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关系结构
第二章关系结构
2.1数学结构关系结构
一个数学结构由两部分组成。
一是对象,二是对象上的数学性质。
在集合论语言中,对象可以用一个非空集合A来表示,但不同是数学性质就需要用集合论中不同的概念来表示了。
我们可以抽象地用来表示数学结构,其中A是一个非空集合,P是A上全体数学性质的总和。
如果在P是一些不同的类型的数学性质p1,…,ps的总和,我们就可以将数学结构表示为。
最常见的数学性质是关系、代数和拓扑。
我们主要是分别讨论这三类数学结构,也考虑一些同时具有这三类不同类型数学性质的结构。
2.1.1定义关系结构称为一个关系结构,如果:
(1)A¹Æ。
(2)任给1£i£m,Ri是A上ni元关系。
关系结构中最常见的单个关系的结构,而这个关系更常见的是二元关系。
对于关系结构的讨论有两类,一类是一些重要的关系结构的特殊问题。
一类是一般关系结构的普遍问题。
但我们不一般地讨论关系结构的普遍问题,而是结合某些特殊的关系结构来讨论。
2.2偏序结构
2.2.1定义偏序关系A上二元关系R称为A上偏序关系,如果R满足以下性质:
(1)自返性("xÎA)(
(2)反对称性("x,yÎA)(
(3)传递性("x,y,zÎA)(
R有自返性也可以用IAÍR来表示。
R有反对称性也可以用RÇR1ÍIA来表示。
R有传递性也可以用R°RÍR来表示。
2.2.2定义偏序结构关系结构称为偏序结构。
如果R是A上二元关系。
2.2.3例、
偏序关系可以看成一种广义的大小(前后)关系,直观地可以将集合中的元素依偏序关系排成一个次序。
这种次序有各种情况。
2.2.4例A={0,1,2,3},令
R={<0,2>,<1,3>}ÈIA,
S={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}ÈIA,
Q={<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}ÈIA,
02102
03
13213
2.2.5例考虑N上二元关系
R={
可以证明R是N上偏序关系:
自返性。
任给xÎN,都有x=x1,所以
反对称性。
任给x,yÎN,如果
存在n,mÎN,使得y=xn,x=ym,
所以
y=ymn。
当y=0时,有
x=ym=0=y,
当y¹0时,由乘法消去律得mn=1,所以
m=1,
也有x=ym=y1=y;
传递性。
任给x,y,zÎN,如果
存在n,mÎN,使得y=xn,z=ym,
所以
存在nmÎN,使得z=ym=x(nm),
因此
整除关系的直观形象如下:
1248……
3612……
5918……0
71020……
111427……
因此
2.2.6例G是集合族,则
一般讨论偏序结构时,在不至于混淆时,总是将偏序结构记为。
如果为了指出£是A的偏序,则可以将£表示为£A。
当有不同的偏序时,还可以在£上加下标,如£1,£2等。
为了简便起见,将 有时也将x£y记为y³x,称为y大于等于x,将x 2.2.7定义上界和下界是偏序结构,XÍA,aÎA。 (1)a是X的上界定义为: ("xÎX)(x£a) (2)a是X的下界定义为: ("xÎX)(a£x) 如果a是X的上界(下界)且b³a(b£a),则b也是X的上界 (下界),所以X的上界和下界可以有多个。 如对于N的子集Nn来说,n,n+1,……都是它的上界。 另一方面,X不一定有上界和下界,如实数R的整数子集Z就没有上界和下界。 2.2.8定义上确界和下确界是偏序结构,XÍA,aÎA。 (1)a是X的上确界定义为: 1.1a是X的上界 1.2("xÎA)(x是X的上界®a£x) (2)a是X的下确界界定义为: 2.1a是X的下界 2.2("xÎA)(x是X的下界®x£a) X的上确界(下确界)不一定存在。 X的上界(下界)不存在时,当然X的上确界(下确界)不存在,就是X的上界(下界)存在时,X的上确界(下确界)也可能不存在。 如在例2.2.4的中,子集{0,1}有上界2和3,但没有上确界,子集{2,3}有下界0和1,但没有下确界。 在偏序结构 2.2.9定理上确界(下确界)是唯一的。 证设a和b都是X的上确界。 因为b是X的上界,所以由a的上确界条件1.1得a³b,同理可得b³a,因此a=b。 ■ 2.2.10定义最大元和最小元是偏序结构,XÍA,aÎA。 (1)a是X的最大元定义为: (aÎX)Ù("xÎX)(x£a) (2)a是X的最小元定义为: (aÎX)Ù("xÎX)(a£x) 与上界和下界的条件相比,可以看出最大元一定是上界,最小元一定是下界。 如果a是X的最大元,则aÎX,所以任给X的上界x,都有x³a,因此a还是X的上确界。 但X的上确界不一定是X的最大元。 如在例2.2.4中的中,3是子集{0,1,2}的上确界,但不是子集{0,1,2}的最大元。 类似地,X的最小元是X的下确界,但X的下确界不一定是X的最小元。 2.2.11定义极大元和极小元是偏序结构,XÍA,aÎA。 (1)a是X的极大元定义为: (aÎX)Ù("xÎX)(a£x®x=a) (2)a是X的极小元定义为: (aÎX)Ù("xÎX)(x£a®x=a) 将A上偏序关系看做一种广义的大小关系,并参照熟悉的数的小于等于关系,则上界,下界,上确界,下确界,最大元,最小元是容易理解的,不容易理解的是极大元和极小元。 极大元和最大元不同,X的最大元是说它比X中其它元素都大,而X的极大元只是说X中没有比它大的元素。 所以最大元一定是极大元,但X可以没有最大元而有极大元,并且极大元可以不至一个。 如在例2.2.4中,对于偏序关系R来说,A本身就有极大元2和3,但A没有最大元。 极小元和最小元的关系是类似的。 2.2.11例是偏序结构,ÆÍA。 因为Æ没有任何元素,所以A中所有元素都是Æ的上界,因此A的最小元就是Æ的上确界。 类似地,A中所有元素都是Æ的下界,因此A的最大元就是Æ的下确界。 2.2.12例考虑整除结构 任给x,yÎN,{x,y}的上确界就是x,y的最小公倍数,{x,y}的下确界就是x,y的最大公因数,它们一定存在。 1是N的最小元,0是N的最大元。 任给XÍN,如果1ÏX,则X中的任何素数都是极小元。 如果x£yÚy£x,则称x,y可比较,反之,如果Ø(x£y)ÙØ(y£x),则称x,y不可比较。 如在例2.2.4中,对于偏序偏序结构来说,1和2不可比较,又如在整除结构 如果偏序关系£使得A中任何两个两个元素都可比较,则称£有可比较性。 和自返性、对称性、反对称性、传递性类似,A上偏序£有可比较性可表示为A2ÍRÈR1。 2.2.13定义全序关系和全序结构£是A上偏序关系。 (1)如果£有可比较性,即"x,yÎA(x£yÚy£x),则称R是A上全序关系,简称R是A上全序。 (2)偏序结构称为全序结构。 A上全序也称为A上线形序。 A上全序的等价条件是: "x,yÎA(x 最常见的全序结构是 G是集合族,由单调集合族的定义可知: G上的包含关系是全序关系当且仅当G是单调的。 如果将A的元素依全序关系排成次序,则它的直观形象将是一条直线。 因此,A上全序也称为A上线形序。 反之依偏序关系将A的元素排成次序,如果它的直观形象将是一条直线,则这个偏序关系就是全序关系。 2.3子结构同态和同构 2.3.1定义子结构是关系结构,BÍA。 也是关系结构,称为的子结构。 2.3.2定理 (1)偏序结构的子结构还是偏序结构。 (2)全序结构的子结构还是全序结构。 如果是全序结构,则称B是A的线形链。 设XÍBÍA。 因为XÍA,所以对于来说,X有最大元、最小元、极大元和极小元的概念。 又因为XÍB,所以对于的子结构(£B是£A在A上的限制)来说,X也有最大元、最小元、极大元和极小元的概念。 由XÍB可知("x,yÎX)(x£Ay«x£By),而以上四个概念的定义中只涉及到X中的元素,因此它们实际上是一样的。 然而,上界、下界、上确界和下确界就依赖于A和B了,因为这些概念的定义中,分别涉及到A和B的元素。 如对于集合X={x|xÎQ且x2<2}来说,在 和下确界 。 在例2.2.4中,取B={0,1,2},对于偏序结构来说,B有上界3,但对于它的子结构来说,B就没有上界。 2.3.3定义保持关系RA是A上n元关系,RB是B上n元关系。 f是A到B的映射,f称为保持RA到RB的关系,如果: ("x1,…,xnÎA)( 2.3.4定义同态、是两个关系结构,RAi就RBi的元数相同(1£i£n)。 f是A到B的映射。 如果任给1£i£n,f都保持RAi到RBi的关系,则称f是 ("x,yÎA)(x£Ay«f(x)£Bf(y))。 如果同态映射f是满射,则称f是满同态。 取C=ran(f),取的子结构 如果同态映射f是单射,则称f是单同态。 ■ 2.3.6定理、都是关系结构,f是到的同态,如果偏序结构,则也是偏序结构。 ■ 2.3.7定义同构 (1)f是到的同态映射,如果f是双射,则称f是到的同构映射。 为了将f也表示出来,可以记为 f: 2.3.8定理同构是等价关系。 (2)如果≌,则 ≌。 (3)如果≌且 ≌ ■ 如果f是单同态。 取C=ran(f),取的子结构 因此,单同态也称为嵌入。 2.3.9例B={1,2,3,5,6,10,15,30},取是整除结构 A={2,3,5},取偏序结构 。 定义P(A)到B的映射 f: P(A)®B= 1 如果X=Æ X中的数的乘积 如果X¹Æ, 如f({2,5})=10,f({2,3,5})=30等。 f是 到的同构映射,所以 ≌。 2.3.10例是偏序集,恒等映射iA是A到自身的同构映射。 但除恒等映射外,A到自身还可能有其它的同构映射。 如: f: Z®Zf(x)=x+1 也是 ("x,yÎA)(x 2.3.11例f是 2.3.12定理、都是全序结构,如果f是双射且("x,yÎA)(x£Ay®f(x)£Bf(y)),则f是到的同构映射。 ■、
中它没有上确界和下确界,但在
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