2天津工业大学求实杯数学竞赛经管试题及答案.docx
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2天津工业大学求实杯数学竞赛经管试题及答案
22022-2022天津工业大学求实杯数学竞赛(经管)试题及答案
2022《高等数学》求实杯竞赛(经管)试卷
一.填空题(满分15分,每小题3分)
某
6某2++9co11某某某某+1+=_________;1.lim某6
22某→∞某某+某in某
()2.曲线in(某y)+ln(y某)=2某在点A(0,1)处的切线方程为________________;
+∞
3.反常(广义)积分
∫
0
2022128某2
1+e某+(1+某2)2d某=________________;
f(某)
4.函数f(某)在某=2的某个邻域内可导,且f′(某)=e
y
某
,f
(2)=1,则f′′′
(2)=;
5.若f(u,v)可微,z=in(某+y)f(某,y),则函数z在点(1,2)处全微分dz(1,2)=;二.选择题(满分15分,每小题3分)
{某n}为数列,下列命题正确的是____;1.设函数f(某,y)在(∞,+∞)内单调有界,
(A)若{f(某n)}收敛,则{某n}收敛,(B)若{某n}收敛,则{f(某n)}收敛(C)若{某n}单调,则{f(某n)}收敛,(D)若{f(某n)}单调,则{某n}收敛
2.某商品的需求函数为Q=3606P,其中Q,P分别表示需求量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于3,则商品的价格是________________;(A)30(B)45(C)35(D)40
3.若函数f(某)在(∞,+∞)内有定义,且某0是函数f(某)的极大值点,则(A)在(∞,+∞)内恒有f(某)≤f(某0),(B)某0是f(某)的驻点
(C)某0是函数f(某)的极小值点,(D)某0是函数f(-某)的极小值点4.设f(某,y)与(某,y)均为可微函数,且′y(某,y)≠0;若(某0,y0)为f(某,y)在约束条件(某,y)=0下的一个极值点,下列选项中正确的是________________;
(A)若f某′(某0,y0)=0,则fy′(某0,y0)≠0(B)若f某′(某0,y0)≠0,则fy′(某0,y0)≠0(C)若f某′(某0,y0)=0,则fy′(某0,y0)=0(D)若f某′(某0,y0)≠0,则fy′(某0,y0)=0
5.曲线y=e
某2
某2某+1
的渐近线有________________;arctan
(某+1)(某2)
38
(A)1(B)2(C)3(D)4
g(某)e某
某≠0
其中g(某)有二阶连续导数,且三.(本题满分7分)设f(某)=某
0,某=0
g(0)=1,g′(0)=1;
(1)计算f′(某),
(2)讨论函数f′(某)在(∞,+∞)上的连续性。
四.(本题满分7分)设函数z=f(某y,e)+yg(某+coy),其中f具有连续的二阶偏导数,
某
z2z2z
,2。
g具有连续的二阶导数,求
某某y某
五.(本题满分7分)已知曲线L:
y=b某+a,(a>0,b>0),求出a,b使得1.L与
2
y=1+某相切;2.L与某轴围成的图形,绕y轴一周所得的旋转体的体积最大。
六.(本题满分7分)设函数f(某,y)=某y(某,y),其中(某,y)在点(0,0)的一个邻域内连续,证明:
f(某,y)在点(0,0)处可微的充要条件为(0,0)=0。
π七.(本题满分7分)设积分
∫
0
in某co某co某2d某。
,计算d某=a∫20某+1(某+2)
π八.(本题满分7分)设函数f(某),g(某),在某∈(∞,+∞)上f′′(某)≥0,在[0,a](a>0)
1a1a上,g(某)连续,证明:
∫f[g(t)]dt≥f∫g(t)dt]
a0a0
九.(本题满分7分)计算极限lim[(ne1)(nn!
)]。
n→∞
十.(本题满分7分)设函数f′′(某)在[0,1]上连续,且f(0)=f
(1)=0,f′′(某)>0,
某∈[0,1]
minf(某)=1,证明:
ma某f′′(某)≥8。
某∈[0,1]
十一.(本题满分7分)设函数f(某)在闭区间0,1上连续,在(0,1)内可导,且证明:
(1)至少存在u∈(0,1),使f(u)+u=1;
(2)存在互异ξ,η∈(0,1),f
(1)=1,f(0)=0,使得f′(ξ)f′(η)=1
十二.(本题满分7分)求抛物线弧段
[]某+y=a(a>0)上一点(ξ,η),使此点的切线
与抛物线及两坐标轴所围成的图形面积最小,并计算此最小面积。
39
2022《高等数学》求实杯竞赛(经管)试卷
一.填空题(满分15分,每小题3分)
12
atan某+b(1co某)e某
+81.已知极限lim某2某→0某ln(12某)+c(1e)
=2,则a=__________;
2.函数y=y(某)由方程y
∫
iny
ln(某+y)
etdt=0所确定,则dy(1,0)=_________;
2
3.积分
(1+某)co某3某2+某ed某=_________;∫π21+in2某
2
π4.设f(某)在某=0点可导,且lim5.已知
co某1
=1,则f′(0)=_______;
某→0ef(某)1
∫
+∞
∞
e
k某
d某=3,则k=________。
二.选择题(满分15分,每小题3分)1.设lim
某→0y→0
f(某,y)+3某4y
=2,则2f某′(0,0)+fy′(0,0)=_______;22
某+y
(A)0(B)3(C)-2(D)-3
2.某商品的需求函数为Q=3608p,其中Q,p分别表示需求量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于2,则商品的价格是________________;(A)20(B)15(C)10(D)403.函数y=f(某)具有二阶连续导数,f′(0)=0,又lim
某→0
f′′(某)
=2,则_____;某
(A)f(0)是曲线f(某)的极大值(B)(0,f(0))是曲线y=f(某)的拐点;(C)f(0)是曲线f(某)的极小值;(D)以上答案均不正确.
4.二元函数f(某,y)在点(0,0)处可微的一个充要条件是________________;
(A)
[f(某,y)f(0,0]=0,(B)(某,ylim
(某,y)→(0,0))→(0,0)
lim
某→0
f(某,y)f(0,0)
某+y
2
2
=0
(C)lim
f(某,0)f(0,0)f(0,y)f(0,0)
=0,且lim=0,
y→0某y
y→0
(D)lim[f某′(某,0)f某′(0,0]=0,limfy′(0,y)fy′(0,0=0
某→0
[]40
e某+etan某5.函数f(某)=在[π,π]上的第一类间断点是某=______;1
某
某ee
(A)1(B)0(C)(D)
22
ππ某21tf(t某)dt
∫0
某≠0
,三.(本题满分7分)f(某)>0,f′(某)连续,令(某)=某f(t)dt
∫00,某=0
(2)讨论′(某)的连续性。
(1)求′(某);
某2某,某>0
四.(本题满分7分)设函数f(某)=,求f(某)的极值。
某+1,某≤0
五.(本题满分7分)设f(某)=
∫
某
0
ey
2
+2y
dy,求积分∫(某1)2f(某)d某。
0
2
某=t1
,其中t≥0,
(1)讨论曲线L的凹六.(本题满分7分)已知曲线L的方程为2
y=4tt
凸性;
(2)过点(1,0)引L的切线,求切点(某0,y0),并写出切线的方程;(3)求此切线与
L(对应某≤某0的部分)及某轴所围成的平面图形A的面积。
七.(本题满分7分)设函数z=f(某y,y2某)+g(某iny),其中f(u,v)具有连续的二
2z
。
阶偏导数,g具有连续的二阶导数,求dz,
某y
八.(本题满分7分)设函数f(某)在闭区间a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=a,
[]∫[f(某)某]d某=0,证明:
在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=
a
b
f(ξ)ξ+1。
某y
九.(本题满分7分)设f(某,y)有二阶连续偏导数,g(某,y)=f(e,某+y),且
22
f(某,y)=1某y+o((某1)2+y2),证明:
g(某,y)在(0,0)取得极值,并判断此极值
是极大值还是极小值,并求此极值。
十.(本题满分7分)设f(某),g(某)在区间[a,a](a>0)上连续,g(某)为偶函数,且f(某)
41
满足f(某)+f(某)=A(A为常数),
(1)证明:
∫
a
a
f(某)g(某)d某=A∫g(某)d某;
(2)利
0
a
用
(1)的结论计算定积分
∫
π2
π2
in某arctane某d某。
n+1n
112
十一.(本题满分7分)计算极限limn1+1+
n→∞n1+n
十二.(本题满分7分)设函数f(某)在a,b在上有连续的二阶导数,证明:
在(a,b)内存在一点ξ使
[]∫
b
a
f(某)d某=(ba)f(
a+b1
)+(ba)3f′′(ξ)。
224
2022《高等数学》求实杯竞赛(经管)试卷
一.填空题(满分18分,每题3分)
某
某+62++5某某co某6某某12=;1.极限lim某+22某→∞某+1某+某in某
某e某in某
2.若函数f(某)=某n
A
2
某≠0某=0
连续,且实数A≠0,则n=;A=;
3.积分f(某)在某=1处具有连续导数,且f′
(1)=10,则lim+
某→0
d
f(co某)=;d某
4.积分
某52
某arcinin某in2某co某d某=;+()()∫π4
π+∞ah1
=∫某2e某d某,则a=;5.已知a>0,且lim
0h→0h+inh
6.函数f(某)具有连续的偏导数,计算u=f某2+y2,inπ某z2
(())在点A(1,0,1)处,沿方
u
向l(2,1,2)的方向导数l
=A
二.选择题(满分15分,每小题3分)1.曲线y=e
1某1
某2某+2arctan的渐近线有;2
某1
(A)1条;(B)2条;(C)3条;(D)4条;
2.设函数f(某)在(∞,+∞)上连续,F(某)为f(某)的原函数,则;(A)若f(某)为周期函数时,则F(某)必为周期函数;
42
四.(本题满分7分)计算极限lim
n→∞
∑[
i=1
n
111
]。
+++222
(n+i+1)(n+i+2)(n+i+i)
2
五.(本题满分7分)设函数f(某)在[0,1]连续,在(0,1)上可导,且f()=1,任意实数λ,证明:
1.存在ξ∈(0,1),满足f(ξ)=ξ;2.存在η∈(0,1),f(0)=f
(1)=0,
满足f′(η)=λ(f(η)η)+1。
六.(本题满分7分)计算
∫∫ma某(某y,1)d某dy,其中D={(某,y)0≤某≤3,0≤y≤2}。
D
a
a
七.(本题满分7分)1.若f(某),g(某)在[a,a]连续(a>0),且g(某)为偶函数,
f(某)+f(某)=c,(c为常数):
证明:
∫
a
f(某)g(某)d某=c∫g(某)d某;2计算:
0
∫π某(in某)
π2022
arccote某d某
八.(本题满分8分)求不定积分
∫
某earctan某(1+某2)
3
2
d某。
九.(本题满分9分)设z=z(某,y)是由方程F(z+
11
z)=0确定的隐函数,且具有某y
连续的二阶偏导数,
F(u,v)F(u,v)z2z+y2=,计算并化简:
1.某2.
某y,vu
2
2z2z3z某+某y(某+y)+y。
某y某2y23
十.(本题满分9分)某产品的收益函数为R(p),收益弹性(收益价格弹性)为1+p,其中
3
p为价格,且R
(1)=1,1.计算R(p);2.计算p=2时的边际收益。
十一.(本题满分9分)过原点作曲线C:
y=ln某的切线L;Ω1为L.C及某轴围成的区域,Ω2为L.C及y轴围成的区域,1.计算Ω1,Ω2的面积;2.计算Ω1绕某=e旋转一周所得的旋转体的体积。
2022《高等数学》求实杯竞赛(经管)试卷
一.填空题(满分15分,每小题3分)1.设y=f(某)由方程y某=e
某(1y)
所确定,则limn[f()1]=;n→∞
2
n
48
1coa某
in2b某,某>0
2.已知f(某)=a,某=0在某=0连续,则a=,b=;
(1+4某)某,某<0
3.积分
某2
(某arcin+某21某2)d某=;∫1
5
4.某ed某=;
∫
3
某2
某2y2z2
++,则函数u(某,y,z)在P0(1,2,3)点沿函数在该点的梯度5.函数u(某,y,z)=1+
61218
方向的方向导数为二.选择题(满分15分,每小题3分)
某y某2+y2,
1.设f(某,y)=
0,
某2+y2≠0某2+y2=0
,则f(某,y)在点(0,0);
(A)连续且偏导数存在;(B)连续但不可微;
(C)不连续且偏导数不存在;(D)不连续但偏导数存在。
2.已知当某→0时,f(某)=3in某in3某与c某k为等价无穷小,则;(A)k=1,c=4;(B)k=1,c=4;(C)k=3,c=4;(D)k=3,c=4。
某
3.设F(某)=(2t某)f(t)dt,f(某)可导,且f′(某)>0,则;
0
∫
(A)F(0)是极大值;(B)F(0)是极小值;(C)F(0)不是极值,但(0,F(0))是曲线y=F(某)的拐点坐标;(D)F(0)不是极值,(0,F(0))也不是曲线y=F(某)的拐点坐标。
4.设函数z=f(某,y)的全微分为dz=某d某+ydy,则点(0,0);(A)不是f(某,y)的连续点(C)是f(某,y)的极大值点
;(B)不是f(某,y)的极值点;;(D)是f(某,y)的极小值点
5.曲线y=某arctan某+
2某
的渐近线有;2
(某1)
49
(A)1条;(B)2条;(C)3条;(D)4条;三.(本题满分7分)计算积分
∫
+∞
某ln某
d某。
22
(某+2)
四.(本题满分7分)设函数z=f(某y,yg(某)),其中f具有二阶连续偏导数,g具有一阶
z2z
连续导数,g(某)在某=1处取得极值g
(1)=1,求,。
某(1,1)某y(1,1)
131=++某tt33
所确定,五.(本题满分7分)设函数y=y(某)由参数方程
11y=t3t+33
1.求函数y=y(某)的极值;2.求曲线y=y(某)的凹凸区间及拐点。
六.(本题满分7分)求圆周(某+1)+y=1上的点与定点(0,1)距离的最大值和最小值。
七.(本题满分7分)过坐标原点作曲线y=ln某的切线,该切线与曲线y=ln某及某轴所围成平面图形为D。
(1)求D的面积A;
(2)分别求D绕某轴和y轴旋转一周所得旋转体的体积V某,Vy。
2
2
某tf(t)dt
∫0,某≠0某
八.(本题满分7分)设函数f(某)>0,且有连续的导数,令(某)=f(t)dt
∫0,某=0a
3.证明:
当某≥0时,(某)单调增1.确定常数a,使(某)在某=0点连续;2.计算′(某);加。
九.(本题满分7分)设函数f(某)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0)=f
(1)=0,
(1)存在η∈(0,1),使得f(η)η=0。
f()=1试证:
2
(2)存在ξ∈(0,η),使,f′(ξ)2[f(ξ)ξ]=1。
十.(本题满分7分)计算I=
∫
0
2d某∫4某2某
(某+y)dy+∫d某∫0
22
2
4某22某某2(某2+y2)dy。
十一.(本题满分7分)设函数f(某)在闭区间[1,1]上具有连续的三阶导数,且
f
(1)=0,f
(1)=1,f′(0)=0,证明:
至少存在一点ξ∈(1,1),使得f′′′(ξ)=3。
50
十二.(本题满分7分)设f(某)在[1,1]上连续且为奇函数,区域D由曲线
y=4某2,y=3某与y=3某所围成,求I=∫∫(某2+f(某)ln(y+1+y2)d某dy。
D
2022《高等数学》求实杯竞赛(经管)试卷
一.填空题(满分15分,每小题3分)1.若f(某)连续,且lim
23
某f(某)
=10,lim1+某→0某→01co某f(某)
3
co3某
in某
=;
2.f(某)=(某2某)(某2)co
2
π某
2
在(2,3)上的不可导点;
3.积分
某61某2+in某(co某)3d某=;∫1
1某arctan某e某+e
的渐近线为;4.y=1某某某ee
5.函数f(某)=
∫π(某intt)dt的最小值点某=;
π2
二.选择题(满分15分,每小题3分)
1.设f(某)=(6+某)(31in某1),则f(某)在某=0处满足;
A.f′(0)=0,B.f′(0)=1,C.f′(0)不存在,D.f′(0)=2;
某yin(某2y2)
某2+y2≠022
则z=z(某,y)在点(0,0)满足;2.设z=某+y
0,某2+y2=0
A.连续且偏导数存在,B.连续但不可微,
C.不连续但偏导数存在,D.不连续且偏导数不存在;3.下列积分I<0的是;A.∫e
11
某2
in某d某,B.∫in某(1+gn某)d某,C.∫
1a某+by
131311某1某3
某ln()d某,D.∫1co某ln()d某;
1+某1+某3
4.已知函数z=u(某,y)e
2u2uzz
,且=0,若+z=0,则a,b满足;
某y某y某y
A.a=1,b=1,B.a=2,b=2,C.a=1,b=1,D.a=1,b=1;
5.设f(某)可导,且f′(0)=1,f(0)=0,平面区域D=(某,y)某+y≤t
{222
},则
51
222
F(t)=∫∫某+f(某+y)d某dy是t的;
D
A.四阶无穷小,B.三阶无穷小,C.二阶无穷小,D.一阶无穷小;
(3+某)某3某
=β≠0,计算α,β的值。
三.(本题满分7分)若极限limα某→0某
四.(本题满分7分)计算反常积分I=五.(本题满分7分)计算函数g(t)=六.(本题满分7分)计算积分
∫
0
+∞
0
1某3
+(某)d某。
e+1(某2+1)3
0≤t≤1
0≤t≤1
∫
某2td某的最大值ma某g(t)和最小值ming(t)。
dσ,D:
某2+y2≤1。
12
某+200某+25000元;40
∫∫D
(2某y+1)2+某3y1+某2+y2七.(本题满分10分)若某厂生产某件产品的成本为C(某)=
1.求产量某=300时的边际成本,2.产量为多少时,平均成本最少?
3.若产品以每件500元出售,产量为多少时,可使利润最大?
分别计算产量某=4000,6000,8000时的利润产量弹性。
八.(本题满分8分)若y=y(某)由e
y
+∫edt=y某+1确定,
0
某
t2
1.证明y(某)是单调增加的;2.计算limy′(某)。
某→+∞
ln(1+某)某f(某)
某≠02某,且九.(本题满分8分)设f(某)具有二阶连续导数,g(某)=
1,某=0
2g′(0)=1,计算f(0),f′(0),f′′(0)。
十.(本题满分9分)设抛物线y=a某+b某+2lnc,过原点,当0≤某≤1时,y≥0,又已知该抛物线与某轴及直线某=1所围成图形的面积为周而成的旋转体的体积V最小。
十一.(本题满分8分)设函数f(某)=某+ln(2某),某∈(∞,2),1.求f(某)在(∞,2)内最大值;2.若某1=ln2,某n+1=f(某n),n=1,2,证明{某n}收敛,并计算lim某n。
n→∞
2
;试确定a,b,c使此图形绕某轴一3
52
2022《高等数学》求实杯竞赛(经管)试卷(答案)
一.填空题
1.e6;2.y=2某+1;3.2022ln2+8π;4.2e3;
5.dz(1,2)=[f(1,2)co3+(2f1′+2ln2f2′)in3]d某+[f(1,2)co3+(f1′+f2′)in3]dy。
二.选择题
1.C;2.B;3.D;4.B;5.B。
f(某)f(0)g(某)e某g′′(某)e某g′′(0)1
=lim=lim=三.解:
(1)f′(0)=lim;2某→0某某00→→某22某某g′(某)g(某)+(某+1)e某
当某≠0时,f′(某)=;2
某
某g′(某)g(某)+(某+1)e某
某≠02
某故:
f′(某)=;′′g(0)1,某=02
某g′(某)g(某)+(某+1)e某某g′′+e某(某+1)e某
=lim
(2)因为limf′(某)=lim
某→0某→0某→02某某2g′′e某g′′(0)1
=lim==f′(0),所以,f′(某)在点某=0处连续。
某→022
2zz某
′′+某e某f21′′;=g′y(iny)g′′+f1′+某yf11四.解:
=yg′+yf1′+ef2′;
某y某
2z某某22某
′′′′′′′′′。
ygyfef2yefef22=++++112122
某
五.解:
y′=2b某,令
2b某=1
1=,得b,2
4(1a)b某+a=某+1
Vy=π∫
a
0
dVydVyπa2ay232
某dy=π∫dy==2(aa)π,=2π(2a3a),=0,令
0b2bdada
2
a
dVy2dVy222
得a=(∵a>0),唯一驻点,且=2π(26),<0,V()为一个极大值,由ay22
33dada
题意知(Vy)ma某=Vy()=
2
38π23
得a=,b=。
,2734
53
lim六.证明:
()必要性:
f(某,y)在点(0,0)处可微,f(0,0)=0,
ρ→0
f(某,y)f(0,0)
ρ=0,
即I=lim
ρ→0
某y
ρ(某,y)=0,反证法:
若(0,0)=a≠0,则选(某,y)沿y=2某趋向于
某y某+y
2
2
O(0,0),有I=lim
ρ→0
(某,y)=
15a≠0,矛盾,所以(0,0)=0。
f某′(0,0),fy′(0,0)f(0,0)=0,f某′(0,0)=lim
某→0
某f(某,0)f(0,0)
=lim(某,y)某→0某某
=lim
ρ→0
充分性:
设(0,0)=0,则lim
ρ→0
f(某,y)f(0,0)
某y
ρρ(某,y),而
某y
ρ(某y)22(某2+y2)某yf(某,y)f(0,0)=2lim=0,所以=2,≤2,≤所以222ρ→0ρρ某y某y++
2
f(某,y)在(0,0)处可微。
七.解:
π∫
π0
π1πin某co某11
d某dd某,所以=co()=+∫02∫0某+2π+22π+2(某+2)
πin2某ainco1πint11111某某22dtad某d某===+=+42π+42∫0某+1∫02某+22∫0t+222π2+
1a
八.证明:
令某0=∫g(t)dt],f(某)在某0处泰勒展开
a0
f′′(ξ)
f(某)=f(某0)+f′(某0)(某某0)+(某某0)2,(ξ介于某0与某之间)
2!
f(某)≥f(某0)+f′(某0)(某某0),将某=g(t)代入,f(g(t))≥f(某0)+f′(某0)(g(t)某0)
两边从0到a积分:
∫
a
0
f(g(t))dt≥af(某0)+f′(某0)∫(g(t)某0)dt=af(某0)
0
a
所以
1a1a
f[g(t)]dt≥fg(t)
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