相平面法.ppt
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8.48.4相平面法相平面法相平面法是Poincare在1885年首先提出来的,它是一种求解一、二阶常微分方程的图解法。
这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动,通过研究这个点移动的轨迹,就能获得系统运动规律的全部信息。
由于它能比较直观、准确、全面地表征系统的运动状态,因而获得广泛应用。
1相平面法的作用n可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精确度及初始条件和参数对系统运动的影响。
在非线性程度严重,或有非周期输入,不能采用描述函数法时,利用相平面法是可行的。
2相平面的基本概念3相轨迹的绘制方法n解析法n图解法n实验法4对于一任意二阶非线性微分方程对于一任意二阶非线性微分方程或写成或写成令令则有则有图解法图解法5则则若若、是解析的,在以是解析的,在以xx11为横坐为横坐标轴,标轴,xx22为纵坐标的平面上绘制一条为纵坐标的平面上绘制一条xx22与与xx11的关系的关系曲线,我们把这样一条轨线称为曲线,我们把这样一条轨线称为相轨迹相轨迹,由一族,由一族相轨迹组成的图像称为相轨迹组成的图像称为相平面图相平面图。
将方程组写成一般形式有将方程组写成一般形式有相轨迹上某点处相轨迹上某点处切线的斜率。
切线的斜率。
622、由式、由式可知,相轨迹在平衡点附近切线斜率可知,相轨迹在平衡点附近切线斜率不定,意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。
不定,意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。
令令联立求解出的点联立求解出的点称为系统的称为系统的平衡点平衡点。
相轨迹的特点:
相轨迹的特点:
11、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。
相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。
7相轨迹的画法相轨迹的画法等倾线法等倾线法令令根据上式可在相平面上绘制一条线,相轨迹通根据上式可在相平面上绘制一条线,相轨迹通过这条线上的各点时,其切线的斜率都相同,过这条线上的各点时,其切线的斜率都相同,称之为称之为等倾线等倾线。
如果取不同的值。
如果取不同的值则可则可在相平面上绘制一系列的等倾线。
在相平面上绘制一系列的等倾线。
8图图8-27用等倾线法绘制相轨迹用等倾线法绘制相轨迹表示相轨迹通过这些等倾线时切线的斜表示相轨迹通过这些等倾线时切线的斜率。
率。
相平面中所有等倾线上的短线,组成了相轨迹的切线场。
相平面中所有等倾线上的短线,组成了相轨迹的切线场。
从相轨迹起始点从相轨迹起始点出发,平滑的将相邻等出发,平滑的将相邻等倾线上的短线连起来,即得系统相轨迹。
倾线上的短线连起来,即得系统相轨迹。
9绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性;绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性;由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达,因此平衡由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达,因此平衡点附近的相轨迹,最能反映系统的运动特性。
点附近的相轨迹,最能反映系统的运动特性。
平衡点又称为平衡点又称为奇点奇点。
另一反映系统运动特性的相轨迹是另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环极限环(奇线)。
(奇线)。
极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹,反映了系统极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹,反映了系统的自激振荡状态,它将无穷大的相平面分为两个部分,有的自激振荡状态,它将无穷大的相平面分为两个部分,有利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
10二、二、奇点与极限环奇点与极限环11、奇点、奇点奇点即为系统平衡点,它由方程组奇点即为系统平衡点,它由方程组联立求解得到联立求解得到。
将将、在在平平衡衡点点附附近近展展开开成成台台劳劳级级数数,以以便便研研究究该该点点附附近近相相轨轨迹迹的的形形状状及及运运动动特性。
奇点只有可能出现在特性。
奇点只有可能出现在xx轴上。
轴上。
11则有则有忽略高阶无穷小,忽略高阶无穷小,一般情况下令一般情况下令令令12根据特征方程根的性质,可将奇点分为如下几种情况:
根据特征方程根的性质,可将奇点分为如下几种情况:
则有则有系统特征方程为系统特征方程为特征方程的根为特征方程的根为131)同号相异实根同号相异实根当当时,两根同负,奇点称为稳定的节点;时,两根同负,奇点称为稳定的节点;当当时,两根同正,奇点称为不稳定的节点。
时,两根同正,奇点称为不稳定的节点。
图图8-28特征方程根为同号相异实根的相轨迹特征方程根为同号相异实根的相轨迹(a)(a)稳定节点稳定节点(bb)不稳定节点不稳定节点142)2)异号实根异号实根图图8-29鞍点对应的相轨迹鞍点对应的相轨迹奇点称为鞍点。
奇点称为鞍点。
01533)重根)重根若若,两个相等负实根,奇点称为退化的稳定节点;,两个相等负实根,奇点称为退化的稳定节点;若若,两相等正实根,奇点称为退化的不稳定节点。
,两相等正实根,奇点称为退化的不稳定节点。
图图8-30重根对应的相轨迹重根对应的相轨迹(a)重负实根重负实根0(b)重正实根重正实根016若若,具有负实部的共轭复根,奇点称为稳定焦点;,具有负实部的共轭复根,奇点称为稳定焦点;若若,具有正实部的共轭复根,奇点称为不稳定焦点。
,具有正实部的共轭复根,奇点称为不稳定焦点。
44)共轭复根)共轭复根图图8-31共轭复根对应的相轨迹共轭复根对应的相轨迹(a)(a)稳定焦点稳定焦点(b)(b)不稳定焦点不稳定焦点0017奇点称为中心点。
奇点称为中心点。
55)纯虚根)纯虚根图图8-328-32纯虚根对应的相轨迹纯虚根对应的相轨迹018相相平平面面图图上上的的一一根根孤孤立立的的封封闭闭相相轨轨迹迹称称为为极极限限环环。
它它对对应应系系统统的的自自激激振振荡荡状状态态。
极极限限环环把把相相平平面面划划分分为为内内部部平平面面和和外外部部平平面面两部分,相轨迹不能从环内穿越环进入环外,反之也不能。
两部分,相轨迹不能从环内穿越环进入环外,反之也不能。
22、极限环、极限环图图8-33极限环极限环0实际的物理系统中经常会遇到极限环。
实际的物理系统中经常会遇到极限环。
例如一个不稳定的线性控制系统,它的例如一个不稳定的线性控制系统,它的运动过程是发散振荡。
但由于实际系统运动过程是发散振荡。
但由于实际系统存在非线性,例如饱和特性,它的振幅存在非线性,例如饱和特性,它的振幅不会无限增加,到一定数值后就可能不不会无限增加,到一定数值后就可能不变了。
变了。
19n应当指出,不是相平面内的所有封闭曲线都是极限环。
在无阻尼的线性二阶系统中,由于不存在由阻尼造成的能量损耗,因而相轨迹是一簇连续的封闭曲线,这类曲线不是极限环,因为它们不是孤立的。
n极限环是非线性系统中特有的现象,它只发生在非守恒系统中,这种周期运动的原因不在于系统无阻尼,而是由于系统的非线性特性,导致系统的能量交替变化,这就有可能从某种非周期性的能源中获取能量,从而维持周期运动。
20(a)稳定的极限环稳定的极限环(b)不稳定的极限环不稳定的极限环(c)半稳定的极限环半稳定的极限环ttt21例例11已知一非线性系统运动方程已知一非线性系统运动方程试分析系统的运动稳定性。
试分析系统的运动稳定性。
解:
解:
将直角坐标系转化为极坐标系将直角坐标系转化为极坐标系令令代入原方程得代入原方程得则则22由(由(22)式推得)式推得将(将(33)式代入()式代入(11)式整理得)式整理得由(由(11)式推得)式推得将(将(44)式代入()式代入(22)式整理得)式整理得23特征方程的根为特征方程的根为奇点奇点(0,0)(0,0)为不稳定焦点,附近相轨迹为发散振荡。
为不稳定焦点,附近相轨迹为发散振荡。
系统的平衡点(奇点)系统的平衡点(奇点)24在单位圆内任取一点在单位圆内任取一点AA,由于,由于OAr=1OAr=1OBr=1,由方程有由方程有则封闭相轨迹外的相轨迹向单位圆逼近。
则封闭相轨迹外的相轨迹向单位圆逼近。
(系统的极限环)(系统的极限环)25三、三、用相平面法分析非线性系统用相平面法分析非线性系统用相平面法分析非线性系统的步骤:
用相平面法分析非线性系统的步骤:
11、根根据据非非线线性性特特性性将将相相平平面面划划分分为为若若干干区区域域,建建立立每每个个区域的线性微分方程来描述系统的运动特性;区域的线性微分方程来描述系统的运动特性;22、根据分析问题的需要,适当选择相平面坐标轴;根据分析问题的需要,适当选择相平面坐标轴;33、根据非线性特性建立相平面上切换线方程;、根据非线性特性建立相平面上切换线方程;44、求解每个区域的微分方程,绘制相轨迹、求解每个区域的微分方程,绘制相轨迹;55、平平滑滑地地将将各各个个区区域域的的相相轨轨迹迹连连起起来来,得得到到整整个个系系统统的的相相轨迹。
据此可用来分析非线性系统的运动特性。
轨迹。
据此可用来分析非线性系统的运动特性。
26例例22如如图图所所示示非非线线性性控控制制系系统统在在tt00时时加加上上一一个个幅幅度度为为66的的阶阶跃跃输输入入,系系统统的的初初始始状状态态为为,问问经过多少秒,系统状态可到达原点。
经过多少秒,系统状态可到达原点。
s+1rex1uy-图图8-36继电控制系统继电控制系统解:
列写运动方程解:
列写运动方程27区域(区域(11)区域(区域(22)
(1)
(2)028区域(区域(11):
):
代入初始条件代入初始条件,有有消去消去tt得得系统在区域系统在区域
(1)
(1)的运动轨迹的运动轨迹
(1)
(2)0A(6,0)29相相轨轨迹迹为为一一抛抛物物线线,系系统统从从AA出出发发到到达达BB点点,进进入入区区域域(22)。
BB点坐标满足点坐标满足区域(区域(22):
):
代入初始条件代入初始条件,求得,求得求得求得
(1)
(2)0A(6,0)B(2,-2).系统沿抛物线从系统沿抛物线从BB点运动到点运动到CC点,进入区域(点,进入区域(11)。
)。
CC点坐标满足点坐标满足消去消去tt得得系统在区域系统在区域
(2)
(2)的运动轨迹的运动轨迹求得求得
(1)
(2)0A(6,0)B(2,-2)C(-1,1)31由初始条件由初始条件CC(11,11)可求得可求得区域(区域(11):
):
消去消去tt得得系统在区域系统在区域
(1)
(1)沿抛物线沿抛物线由由CC点运动到原点。
点运动到原点。
(1)
(2)0A(6,0)B(2,-2)C(-1,1)由由AA点出发运动到原点点出发运动到原点OO的时间的时间ttAOAO可由式可由式求得。
求得。
根据各区域运动方程,根据各区域运动方程,33例例33非线性系统结构如图所示。
其中非线性系统结构如图所示。
其中aa11,试作系统从初始状态试作系统从初始状态出发的相轨迹,概略地出发的相轨迹,概略地画出对应的画出对应的y(ty(t)曲线。
并求出曲线。
并求出y(ty(t)=0)=0时的各时的各tt值。
当值。
当y(ty(t)为周期为周期运动时,求出运动周期的值。
运动时,求出运动周期的值。
r=0yeu-34r=0yeu-解:
列写运动方程解:
列写运动方程当当r=0r=0时,时,。
将已知条件代入上式得。
将已知条件代入上式得35区域(区域(11):
):
代入初始条件代入初始条件A(-1,-1)A(-1,-1),求得,求得消去消去tt得得系统在区域系统在区域
(1)
(1)沿圆弧由沿圆弧由AA点点运动到运动到BB点,进入区域点,进入区域
(2)
(2)。
A(-1,-1)B(-1,1)-10
(1)
(2)(3)36区域(区域(22):
):
代入初始条件代入初始条件B(-1,1)B(-1,1),得,得系统在区域系统在区域
(2)
(2)沿直线沿直线由由BB点运动到点运动到CC点,进入区域点,进入区域(3)(3)。
-10A(-1,-1)B(-1,1)
(1)
(2)(3)C(0,1)区域(区域(33):
):
37由初始条件由初始条件C(0,1)C(0,1),求得,求得-10A(-1,-1)B(-1,1)
(1)
(2)(3)C(0,
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