新课标全国3卷文数doc.docx
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新课标全国3卷文数doc
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2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
1.已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=(
)
A.{0}
B.{1}
C
.{1,2}
D
.{0,1,2}
2.(1+i)(2﹣i)=(
)
A.﹣3﹣i
B.﹣3+i
C
.3﹣i
D
.3+i
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的
俯视图可以是()
A.B.C.D.
4.若sinα=,则cos2α=()A.B.C.﹣D.﹣
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,
则不用现金支付的概率为()
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
6.函数f(x)=的最小正周期为()A.B.C.πD.2π
7.下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()
A.y=ln(1﹣x)B.y=ln(2﹣x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)
8.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,
则△ABP面积的取值范围是()
A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]
9.函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为()
ABCD
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10.已知双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()
A.B.2C.D.2
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()
A.B.C.D.
12.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为()
A.12B.18C.24D.54
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量=(1,2),=(2,﹣2),=(1,λ).若∥(2+),则λ=.
14.某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行
抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.
15.若变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是.
16.已知函数f(x)=ln(﹣x)+1,f(a)=4,则f(﹣a)=.
三、解答题:
共70分。
17.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
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18.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种
生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二
组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:
min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?
并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据
(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:
K2=
,
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
(1)证明:
平面AMD⊥平面BMC;
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?
说明理由.
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20.已知斜率为k的直线l与椭圆C:
+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:
k<﹣;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:
2||=||+||.
21.已知函数f(x)=.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程;
(2)证明:
当a≥1时,f(x)+e≥0.
[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
22.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,﹣)且
倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
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[选修4-5:
不等式选讲](10分)
23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
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2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C;2.D;3.A;4.B;5.B;6.C;7.B;8.A;9.D;10.D;11.C;12.B;
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.;14.分层抽样;15.3;16.﹣2;
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()
A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}
【分析】求解不等式化简集合A,再由交集的运算性质得答案.
【解答】解:
∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},
∴A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}.
故选:
C.
2.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)(1+i)(2﹣i)=()
A.﹣3﹣iB.﹣3+iC.3﹣iD.3+i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:
(1+i)(2﹣i)=3+i.
故选:
D.
3.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯
眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带
卯眼的木构件的俯视图可以是()
A.B.C.D.
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可.
【解答】解:
由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体,是榫头,从图
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形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形,并且一条边重合,另外3边是虚线,所以木构件的俯视图是A.
故选:
A.
4.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)若sinα=,则cos2α=()
A.B.C.﹣D.﹣
【分析】cos2α=1﹣2sin2α,由此能求出结果.
【解答】解:
∵sinα=,
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=.
故选:
B.
5.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45,既用现金支付也用非现金支付的
概率为
0.15,则不用现金支付的概率为(
)
A.0.3
B.0.4
C.0.6D.0.7
【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可.
【解答】解:
某群体中的成员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不用现金支付,是互斥事件,所以不用现金支付的概率为:
1﹣0.45﹣0.15=0.4.故选:
B.
6.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)函数f(x)=的最小正周期为()
A.B.C.πD.2π
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,得出结论.
【解答】解:
函数f(x)===sin2x的最小正周期为=π,
故选:
C.
7.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()
A.y=ln(1﹣x)B.y=ln(2﹣x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)
【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果.
【解答】解:
首先根据函数y=lnx的图象,
则:
函数y=lnx的图象与y=ln(﹣x)的图象关于y轴对称.
由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称.
则:
把函数y=ln(﹣x)的图象向右平移2个单位即可得到:
y=ln(2﹣x).
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即所求得解析式为:
y=ln(2﹣x).
故选:
B.
8.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)直线
x+y+2=0分别与
x轴,y轴交于A,B两点,点
2
2
P在圆(x﹣2)
+y=2上,则
△ABP面积的取值范围是(
)
A.[2,6]
B.[4,8]
C.[
,3]D.[2
,3
]
【分析】求出A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=2
,设P(2+
,
),点P到直线x+y+2=0的
距离:
d=
=
∈[
],由此能求出△ABP面积的取值范
围.
【解答】解:
∵直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,
∴令x=0,得y=﹣2,令y=0,得x=﹣2,
∴A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=
=2,
∵点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,∴设P(2+
,
),
∴点P到直线x+y+2=0的距离:
d=
=
,
∵sin()∈[﹣1,1],∴d=∈[],
∴△ABP面积的取值范围是:
[,]=[2,6].
故选:
A.
9.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为()
A.B.C.
D.
【分析】根据函数图象的特点,求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可.
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【解答】解:
函数过定点(0,2),排除A,B.
32
函数的导数f′(x)=﹣4x+2x=﹣2x(2x﹣1),
得x<﹣或0<x<,此时函数单调递增,排除C,
故选:
D.
10.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)已知双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C
的渐近线的距离为()
A.B.2C.D.2
【分析】利用双曲线的离心率求出a,b的关系,求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离求解即可.
【解答】解:
双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,
可得=,即:
,解得a=b,
双曲线C:
﹣=1(a>b>0)的渐近线方程玩:
y=±x,
点(4,0)到C的渐近线的距离为:
=2.
故选:
D.
11.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,
则C=()
A.B.C.D.
【分析】推导出S△ABC==,从而sinC==cosC,由此能求出结果.
【解答】解:
∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
△ABC的面积为,
∴S△ABC==,
∴sinC==cosC,
∵0<C<π,∴C=.
故选:
C.
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12.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为
4的球的球面上四点,△
ABC为等边三角形且面积
为9
,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为(
)
A.12
B.18C.24D.54
【分析】求出,△ABC为等边三角形的边长,画出图形,判断
D的位置,然后求解即可.
【解答】解:
△ABC为等边三角形且面积为
9,可得
,解得AB=6,
球心为O,三角形ABC的外心为O′,显然
D在O′O的延长线与球的交点如图:
O′C=
=,OO′=
=2,
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为:
6,
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为:
=18.
故选:
B.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)已知向量=(1,2),=(2,﹣2),=(1,λ).若∥(2+),则λ=.
【分析】利用向量坐标运算法则求出=(4,2),再由向量平行的性质能求出λ的值.
【解答】解:
∵向量=(1,2),=(2,﹣2),
∴=(4,2),
∵=(1,λ),∥(2+),
∴,
解得λ=.
故答案为:
.
14.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽
样方法是分层抽样.
【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解.
【解答】解:
某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,
为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,
则最合适的抽样方法是分层抽样.
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故答案为:
分层抽样.
15.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)若变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是3.
【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线过(2,3)时,z最大.
【解答】解:
画出变量x,y满足约束条件表示的平面区域如图:
由解得A(2,3).
z=x+y变形为y=﹣3x+3z,作出目标函数对应的直线,
当直线过A(2,3)时,直线的纵截距最小,z最大,
最大值为2+3×=3,
故答案为:
3.
16.(5分)(2018?
新课标Ⅲ)已知函数f(x)=ln(﹣x)+1,f(a)=4,则f(﹣a)=﹣2.
【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值,转化求解即可.
【解答】解:
函数g(x)=ln(﹣x)
满足g(﹣x)=ln(+x)==﹣ln(﹣x)=﹣g(x),
所以g(x)是奇函数.
函数f(x)=ln(﹣x)+1,f(a)=4,
可得f(a)=4=ln(﹣a)+1,可得ln(﹣a)=3,
则f(﹣a)=﹣ln(﹣a)+1=﹣3+1=﹣2.
故答案为:
﹣2.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都
必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
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17.(12分)(2018?
新课标Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
【分析】
(1)利用等比数列通项公式列出方程,求出公比q=±2,由此能求出{an}的通项公式.
(2)当a1=1,q=﹣2时,Sn=,由Sm=63,得Sm==63,m∈N,无解;当a1=1,q=2时,Sn=2n
﹣1,由此能求出m.
【解答】解:
(1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
42
∴1×q=4×(1×q),
解得q=±2,
当q=2时,an=2n﹣1,
当q=﹣2时,an=(﹣2)n﹣1,
∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或an=(﹣2)n﹣1.
(2)记Sn为{an}的前n项和.
当a1=1,q=﹣2时,Sn===,
由Sm=63,得Sm==63,m∈N,无解;
当a1=1,q=2时,Sn===2n﹣1,
由Sm=63,得Sm=2m﹣1=63,m∈N,
解得m=6.
18.(12分)(2018?
新课标Ⅲ)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种
新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用
第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:
min)绘制了如下
茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?
并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超不超过
过mm
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据
(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
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附:
K2=
,
2
0.050
0.010
0.001
P(K≥k)
k
3.841
6.635
10.828
【分析】
(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数,再填写列联表;
(3)列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论.【解答】解:
(1)根据茎叶图中的数据知,
第一种生产方式的工作时间主要集中在
70~92之间,
第二种生产方式的工作时间主要集中在
65~90之间,
所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,
排在中间的两个数据是
79和81,计算它们的中位数为m=
=80;
由此填写列联表如下;
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
(3)根据
(2)中的列联表,计算
K2=
=
=10>6.635,
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19.(12分)(2018?
新课标Ⅲ)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
(1)证明:
平面AMD⊥平面BMC;
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?
说明理由.
【分析】
(1)通过证明CD⊥AD,CD⊥DM,证明CD⊥平面AMD,然后证明平面AMD⊥平面BMC;
(2)存在P是AM的中点,利用直线与平面培训的判断定理说明即可.
【解答】
(1)证明:
矩形ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直,所以AD⊥半圆弦所在平面,CM?
半圆弦
所在平面,
∴CM⊥AD,
M是上异于C,D的点.∴CM⊥DM,DM∩AD=D,∴CD⊥平面AMD,CD?
平面CMB,
∴平面AMD⊥平面BMC;
(2)解:
存在P是AM的中点,
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理由:
连接BD交AC于O,取AM的中点P,连接OP,可得MC∥OP,MC?
平面BDP,OP?
平面BDP,所以MC∥平面PBD.
20.(12分)(2018?
新课标Ⅲ)已知斜率为
k的直线l与椭圆C:
+
=1交于A,B两点,线段AB的中点为
M(1,m)(m>0).
(1)证明:
k<﹣
;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且
++
=
,证明:
2|
|=||+|
|.
【分析】
(1)设A(x1,y1),B(x2,
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