第8课 一元二次方程的根的判别式.docx
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第8课一元二次方程的根的判别式
第8课一元二次方程的根的判别式
(一)
一、教学目的
1.使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式.
2.使学生掌握不解方程,运用判别式判断一元二次方程根的情况.
二、教学重点、难点
重点:
一元二次方程根的判别式的应用.
难点:
一元二次方程根的判别式的推导.
三、教学过程
复习提问
1.一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么?
2.用公式法求出下列方程的解:
(1)3x2+x-10=0;
(2)x2-8x+16=0;(3)2x2-6x+5=0.
引入新课
通过上述一组题,让学生回答出:
一元二次方程的根的情况有三种,即有两个不相等的实数根;两个相等的实数根;没有实数根.
接下来向学生提出问题:
是什么条件决定着一元二次方程的根的情况?
这条件与方程的根之间又有什么关系呢?
能否不解方程就可以明确方程的根的情况?
这正是我们本课要探讨的课题.(板书本课标题)
新课
先讨论上述三个小题中b2-4ac的情况与其根的联系.再做如下推导:
对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),可将其变形为
∵a≠0,∴4a2>0.
由此可知b2-4ac的值的“三岐性”,即正、零、负直接影响着方程的根的情况.
(1)当b2-4ac>0时,方程右边是一个正数.
(2)当b2-4ac=0时,方程右边是0.
通过以上讨论,总结出:
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2-4ac来判定.故称b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用“△”来表示.
综上所述,一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
当△>0时,有两个不相等的实数根;
当△=0时,有两个相等的实数根;
当△<0时,没有实数根.反过来也成立.
注:
“△”读作“delta”.
例不解方程,判别下列方程根的情况:
(1)2x2+3x-4=0;
(2)16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0.
分析:
要想确定上述方程的根的情况,只需算出“△”,确定它的符号情况即可.
练习:
P26123
小结
应用判别式解题应注意以下几点:
1.应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式,为应用判别式创造条件.
2.不必解方程,只须先求出△,确定其符号即可,具体数值不一定要计算出来.
3.其逆命题也是成立的.
作业:
习题12.3A组1--4
第9课一元二次方程的根的判别式
(二)
一、教学目的
通过对含有字母系数方程的根的讨论,培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力.培养学生思考问题的灵活性和严密性.
二、教学重点、难点
重点:
巩固掌握根的判别式的应用能力.
难点:
利用根的判别式进行有关证明.
三、教学过程
复习提问
1.写出一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式.
2.方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有哪几种情况?
如何判断?
引入新课
教材中“想一想”提出了如下问题:
已知关于x的方程
2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,
其中△=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)
=16k2+8k+1-16k2+8
=8k+9.
想一想,当k取什么值时,
(1)方程有两个不相等的实数根;
(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程没有实数根.
新课
上述问题,实际上是这样一道题目.
例1当k取什么值时,关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
(1)有两个不相等的实数根;
(2)有两个相等实数根;(3)方程没有实数根.
讲解例1
例2求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根.
分析:
要证明上述方程没有实数根,只须证明其根的判别式△<0即可.
例3证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根.
讲解例3
例4已知a,b,c是△ABC的三边的长,求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根.
讲解例4
练习:
1.若m≠n,求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根.
2.求证:
关于x的方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等的实数根.
小结
解决判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情况应依照下列步骤进行:
1.计算△;
2.用配方法将△恒等变形(或变成易于观察其符号的情况);
3.判断△的符号,得出结论.
作业:
习题12.3B组
第10课一元二次方程的根与系数的关系
(一)
一、教学目的
1.使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理),并学会初步运用.
2.培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力.
二、教学重点、难点
重点:
韦达定理的推导和初步运用.
难点:
定理的应用.
三、教学过程
复习提问
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式应如何表述?
2.上述方程两根之和等于什么?
两根之积呢?
新课
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为
由此得出,一元二次方程的根与系数之间存在如下关系:
(又称“韦达定理”)
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么
我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系.
得出:
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q.
由x1+x2=-p,x1x2=q可知p=-(x1+x2),q=x1·x2,
∴方程x2+px+q=0,
即x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.
这就是说,以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0.
例1已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一根及k的值.
讲解例1
练习P3212
小结
1.本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理,应在应用过程中熟记定理.
2.要掌握定理的两个应用:
一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积;二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值.
作业:
习题12.4A组1
第11课一元二次方程的根与系数的关系
(二)
一、教学目的
1.复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理.
2.学习定理的又一应用,即“已知方程,求方程两根的代数式的值”.
3.通过应用定理,培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力.
二、教学重点、难点
重点:
已知方程求关于根的代数式的值.
难点:
用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式.
三、教学过程
复习提问
1.一元二次方程根与系数关系的定理是什么?
2.下列各方程两根之和与两根之积各是什么?
(1)x2-3x-18=0;
(2)x2+5x+4=5;
(3)3x2+7x+2=0;(4)2x2+3x=0.
引入新课
考虑下列两个问题;
1.方程5x2+kx-6=0两根互为相反数,k为何值?
2.方程2x2+7x+k=0的两根中有一个根为0,k为何值?
我们可以从这两题中看出,根与系数之间的运算是十分巧妙的.本课我们将深入探讨这一问题.
新课
例2利用根与系数的关系,求一元二次方程2x2+3x-1=0两根的
(1)平方和;
(2)倒数和.
在讲本题时,要突出讲使用韦达定理,寻求x2+px+q=0中的p,q的值.
例4已知两个数的和等于8,积等于9,求这两个数.
这是一道“根与系数的关系定理”的应用题,要注意讲此类题的解题步骤:
(1)运用定理构造方程;
(2)解方程求两根;(3)得出所欲求的两个数.
练习:
P323、4、5
小结
本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法:
(1)已知方程求两根的各种代数式的值;
(2)已知两根的代数式的值,构造新方程;(3)已知两根的和与积,构造方程,解方程,求出与根对应的数.
作业:
习题12.4A组2、3、4
第12课二次三项式的因式分解(公式法)
(一)
一、教学目的
1.使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系.
2.使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解国式.
二、教学重点、难点
重点:
用求根法分解二次三项式.
难点:
方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别.
三、教学过程
复习提问
解方程:
1.x2-x-6=0;2.3x2-11x+10=0;3.4x2+8x-1=0.
引入新课
在解上述方程时,第1,2题均可用十字相乘法分解因式,迅速求解.而第3题则只有采用其他方法.此题给我们启示,用十字相乘法分解二次三项式,有时是无法做到的.是否存在新的方法能分解二次三项式呢?
第3个方程的求解给我们以启发.
新课
二次三项式ax2+bx+c(a≠0),我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式.下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法.
易知,解一元二次方程2x2-6x+4=0时,可将左边分解因式,即2(x-1)(x-2)=0,
求得其两根x1=1,x2=2.
反之,我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式.即,令二次三项式为0,解此一元二次方程,求出其根,从而分解二次三项式.具体方法如下:
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是
=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2).
从而得出如下结论.
在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时,可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2,然后写成ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
例如,方程2x2-6x+4=0的两根是x1=1,x2=2.
则可将二次三项式分解因式,得2x2-6x+4=2(x-1)(x-2).
例1把4x2-5分解因式.
讲解例1
练习:
P371
小结:
用公式法解决二次三项式的因式分解问题时,其步骤为:
1.令二次三项式ax2+bx+c=0;
2.解方程(用求根公式等方法),得方程两根x1,x2;
3.代入a(x-x1)(x-x2).
作业:
习题12.5A组1
第13课二次三项式的因式分解(公式法)
(二)
一、教学目的
使学生进一步巩固和熟练掌握公式法将二次三项式因式分解的方法.
二、教学重点、难点
重点:
用求根公式法分解二次三项式.
难点:
二元二次三项式的因式分解.
三、教学过程
复习提问
求根法分解二次三项式的因式的步骤有哪些?
引入新课
上节课我们证明了:
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2分别等于什么?
应用这一结论,今天我们深入的探讨一些问题.
新课
例2把4x2+8x-1分解因式.
此题注意将二次项系数4分解乘入两因式的必要性,即化简结论.
例3把2x2-8xy+5y2分解因式.
注意视之为关于x的方程,视y为常数的重要性.
练习P372
小结
二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种,即
1.利用完全平方公式;
2.十字相乘法:
即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d).
3.求根法:
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),
(1)当b2-4ac≥0时,可在实数范围内分解;
(2)当b2-4ac<0时,在实数范围内不能分解.
作业:
习题12.5A组2
第14课一元二次方程的应用
(一)
一、教学目的
1.使学生会列出一元二次方程解应用题.
2.使学生通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.
二、教学重点、难点
重点:
由应用问题的条件列方程的方法.
难点:
设“元”的灵活性和解的讨论.
三、教学过程
复习提问
1.一元二次方程有哪些解法?
(要求学生答出:
开方法、配方法、公式法、因式分解法.)
2.回忆一元二次方程解的情况.(要求学生按△>0,△=0,△<0三种情况回答问题.)
3.我们已经学过的列方程解应用题时,有哪些基本步骤?
(要求学生回答:
①审题;②设未知数;③根据等量关系列方程(组);④解方程(组);⑤检验并写出答案.)
引入新课
我们已经涉及了一个与一元二次方程有联系的应用.此类问题还有吗?
回答是肯定的:
还有很多!
本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题.
新课
本章开始时,教材P3中我们提出了如下问题:
用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子.试问:
应如何求出截去的小正方形的边长?
解:
设小正方形边长为xcm,则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm,依题意,可得(80-2x)(60-2x)=1500,
即x2-70x+825=0.
当时,我们不会解此方程.现在,可用求根公式解此方程了.
∴x1=55,x2=15.
当x=55时,80-2x=-30,60-2x=-50;
当x=15时,80-2x=50,60-2X=30.
由于长、宽不能取负值,故只能取x=15,即小正方形的边长为15cm.
我们再回忆本章第1节中的一个应用题:
剪一块面积是150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应怎样剪?
分析:
要解决此问题,需求出铁片的长和宽,由于长比宽多5cm,可设宽为未知数来列方程.
解:
设这块铁片宽xcm,则长是(x+5)cm.依题意,得
x(x+5)=150,即x2+5x-150=0.
∴x1=10,x2=-15(舍去).
∴x=10,x+5=15.
答:
应将之剪成长15cm,宽10cm的形状.
练习P4112
小结
利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是:
①审题;②设未知数;③列方程;④解方程;⑤依题意检验所得的根;⑥得出结论并作答.
作业:
习题12.6A组1、2、3
第15课一元二次方程的应用
(二)
一、教学目的
使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法.提高学生化实际问题为数学问题的能力.
二、教学重点、难点
重点:
用图示法分析题意列方程.
难点:
方程的布列.
三、教学过程
复习提问
本小节第一课我们介绍了什么问题?
引入新课
今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法.
新课
例1如图1,有一块长25cm,宽15cm的长方形铁皮.如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形,然后把四边折起来,做成一个底面积为231cm2的无盖长方体盒子,求截去的小正方形的边长应是多少?
分析:
如图1,考虑设截去的小正方形边长为xcm,则底面的长为(25-2x)cm,宽为(15-2x)cm,由此,知由长×宽=矩形面积,可列出方程.
解:
设小正方形的边长为xcm,依题意,得(25-2x)(15-2x)=231,
即x2-20x+36=0,
解得x1=2,x2=18(舍去).
答:
截去的小正方形的边长为2cm.
例2一个容器盛满药液20升,第一次倒出若干升,用水加满;第二次倒出同样的升数,这时容器里剩下药液5升,问每次倒出药液多少升?
∴x=10.
答:
第一、二次倒出药液分别为10升,5升.
练习P413、4
小结
1.注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题.
2.要注意关于“药液问题”应用题,列方程要以“剩下药液”为依据列式.
作业:
习题12.64、5、6、7
第16课一元二次方程的应用(三)
一、教学目的
使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法.并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力.
二、教学重点、难点
重点:
弄清有关增长率的数量关系.
难点:
利用数量关系列方程的方法.
三、教学过程
复习提问
1.问题:
(1)某厂生产某种产品,产品总数为1600个,合格品数为1563个,合格率是多少?
(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米,问出米率是多少?
(3)某商店二月份的营业额为3.5万元,三月份的营业额为5万元,三月份与二月份相比,营业额的增长率是多少?
新课
例1某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增产的百分率是多少?
分析:
用译式法讨论列式
一月份产量为5000吨,若月增长率为x,则二月份比一月份增产5000x吨.
二月份产量为(5000+5000x)=5000(1+x)吨;
三月份比二月份增产5000(1+x)x吨,
三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x=5000(1+x)2吨.再根据题意,即可列出方程.
解:
设平均每月增长的百分率为x,根据题意,
得5000(1+x)2=7200,即(1+x)2=1.44,
∴1+x=±1.2,x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去).
答:
平均每月增长率为20%.
例2某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册,第一季度共印182万册,问二、三月份平均每月的增长率是多少?
解:
设每月增长率为x,依题意得
50+50(1+x)+50(1+x)2=182,
答:
二、三月份平均月增长率为20%.
练习:
P415
小结
依题意,依增长情况列方程是此类题目解题的关键.
作业:
习题12.6A组8
第17课可化为一元二次方程的分式方程
教学目的
1.使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法,会用去分母或换元法求方程的解.
2.使学生了解解分式方程产生增根的原因,掌握验根的方法.
3.结合教学对学生进行化归转化思想的培养.
教学重点
将分式方程转化为一元二次方程.
教学难点
分式方程验根的必要性的认识.
教学过程
一、复习
1.我们学过分式方程,同学们还记得怎样解分式方程吗?
2.请同学们解下列方程:
3.请同学们结合上面两个题,回答下列问题:
(1)什么是分式方程?
解分式方程的一般方法与步骤是什么?
(2)在解分式方程过程中,容易犯的错误是什么?
应当怎样避免?
(3)解分式方程为什么必须验根,应当怎样验根?
指出:
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程的一般思路是化分式方程为整式方程,解分式方程的一般步骤是:
(1)把方程中各分式的分母因式分解,确定各分式的最简公分母.
(2)用最简公分母去乘方程两边,约去分母,使分式方程化为整式方程.
(3)解这个整式方程,得到此整式方程的根.
(4)检验.
解分式方程容易犯的错误有:
(1)去分母时,原方程的整式部分漏乘.
(2)约去分母后,分子是多项式时,要注意添括号.
根据方程同解原理:
方程两边都乘以不等于零的同一个数,所得方程与原方程同解.而我们在解分式方程时,方程两边同时乘以最简公分母,它是一个整式,当此整式为零时,就破坏了方程的同解原理,因此最后整式方程的根就不一定是原方程的根,所以解分式方程必须验根.验根的一般方法是:
把最后整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根为原方程的增根,必须舍去,否则是原方程的根.
二、新课
讲解例1
讲解例2
三、练习P491、2
四、小结
1.分式方程的定义.
2.分式方程的一般解法及解方程步骤.
3.用换元法解分式方程时,方程具备的特点,验根的方法.
五、作业习题12.7A组1、2、3、4
第18课可化为一元二次方程的分式方程的应用
教学目的
1.使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法,会用去分母或换元法求方程的解.
2.会列出可化为一元二次方程的分式方程,解应用题.
3.在教学中培养学生分析问题与解决问题的能力.
教学重点:
列方程.
教学过程
一、复习
1.什么叫分式方程?
解分式方程的一般方法是什么?
在不同的解法过程中应分别注意什么?
二、新课
今天我们学习利用分式方程解应用题.
例1甲乙二人同时从张庄出发,步行15千米来到李庄.甲比乙每小时多走1千米,结果比乙早到半小时,二人每小时各走几千米?
讲解例1
例2某农场开挖一条长960m的渠道,开工后每天比原计划多挖20m,结果提前4天完成任务,原计划每天挖多少?
讲解例2
三、练习
1.从甲站到乙站有150千米,一列快车和一列慢车同时从甲站开出,1小时后,快车在慢车前12千米;快车到达乙站此慢车早25分,快车和慢车每小时各走几千米?
2.某工厂贮存350吨煤,由于改进炉灶和烧煤技术,每天能节约2吨煤,使贮存煤比原计划多用20天,贮存的煤原计划用多少天?
每天烧少吨?
3.甲、乙两队学生绿化校园.如果两队合作,6天可以完成.如果单独工作,甲队比乙队少用5天,两队单独工作各需多少天完成?
四、小结
1.列方程解应用题的一般步骤.
2.列分式方程解应用题验根的两个目的.
五、作业习题12.7A组4、5
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- 关 键 词:
- 第8课 一元二次方程的根的判别式 一元 二次方程 判别式