人教版七年级数学第四章几何图形初步角.docx
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人教版七年级数学第四章几何图形初步角
第四章几何图形初步
---角
一、学习目标
1.在现实情景中,理解角的概念,掌握角的表示方法。
2.认识角的度量单位:
度、分、秒,学会进行简单的换算和角度的计算。
3.会比较两个角的大小,能分析图中角的和差关系。
4.理解角平分线的概念,会画角平分线。
5.认识一个角的余角和补角,理解互余、互补的概念,会求一个角的余角和补角;
在具体情境中了解余角与补角.懂得等角的余角相等,等角的补角相等.并能运用这些性质解决一些简单的实际问题。
6.理解方位角的意义,掌握方位角的判别与应用。
二、知识精讲
知识点1:
角的概念和表示方法
⑴概念:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这了条射线是角的两条边。
⑵表示方法:
①“∠”加三个大写字母表示但表示顶点的字母写在中间如:
∠AOB或∠BOA
②用“∠”加顶点大写字母表示【注意:
只适合以某一点为顶点的角只有一个角时】如:
∠O
③用“∠”加阿拉伯数字1、2.、3表示如:
∠1
④用“∠”加希腊字母α、β、γ表示如:
∠α
【例1】下列四个图形中,能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是( )
【题组训练】:
1.下列两条射线能正确表示一个角的是()
2.正确表示下列的角。
______________________________________________
3.下列说法中不正确的是()
A.∠AOB的顶点是O点B.射线BO,射线AO分别是∠AOB的两条边
C.∠AOB的边是两条射线D.∠AOB与∠BOA表示同一个角
4.如图,下列表示角的方法错误的是()
A.∠1与∠AOB表示同一个角B.∠AOC可用∠O来表示
C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOCD.∠β表示的是∠BOC
5.下列说法中,正确的是。
()
A.平角是一条直线。
B.一条直线是一个周角
C.两边成一条直线的角是平角。
D.直线是平角
6.下列说法中不正确的是()
A.∠AOB的顶点是O点B.射线BO,射线AO分别是∠AOB的两条边
C.∠AOB的边是两条射线D.∠AOB与∠BOA表示同一个角
7.如图
(1),下列表示角的方法错误的是()
A.∠1与∠AOB表示同一个角B.∠AOC可用∠O来表示
C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOCD.∠β表示的是∠BOC
8.如图
(2),用两种方法表示同一个角的是()
A.∠1和∠CB.∠2和∠CC.∠3和∠AD.∠4和∠B
9..如图,
是直角,
也是直角,则()
A.∠1=∠2B.
C.∠1=∠3D.∠3=∠2
10..在∠AOB的内部任取一点C作射线OC,则一定成立的是()
A.
B.
C.
D.
11.利用一副三角板,能作出大于0°而小于90°的角共有()
A.13个B.11个C.5个D.4个
12.已知如图(3),
(1)试用三个大写字母表示:
∠1就是,∠2就是,∠3就是,∠4就是。
(2)图中共有____个角(除去平角),其中可以用一个大写字母表示的角有个.
13.比较两个角大小的方法有和。
14.已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB和OC,使
,
,则
的度数为.
15.如图,点C是∠AOB的边OA上一点,D、E是OB上两点,则图中共有_____条线段,____条射线,_____个小于平角的角.
16.一个正方形纸片沿着一条折痕剪去一个三角形,剩下的那部分将会有个角。
17.如图所示,图中共有多少个角,能用一个字母表示的角是哪个?
把图中所有的角都表示出来。
18.借助三角板画出15°,105°,120°,135°的角。
19.已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=600,∠BOC=200,求∠AOC的度数。
(注意考虑角的位置关系)
20.如图∠AOB=145°,∠AOC=550,∠BOD=1100,求∠COD的度数。
知识点2:
角的度量及单位换算
⑴角的度、分、秒换算:
10=60/,1/=60//,1平角=1800,1周角=3600,
注意:
不能说成平角是一条直线,周角是一条射线,时钟一大格300,一小格60
⑵角的运算:
①度化分、秒→整数部分不管,小数部分×60得出的整数部分作为分,再将小数部分×60得出秒。
②分、秒化度→分÷60再加上秒÷3600最后加上整度数
③度分秒的加法→度对度,分对分,秒对秒分别相加再从秒开始满60向前一单位进“1”
④度分秒的减法→先整体观察分秒是否够减若不够向前一单位借“1”当“60”直至各单位够减为止再相减。
⑤度分秒的乘法→先用这个数分别乘以度分秒再从秒开始满60向前一单位进“1”以此类推。
⑥度分秒的除法→先用度除以这个数商作为度余数×60化为分再加原数中的分除以60商为分以此类推
【例1】22.5°=______°______′;12°24′=________
;
【例2】计算
1153°19′46″+25°55′32″②106°9′-34°58′30″
③(180°-91°32′24″)×3④53°40′30″×2-75°57′28″÷2
⑤13°53′×3-32°5′31″⑥86°19′27″+7°23′58″×3
【例3】
(1)从3时到6时,钟表的时针旋转的角度是
(2)2点15分,钟表的时针与分针所成的锐角是度;
【题组训练】:
1.下列说法中正确的是()
A.两条射线所组成的图形叫做角B.一条直线可以看成一个平角
C.角的两边越长,角就越大D.角的大小和它的度数大小是一致的
2.已知∠AOB=120°,OC在它的内部,且把∠AOB分成1:
3的两个角,那么
∠AOC的度数为()
A.40°B.40°或80°C.30°D.30°或90°
3.下列判断正确的是().
A.平角是一条直线B.凡是直角都相等
C.两个锐角的和一定是锐角D.角的大小与两条边的长短有关
4.0.15°=′=″,25°12′36″=°。
5.50°38′的一半是。
6.
(1)2.5°=′;
(2)24°30′36″=°;
(3)30.6°=_____°_____′;(4)30°6′=______°;
(5)49°38′+66°22′=;(6)180°-79°19′=.
7.把一个蛋糕n等份,每份的圆心角为30°,则n=.
8.分别确定四个城市相应钟表上时针与分钟所成的角的度数.
______________________________________
9.由2点30分到2点55分,时钟的时针旋转了________度,分针旋转了________度,此刻时针与分针的夹角是________度.
10.钟表在3点30分时,时针与分针所成的锐角是度。
11.0.5周角=平角=直角=度。
12.在图4中,小于平角的角有个。
13.将一张正方形的纸片,对折两次,相邻两条折痕(虚线)间的夹角为______度。
14.如图,已知点O是直线AD上的点,∠AOB、∠BOC、∠COD三个角从小到大依次相差25°,则这三个角的度数分别为_____________.
15.计算:
(1)13°29′+78°37′
(2)62°5′-21°39′
(3)22°16′×5;(4)42°15÷5;(5)182°36′÷4+22°16×3.
16.上午9点半时,时针与分针的夹角是多少度?
17.如图,AB是直线,∠1=∠2=50°36′求∠3的度数。
18.两个角的度数之比为7:
3,它们的差为36°,求这两个角。
知识点3:
角平分线
角平分线:
一条射线把一个角分成两个相等的角,则这条射线叫做这个角的平分线。
几何语言:
O
OB平分∠AOC
∠AOB=∠BOC=
∠AOC(或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC)
【例1】如图,OB是∠AOC的角平分线,OD是∠COE的角平分线.
如果∠AOB=40°,∠COE=60°,求∠BOD的度数
【例2】如图所示,点O是直线AB上一点,OE,OF分别平分∠AOC和∠BOC,若∠AOC=68°,则∠BOF和∠EOF是多少度?
【例3】如图,直线AB、CD交于O点,且∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线.
(1)求∠2和∠3的度数.
(2)OF平分∠AOD吗?
为什么?
【例4】如图,O为直线AB上一点,∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°
(1)请你数一数,图中有多少个小于平角的角;
(2)求出∠BOD的度数;
(3)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.
【题组训练】:
1.点C在∠AOB的内部,下面的等式中,能表示OC是∠AOB的平分线的有()
①∠AOC=∠BOC②∠AOB=2∠AOC③∠AOC=
∠AOB④∠BOC=
∠AOBA.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,
如果∠BAF=60°,则∠DAE等于()
A.15°B.30°C.45°D.60°
3.点M、O、N顺次在同一直线上,射线0C、0D在直线MN同侧,且∠MOC=64°,∠DON=46°,则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是().
A.85°B.105°C.125°D.145°
4.如图,将一副三角尺按不同位置摆放,摆放方式中∠α与∠β互余的是()
5.∠A与∠B互补,∠A与∠C互余,则2∠B-2∠C=________°
6.已知,∠AOB=
,OC是∠AOB的一条三等分线,则∠AOC的度数是
7.已知∠AOB是直角,OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,那么∠MON=_。
8.已知如图:
∠1∶∠2∶∠3∶∠4=1∶2∶3∶4,则
∠1=°,∠2=°,∠3=°,∠4=°。
9.如图.OE平分∠BOC,OD平分∠AOC,∠BOE=20°,∠AOD=40°求∠DOE的度数.
7.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:
5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.
8.直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=40°,求∠2与∠3的度数。
9.已知OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,若∠AOB=70°,∠AOB=2∠BOC,求∠AOC的度数
10.如图,射线AD、BE构成∠1、∠2量出∠1、∠2以及∠BAC、∠ACB、∠ABC的度数,并计算∠ACB+∠A,∠A+∠ABC的值,你能得到什么结论呢?
11.如图,点O在直线AB上,OD是∠AOC的平分线,OE是∠COB的平分线.
(1)求∠DOE的度数.
(2)如果∠AOD=51°17′,求∠BOE的度数.
12.如图,已知∠AOB=90o,∠AOC是60o,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC。
求∠DOE。
13.如图,O是直线AB上一点,OC为任一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.
(1)指出图中∠AOD的补角,∠BOE的补角;
(2)若∠BOC=68°,求∠COD和∠EOC的度数;
(3)∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系?
14.∠AOB=∠COD=90°,OC平分∠AOB,∠BOD=3∠DOE.
∠COE的度数.
15.如图,已知O为AD一上点,∠AOC与∠AOB互补,OM,ON分别为∠AOC,∠AOB的平分线,若∠MON=40°,试求∠AOC与∠AOB的度数.
知识点4:
余角和补角的概念和性质
⑴余角与补角:
如果两个角的和等于90°(直角),就是说这两个叫互为余角,即其中的每一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角。
⑵性质:
等角的余角相等,等角的补角相等。
【注意:
①互余、互补一定是指两个角②两角互余即这两个角相加等于900,两角互补即这两个角相加等于1800】
【例1】
(1)一个角的余角比它的补角的
还少20°,求这个角.
(2)一个角的补角与它的余角的度数之比是3:
1,求这个角的度数.
【题组训练】
1.如果一个角是30°,那么它的余角是_____度.
2.已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=1500,则∠2是____的余角,_____是∠4的补角.
3.如果∠α=39°31°,∠α的余角∠β=_____,∠α的补角=_____,∠α-∠β=_____.
4.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=______°,依据是______________.
5.一个角的补角是130°,则这个角的余角是_____度.
6.如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角是________.
7.如图,∠AOB=∠COD=90°,那么∠AOC=∠BOD,这是根据().
A.直角都相等B.同角的余角相等
C.同角的补角相等D.互为余角的两个角相等
8.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的定顶点重合于点0,则∠AOC+∠DOB=_____.
9.如果79°-2x与21°+6x互补,那么x=_____.
10.如果
和
两角互补,
和
两角互余,那么
=____________(用含有β和γ的式子表示)
11.下列说法中错误的是()
A.两个互余的角都是锐角B.钝角的平分线把钝角分为两个锐角
C.互为补角的两个角不可能都是钝角D.两个锐角的和必定是直角或钝角
12.如果∠α+∠β=90°,而∠β与∠γ互余,那么∠α与∠γ的关系是()
A.互余B.互补C.相等D.不能确定
13.下列说法中正确的是:
()
A.锐角大于它的余角B.锐角小于它的补角
C.锐角不小于它的补角D.锐角的补角小于锐角的余角
14.一个锐角和它的余角之比是5∶4,那么这个锐角的补角的度数是:
()
A.100°B.120°C.130°D.140°
15.一个角的余角比它的补角的少40°,求这个角的度数.
16.互为余角的两个角的比1:
2是,则这两个角分别是多少?
17.互补的两角之差是28°,则其中一个角的余角是多少?
18.一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°,求这个角的度数.
19.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍,求这个角.
20.把角铁弯成的铁架时截去的缺口应是多少度(不考虑角铁厚度)?
知识点5:
方位角
方位角:
通常以参照点为基准按“上北下南,左西右东”建立方位坐标,东北方指东偏北450
【例1】在海上,灯塔位于一艘船的北偏东40°方向,那么这艘船位于这个灯塔的().
A:
南偏西50°方向B:
南偏西40°方向
C:
北偏东50°方向D:
北偏东40°方向
【例2】一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点,再从B点出发向南偏西15°方向走到C点,那么∠ABC=()
A.60°B.15°C.45°D.70
【题组训练】:
1.如图1,点A在O的北偏东°,点B在O的°,
点C在O的°,点D在O的°.
2.如图2所示,下列说法中错误的是()
A.OA的方向是北偏东40°B.OB的方向是北偏西15°
C.OC的方向是南偏西30°D.OD的方向是正东南方向
3.书店、学校、食堂在平面上分别用点A、B、C来表示,书店在学校的北偏西30°,食堂在学校的南偏东15°,则平面图上的∠ABC应该是()
A.65°B.35°C.165°D.135°
4.甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是()
A.85°B.160°C.125°D.105°
5.在海上,灯塔位于一艘轮船的北偏东40°方向,那么这艘轮船位于这个灯塔的()
A.北偏东50°方向B.南偏西50°方向
C.南偏西40°方向D.北偏东40°方向
6.A看B的方向是北偏东50°,则B看A的方向是.
7.某物体A先在小明的西南方向,后来A绕小明逆时针旋转了140°,则这时A在小明的._______________
8.在图中,确定A、B、C、D的位置:
(1)A在O的正北方向,距O点2cm;
(2)B在O的北偏东60°方向,距O点3cm;
(3)C为O的东南方向,距O点1.5cm;
(4)D为O的南偏西40°方向,距O点2cm.
9.如图所示,A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它的东北方向,B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上,请你试着在图中确定这个不明物体的位置.
10.灯塔A在灯塔B的南偏西60°,A、B两灯塔相距20海里。
现有一轮船C在灯塔B的正北方向,在灯塔A的北偏东30°方向。
试画图确定轮船C的位置。
(画图时每10海里用1厘米长的线段表示)
11.小王在校运动场的A点向东北方向走40米到B点,再从B点向西走40米到C点.C点在A点的北偏西多少度?
12.如图,学校的操场边有一块绿油油的草地,草地边有A、B两颗小树,小明和小光在草地上玩“寻宝”游戏,小明将一颗细小的珠子藏在草丛中,然后告诉小光说,站在藏珠子的位置看见小树A在西南方向,看小树B在北偏东60°方向上.你能帮知小光找到珠子吗?
画出藏珠子的位置.
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