第一章第三节运动图象追及相遇问题.docx

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第一章第三节运动图象追及相遇问题

第三节　运动图象　追及、相遇问题

[学生用书P7]）

一、匀变速直线运动的图象

1．直线运动的x－t图象

（1）物理意义：

反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律．

（2）斜率的意义：

图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向．

2．直线运动的v－t图象

（1）物理意义：

反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律．

（2）斜率的意义：

图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向．

（3）“面积”的意义

①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小．

②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向．

　1.（多选）物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图甲、乙所示，则这两个物体的运动情况是（　　）

A．甲在整个t＝6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零

B．甲在整个t＝6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m

C．乙在整个t＝6s时间内有来回运动，它通过的总位移为零

D．乙在整个t＝6s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为6m

解析：

选BC.甲图象中的直线的斜率表示速度，速度方向不变，没有来回运动，只是相对于原点的位移，一开始为负，后来为正，选项B正确．乙图象中直线的斜率表示加速度，速度先是负向变小，后正向增大，有来回运动，C项正确．

二、追及和相遇问题

1．两类追及问题

（1）若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．

（2）若追不上前者，则当后者速度与前者相等时，两者相距最近．

2．两类相遇问题

（1）同向运动的两物体追及即相遇．

（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．

　2.（单选）

（2015·河南六市一联）A、B两个物体在水平面上沿同一直线运动，它们的v－t图象如图所示．在t＝0时刻，B在A的前面，两物体相距7m，B物体做匀减速运动的加速度大小为2m/s2.则A物体追上B物体所用时间是（　　）

A．5s　　　　　　　B．6.25s

C．7sD．8s

答案：

D

__运动图象的理解及应用__[学生用书P8]_

1．对运动图象的理解

（1）无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．

（2）x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．

（3）x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．

2．应用运动图象解题“六看”

x－t图象

v－t图象

轴

横轴为时间t，纵轴为位移x

横轴为时间t，纵轴为速度v

线

倾斜直线表示匀速直线运动

倾斜直线表示匀变速直线运动

斜率

表示速度

表示加速度

面积

无实际意义

图线和时间轴围成的面积表示位移

纵截距

表示初位置

表示初速度

特殊点

拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇

拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等

　（单选）（2014·高考新课标全国卷Ⅱ）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内（　　）

A．汽车甲的平均速度比乙的大

B．汽车乙的平均速度等于

C．甲、乙两汽车的位移相同

D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

[解析]　根据v－t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝

得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于

，选项B错误；根据v－t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．

[答案]　A

[易错提醒]　对t＝0时两条v－t图线不相交，不少同学误认为两物体位置不同．位置是否相同应根据题干条件判定．如“突破训练1”中明确告知t＝0时两物体经过同一位置．

　1.（多选）（2013·高考四川卷）甲、乙两物体在t＝0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v－t图象如图所示，则（　　）

A．甲、乙在t＝0到t＝1s之间沿同一方向运动

B．乙在t＝0到t＝7s之间的位移为零

C．甲在t＝0到t＝4s之间做往复运动

D．甲、乙在t＝6s时的加速度方向相同

解析：

选BD.速度图象中坐标的正负表示物体的速度方向，即物体的运动方向，故A错误；速度图象与时间轴所围面积表示物体的位移，由题图知在0～7s内乙物体速度图线与时间轴所围总面积为零，故B正确；在0～4s内甲物体的速度始终为正，即这段时间内一直沿正方向运动，故C错误；速度图线的斜率表示加速度，即斜率绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，由题图可知D正确．

__追及与相遇问题___________[学生用书P9]_

1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．

（1）一个临界条件：

速度相等．它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．

（2）两个等量关系：

时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．

2．能否追上的判断方法

（1）做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：

开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．

（2）数学判别式法：

设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．

3．注意三类追及相遇情况

（1）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上．

（2）若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上．

（3）判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体的速度相等的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系．

　在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．

[解析]　法一：

临界条件法

设两车运动时间t速度相等

由v0－（2a）t＝at得，t＝

①

A车位移：

xA＝v0t－

（2a）t2

B车位移：

xB＝

at2

两车不相撞的条件：

xB＋x≥xA

即：

at2＋x≥v0t－at2②

联立①②得：

v0≤

.

法二：

二次函数极值法

设两车运动了时间t，则

xA＝v0t－at2

xB＝

at2

两车间不相撞须满足

Δx＝xB＋x－xA＝

at2－v0t＋x≥0

则Δxmin＝

≥0

解得v0≤

.

[答案]　v0≤

[方法总结]　

（1）解题思路

→

→

→

（2）解题技巧

①紧抓“一图三式”，即：

过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．

②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．

　2.（单选）（2015·湖北黄冈模拟）近年来，我国大部分地区经常出现雾霾天气，给人们的正常生活造成了极大的影响．在一雾霾天，某人驾驶一辆小汽车以30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵．如图a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图象，以下说法正确的是（　　）

A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾

B．在t＝5s时追尾

C．在t＝3s时追尾

D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾

解析：

选C.从图象可以看出，小汽车刹车失灵前的加速度a1＝－10m/s2，失灵后的加速度a2＝－2.5m/s2，假设能追尾，设追尾时间为t，则有小汽车刹车失灵前的位移：

x1＝

×（20＋30）×1m＝25m，小汽车刹车失灵后的位移：

x2＝20×（t－1）－

×2.5×（t－1）2，大卡车的位移：

x3＝10t，由x1＋x2＝30＋x3得t＝3s，则假设成立，所以A、B错误，C正确；如果刹车不失灵，则在t＝2s时两车速度相同，这时没有追尾，以后两车间距会越来越大，更不会追尾，D错．

[学生用书P9]）

方法技巧——用图象法解决追及相遇问题

　两辆完全相同的汽车，沿水平路面一前一后均以20m/s的速度前进．若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停止时，后车以前车刹车时的加速度的2倍开始刹车．已知前车刹车的过程中所行驶的距离为100m，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时保持的最小距离是多少？

[审题点睛]　作两车运动的v－t图象时，应注意以下三点：

（1）明确两车的运动性质；

（2）前车停下来的时刻、后车开始刹车的时刻和后车停下来的时刻；

（3）两车的最小距离与图象“面积”的关系．

[解析]　设前、后两车的加速度分别为a1、a2，从刹车开始到停止所用的时间分别为t1、t2.由题意知，a2＝2a1，则t2＝

t1，根据题意作出两车从前车刹车开始的v－t图象．分别为AC和ABD.图中三角形AOC的面积为前车刹车后的位移，且x1＝100m，梯形ABDO为从前车刹车后后车的位移，由图象可知，矩形ABCO面积为三角形AOC面积的二倍，三角形BCD面积为三角形AOC面积的

，即梯形ABDO面积为三角形AOC的面积的2.5倍．由此得，后车从前车刹车开始到自己停止通过的距离为x2＝250m，因此为使两车不相撞，两车在匀速行驶时应保持的最小距离为：

Δx＝x2－x1＝150m.

[答案]　150m

[总结提升]　

（1）两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题，过程较为复杂．如果两物体的加速度没有给出具体的数值，并且两个加速度的大小也不相同，如果用公式法，运算量比较大，且过程不够直观，若应用v－t图象进行讨论，则会使问题简化．

（2）根据物体在不同阶段的运动过程，利用图象的斜率、面积、交点等含义分别画出相应图象，以便直观地得到结论．

　3.（单选）汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4m/s2的加速度做匀加速运动，经过30s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（　　）

A．A车在加速过程中与B车相遇

B．A、B相遇时速度相同

C．相遇时A车做匀速运动

D．两车不可能相遇

解析：

选C.作出A、B两车运动的v－t图象如图所示，v－t图象所包围的“面积”表示位移，经过30s时，A车图象所围面积小于B车，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30s后A车以12m/s的速度做匀速直线运动，随着图象所围“面积”越来越大，可以判断在30s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，选项C正确，选项B、D错误．

[学生用书P10]）

）