∠BCD，

∴∠FCB=∠DCF，

∴∠F=∠FCB，

∴BF=BC=8，

同理：

DE=CD=6，

∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，

∴AE+AF=4；

故选：

C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．

二．填空题（共8小题）

11．（2016•河南）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　110°　．

【分析】首先由在▱ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAE=∠1=20°，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．

故答案为：

110°．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．

12．（2016•巴中）如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是　1＜a＜7　．

【分析】由平行四边形的性质得出OA=4，OD=3，再由三角形的三边关系即可得出结果．

【解答】解：

如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=

AC=4，OD=

BD=3，

在△AOD中，由三角形的三边关系得：

4﹣3＜AD＜4+3．

即1＜a＜7；

故答案为：

1＜a＜7．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键．

13．（2016•深圳）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于

PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为　2　．

【分析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，

【解答】解：

根据作图的方法得：

AE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=5，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AE=AB=3，

∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；

故答案为：

2．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．

14．（2016•新疆）如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是　24　．

【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，即可求出答案．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AB∥CD，

∴∠DAB+∠CBA=180°，

又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，

∴∠PAB+∠PBA=

（∠DAB+∠CBA）=90°，

在△APB中，∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；

∵AP平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB，

∵AB∥CD，

∴∠PAB=∠DPA

∴∠DAP=∠DPA

∴△ADP是等腰三角形，

∴AD=DP=5，

同理：

PC=CB=5，

即AB=DC=DP+PC=10，

在Rt△APB中，AB=10，AP=8，

∴BP=

=6，

∴△APB的周长=6+8+10=24；

故答案为：

24．

【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．

15．（2016•十堰）如图，在▱ABCD中，AB=2

cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长　4　cm．

【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2

cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．

【解答】解：

在▱ABCD中，∵AB=CD=2

cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，

∵AC⊥BC，

∴AC=

=6cm，

∴OC=3cm，

∴BO=

=5cm，

∴BD=10cm，

∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，

故答案为：

4．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

16．（2016•黔西南州）一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是　8　．

【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【解答】解：

根据n边形的内角和公式，得

（n﹣2）•180=1080，

解得n=8．

∴这个多边形的边数是8．

故答案为：

8．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．

17．试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：

　S=

n（n﹣3）　．

【分析】根据多边形对角线的条数的公式即可求解；

【解答】解：

用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：

S=

n（n﹣3）；

故答案为：

S=

n（n﹣3）．

【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式，熟记公式对今后的解题大有帮助．

18．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为　40　cm2．

【分析】由▱ABCD的周长为36cm，可得AB+BC=18cm①，又由过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，由等积法，可得4AB=5BC②，继而求得答案．

【解答】解：

∵▱ABCD的周长为36cm，

∴AB+BC=18cm①，

∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，

∴4AB=5BC②，

由①②得：

AB=10cm，BC=8cm，

∴▱ABCD的面积为：

AB•DE=40（cm2）．

故答案为：

40．

【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．

三．解答题（共5小题）

19．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．

【分析】

（1）先分别用零指数幂，立方根，负指数化简，再计算即可；

（2）根据正五边形的内角及等腰三角形的性质计算即可．

【解答】解：

（1）原式=1﹣2﹣9=﹣10，

（2）∵ABCDE是正五边形，

∴∠C=∠CDE=108°CD=CB，

∴∠1=36°，

∴∠2=108°﹣36°=72°

∵AF∥CD，

∴∠F=∠1=36°，

∴∠G=180°﹣∠2﹣∠F=72°

【点评】此题是多边形的内角和，主要考查了正五边形的内角的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出正五边形的内角．

20．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．

【解答】解：

设这个多边形的边数是n，

根据题意得，（n﹣2）•180°=2×360°，

解得n=6．

答：

这个多边形的边数是6．

【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．

21．已知线段AC=8，BD=6．

（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图

（1）、图

（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1=　24　，S2=　24　，S3=　24　；

（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．

【分析】

（1）把四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和，然后列式求解即可；

（2）猜想，四边形的面积等于互相垂直的对角线乘积的一半，然后根据四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和进行证明．

【解答】解：

（1）S1=

×6×3+

×6×5=9+15=24，

S2=

×6×4+

×6×4=12+12=24，

S3=

×6×6+

×6×2=18+6=24；

（2）猜想四边形ABCD面积为24，

理由如下：

S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，

=

BD•AO+

BD•CO，

=

BD（AO+CO），

=

BD•AC，

=

×8×6，

=24．

【点评】本题考查了多边形，三角形的面积，把四边形的面积分成两个三角形的面积的和是解题的关键，利用规则图形的面积求不规则图形的面积是常用的方法之一．

22．（2016•黄冈）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：

AG=CH．

【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，

∵E、F分别为AD、BC边的中点，

∴AE=DE=

AD，CF=BF=

BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴BE∥DF，

∴∠AEG=∠ADF，

∴∠AEG=∠CFH，

在△AEG和△CFH中，

，

∴△AEG≌△CFH（ASA），

∴AG=CH．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

23．在▱ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，设∠ABC=α，过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME．

（1）如图①，当α=90°，ME与MC的数量关系是　ME=MC　；∠AEM与∠DME的关系是　∠DME﹣∠AEM=180°﹣α　；

（2）如图②，当60°＜α＜90°时，请问：

（1）中的两个结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图③，当0°＜α＜60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是　ME=MC　；∠AEM与∠DME的关系是　∠DME﹣∠AEM=α　．（直接写出结论即可，不必证明）

【分析】

（1）根据α=90°，▱ABCD是矩形，又M为AD的中点，所以可以证明△ABM与△DCM是全等三角形，根据全等三角形对应边相等即可得到ME=MC；根据三角形外角性质，∠DME﹣∠AEB=∠A，再根据两直线平行，同旁内角互补，∠A=180°﹣α；

（2）点E在线段AB上，过M作MN⊥EC于N，根据M为AD的中点，可得出MN是梯形AECD的中位线，故点N是EC的中点，从而MN是线段EC的垂直平分线，所以ME=MC；先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠A的度数，再根据三角形的外角性质即可得到两角的关系．

（3）点E在线段BA的延长线上，根据

（2）的证明求解方法，同理可解．

【解答】

（1）ME=MC；∠DME﹣∠AEM=180°﹣α．

（2）成立．连CM，过M作MN⊥EC于N，

∵AB⊥CE，MN⊥