四川省高一上学期数学期末考试试题.docx
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四川省高一上学期数学期末考试试题
高一数学试题
期末考试
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。
总分 150 分。
考试时间 120
分钟。
第Ⅰ卷(选择题,满分 60 分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考0.5用 米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是
否正确。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择0.5用 米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应
框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后,将答题卡收回。
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求)
1.已知集合 A = {x | x 2 - x = 0} ,集合 B = {x ∈ N | -1 ≤ x < 3} ,则下列结论正确的是
+
A.1 ⊆ ( A B)B.1∈ ( A B)C.A
B =∅ D. A B = B
2.若 sin α < 0 且 tan α > 0 ,则 α 是
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
3.下列函数中哪个与函数 y = x 相等
A.y = ( x )2
B.y =
5 5
C.y = x2
D.y =
x3
x 2
4.设 f
(x ) = ⎧⎪2x-1, x < 2
2
,则 f ( f
(2)) 的值为
A.0B.1C.2D.3
13
5.若角 θ 的终边过点 ( , -
22
) ,则 sin θ 等于
A.
1 1 3 3
B. - C. - D.
2 2 2 2
6.下列说法不正确的是
A.方程 f (x ) = 0 有实根 ⇔ 函数 y = f (x )有零点
B. - x2 + 3x + 6 = 0 有两个不同的实根
C.函数 y = f (x )在 [a, b]上满足 f (a )⋅ f (b ) < 0 ,则 y = f (x )在 (a, b )内有零点
D.单调函数若有零点,至多有一个
7.函数 f ( x) = 2sin( ω x + ϕ) (ω > 0,| ϕ |< π
ω, ϕ 的值分别是
A. 2, -
π
π
π π
D. 4,
6 3
8.已知 cos(
π
12 - θ ) =
1 5π
,则 sin(
3 12
+ θ ) =
A. 1
3
2 2 2 2
B. C. - D. -
3 3
π1π
, sin(β -) =,且 α , β 均为锐角,则 sin(α +) =
5636
A. 8 2 - 3
15
8 2 - 4 8 - 4 2
B. C. D.
15 15
10. 将函数 f ( x) = cos( x -
π
左平移
π
6
个单位,所得函数图象的一条对称轴是
πππ
462
11.若实数 x, y 满足 | x - 1| - ln 1 = 0 ,则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是
y
12.定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对任意的 x ∈ R ,有 f ( x + 2) = f ( x) + f
(1), 且当
x ∈ [2,3]时, f ( x) = -2 x 2+12 x - 18 ,若函数 y = f ( x) - log ( x + 1) 在 R 上恰有六个零
a
点,则实数 a 的取值范围是
A. (0,
5
5
) B. (
5 5 3 3
1) C. ( , ) D. ( ,1)
5 5 3 3
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二.填空题:
本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 函数 f (x ) = 1 + 2sin x 的最大值为.
14. 已 知 函 数 f (x ) = 2x2 - kx + 1 在 区 间 [1, 3 上 是 单 调 函 数 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围
为.
15. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬. 鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速度 v 可以
表示为耗氧量 x 的函数 v = a log
x
2 10
. 若两岁燕子耗氧量达到 40 个单位时,其飞行速度
为 v = 10m / s ,则两岁燕子飞行速度为 25m / s 时,耗氧量达到_____________单位.
16.关于函数 f ( x) = ⎨1, x为有理数,
⎩ 0,x为无理数,
有以下四个命题:
①对于任意的 x ∈ R ,都有 f ( f ( x)) = 1 ;②函数 f ( x) 是偶函数;
③若 T 为一个非零有理数,则 f ( x + T ) = f ( x) 对任意 x ∈ R 恒成立;
④在 f ( x) 图象上存在三个点 A , B , C ,使得 ∆ABC 为等边三角形.其中正确命题的序
号是.
三.解答题:
本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
17.(本小题满分 10 分)
1
⎝ 8 ⎭
2sin α - 3cosα
(Ⅱ) 已知 sin α = 2 cos α ,求的值。
18.(本小题满分 12 分)
已知下表为“五点法”绘制函数 f ( x) = Asin(ω x + ϕ) 图象时的五个关键点的坐标(其
中 A > 0,ω > 0, ϕ < π ).
x
f ( x)
- π
6
0
π
12
2
π
3
0
7π
12
-2
5π
6
0
(Ⅰ) 请写出函数 f ( x) 的最小正周期和解析式;
(Ⅱ) 求函数 f ( x) 的单调递增区间;
(Ⅲ) 求函数 f ( x) 在区间 [0,
π
2
] 上的取值范围.
19.(本题满分 12 分)
已知定义域为 R 的单调减函数 f ( x) 是奇函数,当 x > 0 时, f ( x) =
x
3
- 2x .
(Ⅰ)求 f (0) 的值;
(Ⅱ)求 f ( x) 的解析式;
(Ⅲ)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 恒成立,求实数 k 的取值
范围.
20.(本小题满分 12 分)
据市场调查发现,某种产品在投放市场的 30 天中,其销售价格 P(元)和时间 t ( t ∈ N (天)
的关系如图所示.
(I) 求销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关系式;
(II)若日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系式是 Q = -t + 40(0 ≤ t ≤ 30, t ∈ N ),问
该产品投放市场第几天时,
日销售额 y (元)最高,且最高为多少元?
P
40
30
20
O2030t
21.本小题满分 12 分)
1
3
g (a ) = M (a ) - N (a ) .
( )
( )( )
22.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ,对于任意的 x, y ∈ R ,都有 f ( x + y) = f ( x) + f ( y) , 当 x > 0 时,
f ( x) < 0
,
且
1
2
( I ) 求 f (0), f (3) 的值;
(II) 当 -8 ≤ x ≤ 10 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值;
2
数 m 的取值范围.
数学试题答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号
答案
1
B
2
C
3
B
4
B
5
C
6
B
7
B
8
A
9
A
10
D
11
B
12
C
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13. 3
14. k ∈ (- ∞,4] 12,+∞)
15.320 16.①②③④
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.)
- 1
=2+1+1=4………………………………………………………………………..5 分
(2)解法一:
sin α = 2 cos α
∴ tan α = 2 …………………………………………………………………………..7 分
=…………………………………………………….9 分
4sin α - 9 cos α4 tan α - 9
= -1………………………………………………………………………………….10 分
解法二:
sin α = 2 cos α
4 cos α - 3cos α
==-1
4sin α - 9 cos α8cos α - 9 cos α
18.(本小题满分 12 分)
解:
(I) T =
5 π
6 6
即 T =
2π
ω
= π , 所以 ω = 2 .
又 A = 2 , f ( x) = 2sin(2 x + ϕ ) ,
将 (
π π π
2) 代入 f ( x) , 有 2sin( + ϕ ) = 2 ,即 sin( + ϕ ) = 1 .
12 6 6
π57πππ
因为 |ϕ | < π, 所以 ϕ +∈ (-π,π) ,因此ϕ +=,即 ϕ =.
666623
π
故 f ( x) = 2sin(2 x +) .………………………4 分
3
ππ
(II) 因为函数 y = sin x 的单调区间为 2kπ -< x < 2kπ +,
22
πππ
所以令 2kπ -< 2 x +< 2kπ +,
232
即2kπ -
5π π
< 2 x < 2kπ + ,
6 6
解得kπ -
5π π
< x < kπ + ,
12 12
所以 f ( x) 的增区间为 (kπ -
5π π
12 12
πππ 4π
(Ⅲ)因为 x ∈[0, ] ,所以有 2 x +∈ [ ,
2333
] ,
π
所以当 x =时 ,函数 f ( x) 取得最大值 2 ,
12
当 x = π 时,函数 f ( x) 取得最小值 - 3 ,
2
π
所以函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围为[- 3,2]………………………12
2
(19)解:
(Ⅰ)因为定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数,
所以 f (0) = 0 .……………………………………2 分
(Ⅱ)因为当 x < 0 时, - x > 0 ,
所以 f (- x) = - x - 2- x .
3
又因为函数 f ( x) 是奇函数,所以 f (- x) = - f ( x) .
所以 f ( x) = x + 2- x .
3
⎧ x
⎪
综上, f ( x) = ⎨0,x = 0,……………………………………8 分
⎪ x
⎪ + 2- x , x < 0.
⎩ 3
(Ⅲ)由 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 得 f (t 2 - 2t ) < - f (2t 2 - k ) .
因为 f ( x) 是奇函数, 所以 f (t 2 - 2t ) < f (k - 2t 2 ) .又 f ( x) 在 R 上是减函数,所以
t 2 - 2t > k - 2t 2 .
即 3t 2 - 2t - k > 0 对任意 t ∈ R 恒成立.
1
3
【方法二】即 k < 3t 2 - 2t 对任意 t ∈ R 恒成立.令 g (t ) = 3t 2 - 2t , t ∈ R
则 g (t ) = 3t 2 - 2t = 3(t 2 -
t ) = 3(t - )2 - ≥ - ∴ k < -
3 3 3 3 3
1
故实数 k 的取值范围为 (-∞, - ) .……………………………………12 分
3
20.(本小题满分 12 分)
解:
(I)①当 0 ≤ t < 20, t ∈ N 时,
⎧a = 1,
解得 ⎨
所以 P = t + 20(0 ≤ t < 20, t ∈ N ).………………….3
分
②当 20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N 时,
设 P = at + b, 将 (20, 40),(30,30)代入,解得 ⎨a = -1,
⎩b = 60.
所以 P = -t + 60(20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N),………………….5
分
⎧t + 20(0 ≤ t < 20,t ∈N ),
综上所述 P =⎨
⎩-t + 60(20 ≤ t ≤ 30,t ∈N ).
………………….6
分
(II)依题意,有 y = P ⋅ Q,
得 y =⎨(t + 20)(-t + 40)(0 ≤ t < 20, t ∈ N),
⎩(-t + 60)(-t + 40)(20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N).
………………….7 分
⎧⎪-t 2 + 20t + 800(0 ≤ t < 20, t ∈ N),
化简得 y = ⎨
⎪⎩t 2 - 100t + 2400(20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N).
⎧⎪-(t - 10) 2 + 900(0 ≤ t < 20, t ∈ N),
整理得y =⎨………………….9 分
⎪⎩(t - 50) 2 - 100(20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N).
① 当 0 ≤ t < 20, t ∈ N 时,由 y = -(t - 10)2 + 900可得,当 t = 10 时, y 有最大值 900
元.………10 分
② 当 20 ≤ t ≤ 30, t ∈ N 时,由 y = (t - 50)2 - 100 可得,当 t = 20 时, y 有最大值 800
元.…….11 分
因为 900 > 800 ,所以在第 10 天时,日销售额最大,最大值为 900 元.………………….12
分
21.解:
(Ⅰ)因为 f ( x) = a( x - 1 )2 + 1 -
a
1 1 1
,又 ≤ a ≤ 1 ,所以1 ≤ ≤ 3 .
a 3 a
当1 ≤
1 1
≤ 2 即 ≤ a ≤ 1时, M (a) = f (3) = 9a - 5 ,
a 2
11
N (a) = 1 -, g (a) = M (a) - N (a) = 9a +- 6 ;
aa
111
当 2 <≤ 3 ,即≤ a <时, M (a) = f
(1) = a - 1 ,
a32
11
N (a) = 1 -, g (a) = M (a) - N (a) = a +- 2 .
aa
⎧11
9a +- 6,≤ a ≤ 1
111
⎪a32
11
≤ a < a ≤ 1,则 g (a ) - g (a ) = 9a +- 6 - (9a +- 6) = 9(a - a )
12121212
12
a a -
1 2
a a
1 2
1
1
2
1
设≤ a < a ≤
12
1
2
,则 g (a ) - g (a ) = a +
1 2 1
1 2 1 2
2 1 2
1 1 a a - 1
所以 g (a )在 [1 , 1 ] 上为减函数.所以当 a =
3 2
1
2
时, g ( x)
1 1
min= g ( 2 2
.
22. 解:
(I)令 x = y = 0 得 f (0) = f (0) + f (0) ,得 f (0) = 0 .………………….1 分
令 x = y = 1,得 f
(2) = 2 f
(1)= -1 ,………………….2 分
3
2
x , x ∈ R, 且 x < x , x - x > 0 ,
21221
因为
f ( x + y) - f (x) = f ( y)
,即 f ( x + y) - f ( x) = f [(x + y) - x] = f ( y)
,
则 f ( x ) - f ( x ) = f ( x - x ) .…………………4 分
2121
由已知 x > 0 时, f ( x) < 0 且 x - x > 0 ,则 f ( x - x ) < 0 ,
2121
所以 f ( x ) - f ( x ) < 0 , f ( x ) < f ( x ) ,
2121
所以 函数 f ( x) 在 R 上是减函数,………………….5 分
故 f ( x) 在 [-8,10] 单调递减.
所以 f ( x)
max
= f (-8), f ( x)
min
= f (10),
3
又 f (10) = 2 f (5) = 2[ f
(2) + f (3)] = 2(-1 - ) = -5 ,………………….6 分
2
由 f (0) = f (1- 1) = f
(1)+ f (-1) = 0 ,得 f (-1) =
1
2
,
f (-8) = 2 f (-4) = 4 f (-2) = 8 f (-1) = 8 ⨯ 1
故 f (x)
max
= 4, f ( x)
min
= -5
.
………………….7 分
(III) 令 y = - x, 代入 f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ,
得 f ( x) + f (- x) = f (0) = 0 ,
所以 f (- x) = - f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数.
g ( x) = f ( x2 - m) - 2 f ( x )
= f ( x2 - m) + 2 f (- x )
= f ( x2 - m) + f (- x ) + f (- x )
= f ( x2 - 2 x - m)
令 g ( x) = 0 即 f ( x2 - 2 x - m) = 0 = (0),
因为 函数 f ( x) 在 R 上是减函数,
所以 x2 - 2 x - m = 0 ,即 m = x2 - 2 x ,
所以 当 m ∈ (-1,0 ) 时,函数 g ( x) 最多有 4 个零点.
………………….9 分
………………….10 分
………………….11 分
………………….112 分
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