北京市延庆区届高三上学期统测考试数学试题.docx
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北京市延庆区届高三上学期统测考试数学试题
北京市延庆区2021届高三上学期统测考试数学试题
学校:
姓名:
班级:
考号:
1.已知集合A={xlLd<3},β={A∙∣Lvl>l},则AUB=()
A.RB.(1,3)C.(-3,-1)U(1,3)D.{-2,2}
2.已知向量云=(1伙)$=伙,2),若0与石方向相同,则R等于()
A.1
B・±√2
C.
-√2
D・√2
3.圆(x-3)2+(y-4)2=l±一点到原点的距离的最大值为(
)
A.4
B.5
C.
6
D・7
4.下列函数中,
在其左义域上是减函数的是(
)
A.y=-—
X
B.y=tan(-x)C.
y=一严
D.y=<
一兀+2,x≤0
—X—2今X>0
5.若α为第三象限角,则(
)
A.COS2α>0
B.cos2α<0C.
sin2α>0
D・Sin2α<0
6.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为/.P是抛物线上的一点,过P作PQ丄X轴于0,若PF=3,则线段P0的长为()
A.√2B.2C.2√2D.3√2
7.已知函数/(Λ∙)=→+l+log2x,则不等式/(x)<0的解集是()
A.(0,2)B.(YQ,12(2,P)C.(1,2)
D.(0,1)u(2,-K5o)
8.已知直线d,b,平而α,P,=alia、;丄从那么“"丄0”是“Q丄0”
的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
9.在平而直角坐标系XOy中,将点A(2,l)绕原点O逆时针旋转90°到点B,设直线OB
与X轴正半轴所成的最小正角为&,贝IJSina等于()
10・某企业生产人B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和20万支,为了扩
大再生产,决左对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg2=0.3010)()
A.2年B・3年C.4年D・5年
H.已知复数Z=(Ti-Ia-I是负实数,则实数d的值为.
—,1一—,
12.已知正方形ABCD的边长为2•点P满足ΛP=-(AC+AD),则顾•两=—・
13.将数列⑵l1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列则{““}的前4项的和
为•
14.将函数V=3sin[2λ^+4]的图象向右平移彳个单位长度后得到函数g(Q的图象,
I4丿3
给出下列四个结论:
1g(f)=-£:
2g(x)在(0冷)上单调递增:
3g(X)在(-y,y)上有两个零点:
4g(x)的图象中与V轴最近的对称轴的方程是X=^-
其中所有正确结论的序号是.
β>2
15.设O为坐标原点,直线X="与双曲线c⅛-4=ιω>o√7>o)的两条渐近线分别
CrIy
交于DE两点,若aOQE的面积为4,则C的焦距的最小值为・
16.Λ,B∙C三个班共有180需学生,为调査他们的上网情况,通过分层抽样获得了部
分学生一周的上网时长,数拯如下表(单位:
小时):
A班
121313182021
B班
1111.5121315.517.520
C班
1113.5151616.51921
(I)试估计B班的学生人数:
(II)从这180名学生中任选1名学生,估计这统学生一周上网时长超过15小时的概率;
(III)从A班抽岀的6名学生中随机选取2人,从C班抽岀的7名学生中随机选取1人,求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的槪率.
17.如图,在三棱柱ABC-AIBICi中,CCl丄平而ABC,ACdBC,AC=BC=2,CCI=3,点D,E分别在棱AA和棱CG上,且AD=HCE=2,M为棱A坊的中点.
Cl
(I)求证:
DE丄BC;
(II)求证:
ClM〃平而DBxE.
(III)求二面角A-DE-BI的余弦值•
18.设{色}是公比不为1的等比数列,他=4,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)求{"”}的公比:
(2)求数列{2n+an}的前"项和.
条件①:
5为①,6的等差中项;条件②:
设数列{%}的前”项和为S.,S3-S1=2.注:
如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
19.^ABC的内角A,B,C的对边分别为“,b,c,已知B=60o.
(I)若SinA=2sinC,b=®求ΔABC的而积:
(II)若SinC-SinA=—»求角C∙
2
20.已知椭圆C:
∙+∙=i(α>b>0)过点A(-2,0),点B为其上顶点,且直线ABCrZr
斜率为JI.
2
(I)求椭圆C的方程;
(II)设P为第四象限内一点且在椭圆C上,直线QA与)'轴交于点M,直线PB与X
轴交于点N,求四边形ABNM的而积•
21.已知函数/(x)=(2-d)coSX-XSinx.
(I)当α=0时,求函数∕W⅛点(Oj(O))处的切线方程;
(H)当a>4,Λ∙∈∣0,-l∣⅛.求函数/(X)的最大值;
2
(HI)当l 参考答案 1.A 【解析】 【分析】 先求得集合A.B,由此求得A∖JB. 【详解】 依题意A=(-3,3),B=(Y∖-l)u(l,P), 所以A∖JB=R. 故选: A 【点睛】 本小题主要考查集合并集的概念和运算,考查绝对值不等式的解法. 2.D 【解析】 【分析】 依题a∣∣b»且Q与厶符号相同,运用坐标运算即可得到答案• 【详解】 因为α与厶方向相同,则存在实数兄使a=λb(λ>O), 因为5=(1^),5=(^,2),所以λb=(λk,2λ), ∖λk=∖ 所以仁°,,解之得/=2,因为2>0,所以k>0, 2λ=k 所以£=∖∣2• 故答案选: D 【点睛】 本题考査共线向量的基本坐标运算,属基础题. 3.C 【解析】 【分析】 求得圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心和半径,由此求得圆上一点到原点的距离的最大值. 【详解】 圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为(3,4),半径为1, 圆心到原点的距离为后+4r=5• 所以圆上一点到原点的距离的最大值为5+1=6. 故选: C 【点睛】 本小题主要考查点和圆的位垃关系,属于基础题. 4.D 【解析】 【分析】 对选项逐一分析函数的左义域和单调性,由此判断出正确选项. 【详解】 对于A选项,y=-丄的左义域为{x∖x≠O},任泄义域上没有单调性,不符合题意.X 对于B选项,y=tan(-X)=-UmX,立义域为∖x∖x≠kπ+^keZ>,在泄义域上没有单调性,不符合题意. 对于C选项,y=γ"=-Jr的定义域为R,在R上递增,不符合题意.e -x+2.x≤0 对于D选项,y=↑rC的左义域为R∙在R上递减,符合题意. 一x-2,x>0 故选: D 【点睛】 本小题主要考查函数的左义域和单调性,属于基础题. 5.C 【解析】 【分析】 利用Q为第三象限角,求2α所在象限,再判断每个选项的正误. 【详解】 因为Q为第三象限角,所以π+2kπ<α<—+Ikπ(RuZ), 2 可得<2a<3π+4kπ(AreZ), 所以2α是第第一,二象限角, 所以Sin2σ>O,cos2α不确怎, 故选: C 【点睛】 本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在%个象限的符号,属于基础题. 6.C 【解析】 【分析】 根据PF=3求得P的横坐标,由此求得P的纵坐标,从而求得PQ的长. 【详解】 抛物线的准线方程为x=-l,由于PF=3, 根据抛物线的左义可知xp=2, 将XP=2代入抛物线方程得y2=&片=±2√2, 所以PQ=2迈. 故选: C 【点睛】 本小题主要考查抛物线的定义,属于基础题. 7.D 【解析】 【分析】 由/(λ)<0,可得出log2x 合可求得不等式/(x) 【详解】 函数/(x)=-x+l÷log2x的定义域为(0,-H^),且/(l)=∕ (2)=0, 由/(λ) (2,1), 由图象可知,不等式Iog2Λ∙<.V-I的解集为(0,l)kj(2,-HX>). 故选: D. 【点睛】 本题考查利用函数图象求解函数不等式,考查数形结合思想的应用,考查计算能力,属于中等题. 8.C 【解析】 【分析】 根据面而垂直的判龙左理和而面垂直的性质左理即可得到结论. 【详解】 若alia,则在平面Q内必定存在一条直线d'有a∕∕a,, 因为方丄所以。 '丄若"丄0,则R丄0,又α'uα,即可得α丄0,反之,若α丄0,由a^∖β=b,N丄〃,Rua可得α'丄0,又a/Ia,则有α丄0. 所以“°丄0”是“α丄0“的充分必要条件. 故选: C 【点睛】 本题主要考查面而垂直的判定和性质立理,以及线而平行的判左左理,属于中档题• 9.D 【解析】 【分析】 首先求得B点的坐标,然后根据三角函数的左义求得Sina• 【详解】 将点A(2J)绕原点O逆时针旋转90°到点B(—1,2), 故选: D 【点睛】 本小题主要考查三角函数的总义,属于基础题. 10.C 【解析】 【分析】 直接计算出若干年后A,B产品的产量,由此确世正确选项. 【详解】 1年后,A产品产量为10×(l+50%)=15万支;B产品产量为20×(l+20%)=24万支. 2年后,A产品产疑为15x(1+50%)=22.5万支: 〃产品产量为24x(1+20%)=2&8万支. 3年后,A产品产量为225x(1+50%)=33.75万支: 〃产品产量为 28.8x(1+20%)=34.56万支. 4年后,A产品产量为33.75x(1+50%)=50.625万支: 〃产品产量为 34.56x(1+20%)=41.472万支. 所以经过4年后A产品的年产量会超过B产品的年产量. 故选: C 【点睛】 本小题主要考查指数增长模型,属于基础题• 11.1 【解析】 【分析】 将复数写成标准式,再根据复数为负实数得到方程,解得即可; 【详解】 解: 因为Z=a2i-2a-i=-2a+(a2-∖)i为负实数,所以f;;: 解得"=1 故答案为: 1 【点睹】 本题考査复数的类型求参数的值,属于基础题. 12.3 【解析】 【分析】 由题得点P是CD中点,求出COSZDPA=迟,再利用页.PB=PA-AP.而求解. 【详解】 ——―因为AP=-(AC+AD)f2 所以点P是CD中点,所以PA=j2"=肩, 所以芮・PB=PA(PA+AB)=PA+PA∙AB=PA-AP∙AB^ Fh≡c°szpλb=COSZ^=⅛4 所以丙衍=胡皿应5"∙2∙*3∙故答案为: 3 【点睛】 本题主要考查平而向量的线性运算和数量积运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13.40 【解析】 【分析】 首先判断出数列{2/7-1}与{3”-2}项的特征,从而判断出两个数列公共项所构成新数列的 首项以及公差,利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】 因为数列{2π-l}是以1为首项,以2为公差的等差数列,数列{3/7-2}是以1首项,以3为公差的等差数列, 所以这两个数列的公共项所构成的新数列{色}是以1为首项,以6为公差的等差数列, 所以仗”}的前”项和为Sn=n出存丄∙6=3√-2n, 厶 所以前4项和为S4=3x42-2×4=40, 故答案为: 40. 【点睛】 该题考査的是有关数列的问题,涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征,等差数列求和公式,属于简单题目. 14.(D® 【解析】 【分析】先求g(χ)得解析式,再利用正眩函数的单调性、对称轴、零点逐一判断每一个是否正确. 【详解】 对于②: 当° 故②不正确: (、f 12; =0,则2兀- =kπ(k∈Z), 7λ* 当£=O时, 5π ■■ X=—: 24 24 对于③: 令g(")=3sin2x--=°,即Sin2x \12丿\ 5∕rk 解得: x=-+-π(ZreZ),当R=-I时,x: 2427 所以g(∙X)在(-y,y)上有两个零点,故③正确: 对于④: 令2x--=-+kπ(k∈Z),解得: X=+-π∈Z), 122Vz242 当当k=-∖时,X=—令所以g(x)的图象中与y轴最近的对称轴的方程是X=冷故④不正确: 故答案为: ①③ 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质,考查了单调性、零点.对称轴,属于中档题・ 15.4√2 【解析】 【分析】 r2V2h 因为C: r—L=1(qO0>O),可得双曲线的渐近线方程是y=±-χ,与宜线X=O联立CrIya 方程求得D,E两点坐标.即可求得∖ED∖9根据aOQE的而积为4,可得(仍值,根据 2c=2√√+F,结合均值不等式,即可求得答案. 【详解】 ∙∙∙C: 二-匚=l(α>O∙b>O)CrIy ・•・双曲线的渐近线方程是y=±-x, a ・•・直线X=G与双曲线cΛ-4=Kt/>0∙b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点 不妨设Z)为在第一象限,E在第四象限, X=Cl X=Cl 联立 y=-x[y=/? X=U x=a 联立 y=XIy=一〃 /a s.∖ED∖=2bi ^ODE面积为: SδOI)E=-cι×2b=ab=4: 2 22 ・・・双曲线c⅛-4=ιω>θ^>o)> 二其焦距为2c=2朋+Z√≥2y∣2ab=2√8=4√2: 当且仅当a=b=2时,取等号: 「•C的焦距的最小值为4√Σ; 故答案为: 4√Σ∙ 【点睛】 本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的怎义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 13 16.(I)63;(II)—;(III)一・ 27 【解析】 【分析】 (I)根据分层抽样的知识估计〃班的学生人数. (II)根据古典概型概率计算公式•计算岀所求概率. (III)先计算出选法总数,然后根据古典概型概率计算公式,计算岀所求概率. 【详解】 (I)由题意知,抽岀的20名学生中,来自B班的学生有7爼.根据分层抽样 7 方法B班的学生人数估计为180×-=63Λ. 20 (II)设从选出的20名学生中任选1人,共有20种选法, 设此人一周上网时长超过15小时为事件D, 其中D包含的选法有3+3+4=10种, ・••P(D)=^=1⅛此估计从180名学生中任选1名,该生一周上网时长超过15小时的 202 概率为 (III)从A班的6人中随机选2人,有C: 种选法,从C班的7人中随机选1人,有C;种选 法,故选法总数为: ⅛C]=15x7=105种 设事件"此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时"为E、 则E中包含以下情况: (1)从A班选出的2人超15小时,而C班选出的1人不超15小时, (2) 从A班选岀的2人中恰有1人超15小时,而C班选出的1人超15小时, 【点睛】 本小题主要考查分层抽样,考査古典概型概率计算,考查运算求解能力. 17.(I)证明见解析: (II)证明见解析: (In) 【解析】 【分析】 (I)根据CCl丄平而ABC,得到CG丄BC;根据线面垂直的判宦楚理,得到BC丄平 面ACClAI,进而可证BC丄 (II)设AD的中点为N,连接MN,连接GN,根据面而平行的判定泄理,先证明平面 GMN〃平面BfiD,进而可证线面平行; (III)以C为原点,分别以乙而、CC;的方向为X轴、V轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系,根据题意,分别求岀平而ADE和平而DBlE的一个法向量,由向量夹角公式求岀夹角余弦值,进而可得出结果. 【详解】 (I)因为CG丄平面ABC,BCU平面ABC,所以CG丄BC; 又AC丄BC,ACnCCl=C,ACU平而ACCIAI,CClU平而ACCIAI, 所以BC丄平而ACClAI, 因为DEU平≡ACC1Λm所以BC丄DE, 即DE丄BC; (II)设AD的中点为N,连接Λ∕N,则MNlIBXD, 又MNU平面场ED,B1D⊂平面QED, 所以MN//平而BIEDi 连接ClNt因为C∖EHNDRClE=ND, 所以CINDE是平行四边形, 所以GNIIDE, 又GN(Z平而BIEDtDEU平而BIEDt 所以GN〃平≡B1EP; 又ClNCMN=N,且C]Nu平而CIMN,MTVU平面ClMN, 所以平而CNNH平而BiED, 又CIM⊂平而GMN, 所以GM〃平而DBIEi (In)以C为原点,分别以乙ξ.CB.CCl的方向为X轴.y轴、Z轴的正方向建立空间 直角坐标系(如图), 可得C(0,0,0)∖B(0,2,0).B)(023)、£>(2,0,1)、E(Oo2)•由(【)可知, BC丄平而ACCIAl9即BC丄平而ADE^所以CB=^2,0)是平而ADE的一个法向量,又両=(O21),而=(2,0,-1)・ 设n=(x,y9z)为平而DBfi的法向量, 不妨设x=l,可得w=(l,-l,2). 因为二而角A-DE-B,的平而角是钝角, 【点睛】 本题主要考查证明线线垂直,证明线而平行,以及求二面角的余弦值,熟记线面垂直、线而 平行的判立窪理,以及空间向量的方法求二而角即可,属于常考题型. 18.条件性选择见解析, (1)-2: (2)∕¾(H+Γ)+1~1;2- 【解析】 【分析】 (1)选①,化简2^=«2+«3即得解: 选②,化简S3-S1=2即得解; (2)利用分组求和解答即可得解. 【详解】 解: 选① (1)因为q为色、①的等差中项, 所以2al=a2+a3 所以2a}=aiq+alq2, 因为≠O 所以2=q+q1 所以g=-2,q=∖(舍) 选② (1)因为S厂S∖=2,所以aA+a2+a3-a{=a2+a3=2, 因为«3=4,所以“2=-2,所以q=严=-2 — (2)由题得等比数列{%}的首项^1=⅛=^=1, 所以6=(-2严, 设数列{2n+all]的前”项和为S”, 因为数列{2〃}是以2为首项,2为公差的等差数列, 所以S,r= (2+2/0/7I1(1-(-2D 21-(-2) 【点睛】 本题主要考查等比数列基本虽: 和通项的求法,考查等差等比数列求和,考査数列分组求和,意在考査学生对这些知识的理解掌握水平. 19.(I)E;(II)C=105°. 2 【解析】 【分析】 (I)利用正弦立理化角为边可得α=2c,再利用余弦定理即可求出αc的值,利用而积公式即可求而积; (II)由题意知A+C=120,将SinC-SinA=^中的A用120-C替换,再整理化简即 2 可求角C. 【详解】 (I)在厶ABC中,因为一=——,所以SinA=CtSIn^=2sinC9所以a=2c, SinASinCC 由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac∙COS60o=3c2=3»c=1,α=2, 所以ZkABC的而积为S=—deSinB=—×2×1×=: 2222 (II)在中,因为A+C=120S SinC一SinA=SinC一Sin(120一C), ∙.∙O 【点睛】 本题主要考查了利用正弦立理和余弦立理解三角形,考査了三角形而积公式,两角差的正弦公式、辅助角公式等,属于中档题. 22 20.(I)—+—=1.(II)2√3・ 43 【解析】 【分析】 (I)根据题中所给的条件,求得α=2,b=JJ,从而得到椭圆的方程; (II)根据题意,设出点P(X(PyO)(XO>0,y°V0),根据点在椭圆上,得到3xJ+4yj=12,分別写出直线的方程,求得M、N的坐标,表示出四边形的面积,求得结果. 【详解】 (I)由题意: 设直线AB: y-0=~(x+2)> 令x=0,则y=√3,于是B(0,JJ),• 所以a=2,b=弟,椭圆方程为—+—=1. 43 (II)设P(XQty0)(⅞>0,JoV0),且3尤+4%=12, 又A(-2,0),^(0.√3),所以直线AP: 丄斗=丄W y()—U⅜+2 KIJRl=^3-yAI=√3-⅛⅛=如+2£二2土. 兀+2Xi)+2 直线肿T=令尸0»举, >o"V3⅞"θ〉‘0一丁3 则∖AN∖=2÷x,v=2÷^⅛=2y(厂2的;屈。 11⅞-√3y0-√3 所以四边形ABNM的而积为S=IIATVl-IBM|厶 _J_X>∕⅞+2的-2>,oX2>b-2>∕J-苗 2Xo+2>'o _-3对-4y: -12+4>∕¾: Oyo-12AO+*>∕¾b 2(⅞)⅛-a∕3⅞+2y0-2√3) 所以四边形ABNM的而积为2亦・【点睛】 该题考査的是有关解析几何的问题,涉及到的知识点有椭圆方程的求解
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