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第十一章压杆的稳定工程力学
第十一章压杆的稳定
承受轴向压力的杆,称为压杆。
如前所述,直杆在轴向压力的作用下,发生的是沿轴向的缩短,杆的轴线仍然保持为直线,直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下,是否发生屈服或破坏,由强度条件确定,这是我们已熟知的。
然而,对于一些受轴向压力作用的细长杆,在满足强度条件的情况下,却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲,称为屈曲,构件由屈曲引起的失效,称为失稳(丧失稳定性)。
本章研究细长压杆的稳定。
11.111.1稳定的概念
物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后,将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后,物体能恢复原来的平衡状态,则称该平衡是稳定的;若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态,则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示,小球在凹弧面中的平衡是稳定的,因为虚箭头所示的干扰(如微小的力或位移)消除后,小球会回到其原来的平衡位置;反之,小球在凸弧面上的平衡,受到干扰后将不能回复,故其平衡是不稳定的。
上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体,平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端钱支的受压直杆,如图11.2(a)所示。
当杆受
到水平方向的微小扰动(力或位移)时,杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲,如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小,横向的微小扰动消除后,杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置,即图11.2(a),平衡是稳定的;若轴向压力F足够大,即使
微小扰动已消除,在力F作用下,杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大,如图11.2(c)所示,直至
完全丧失承载能力。
在F=Fcr的临界状态下,压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置,扰动引起的微小弯曲也不继续增大,保持微弯状态的平衡,如图11.2(b)所示,这是不稳定的平衡。
如前所述,直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲,发生了屈曲就意味着构件失去稳定(失稳)。
压杆保持稳定与发生屈曲间的力Fcr称为
压杆的临界载荷或临界压力。
建筑物中的立柱、桁架结构中的受压杆、液压装置中的活塞推杆、动力装置中的气门挺杆等都是工程中常见的压杆,细长压杆的稳定是设计中必需考虑的。
11.2
图11.2压杆稳定概念
两端较支细长压杆的临界载荷
c=E;
三、变形几何关系
在弹性小变形条件下,处于微弯平衡状态的杆的挠曲线微分方程由(9-19)式给
出为:
dyM(x)
dx2一EI
将M(x)=_Fy代入,杆的挠曲线微分方程可写为:
d2y/dx2+k2y=0
式中,k2=F/EI。
上式是一个二阶齐次常微分方程,其通解为:
y=Asinkx+Bcoskx
式中的积分常数A、B由边界条件确定。
图11.3中,杆的边界条件是在二支承处挠度为零,即:
1)x=0处,y=0;2)x=l处,y=0。
将边界条件1)代入通解,有:
B=0;
再将边界条件2)代入通解,有:
Asinkl=0
注意上式中如果A=0,则因为B已经为零,挠曲线微分方程给出的解答将成为
y-0,其物理意义是杆各截面处挠度均为零,不发生弯曲变形,杆仍然为直杆。
这
与所研究的微弯平衡问题不符,故A为。
于是,必有:
sinkl=0
上式给出:
kl=nn(n=0,1,2,…)
注意前面已定义k2=F/EI,即5=k2EI,利用上式,可以得到:
2—2-I
nEI
F=-p(n=。
,1,2,…)
上述结果中若取n=0,则F=0,杆上无载荷,不会发生压杆稳定问题。
故由n=1
可给出使二端钱支压杆发生微弯平衡(失稳)的最小临界载荷为:
2
—(11-1)
EI
Fcr=2-
12
式(11-1)称为确定二端钱支压杆稳定临界载荷的欧拉公式。
欧拉公式指出:
压
杆稳定的临界载荷Fcr与杆长1的平方成反比,1越大,Fcr越小,杆越容易发生屈曲失
稳;压杆的临界载荷Fcr与杆的抗弯刚度EI成正比,杆的抗弯刚度越小,Fcr越小,
杆越容易发生屈曲失稳。
细长杆件1大、抗弯刚度EI小,稳定问题是不可忽视的。
值得注意的是,对于图11.3所示的压杆屈曲问题,若二端为平面较链支承,只
I=Iz;若二端为球形较链支承,则杆可在过
图11.4失稳发生在I最小的方位
允许杆在xy平面内弯曲,则截面惯性矩轴线x的任一平面内发生弯曲。
若截
面对某轴惯性矩最小,则能承受的临界载荷也最小,将首先垂直于该
轴的平面内发生屈曲失稳。
例如,对于图11.4所示之二端为球形较支的
矩形截面压杆,若h>b,则显然有
Iy=hb3/12 在垂直于y轴的xz平面内发生弯曲的,临界载荷应由Fcr=n2EIy/12计算。 例11.1直径d=20mm的圆截面直杆,长1=800mm,二端钱支。 已知材料的弹性模量 E=200GPa,Oys=240MPa,试求其临界载荷和屈服载荷。 解: 由二端钱支压杆临界载荷的欧拉公式(11-1)式,有: 压杆的屈服条件为0=F/A=Oys,故屈服载荷为: Fs 2 二20240 4 3 N=75.310N 显而易见,Fcr< §11.3不同支承条件下压杆的临界载荷 采用与前节类似的方法,可以由压杆微弯平衡的力学模型,研究不同支承情况下的屈曲临界载荷。 但是应当注意,当杆端约束情况改变时,挠曲线近似微分方程中的弯矩和挠曲线的边界约束条件也将发生变化,因而临界载荷也不同。 、二端固定的压杆 二端固定的压杆如图11.5所示 。 在B端施加轴向压力F,讨论杆在微弯状态下的平衡。 注意固定端 A的约束反力有轴向反力Fax=F, 有反力偶Ma;由对称性知B端也应有反力偶Mb=Ma=M,如图所示 。 固定端还可以有y方向的反力,但因为本问题(载荷和几何)是左右对称的,若 A端有反力FAy,则B端一定有同号的反力FBy=FAy,为满足平衡方程: ;Fy=FAy+FBy=0 必有FAy=FBy=0。 故二端固定支承压杆,在微弯平衡状态时的受力如图 11.5所示。 杆在任一截面x处的弯矩为: M(x)=M-Fy 挠曲线近似微分方程为: d2y_M(x)_M-Fydx2一EI一EI 仍然定义k2=F/EI,上式成为: M EI d2ydx2 上述二阶常微分方程的通解为: y=Asinkx+Bcoskx+M/F 为确定积分常数A、B,将挠度方程微分得到截面转角为: y=0=Akcoskx-Bksinkx 二端固定杆的边界条件是,二固定端处挠度和转角均为零,即: 1)x=0处,yA=0,脏0;2)x=l处,yB=0,至0; 将4个边界条件分别代入通解,得到: B+M/F=0; Ak=0 Asinkl+Bcoskl+M/F=0 Akcoskl-Bksinkl=0 上述第一式说明B^0o因为若B=0,则必有M=0,二固定端无反力偶,相当于 钱支,如所讨论的问题不符。 将第二式Ak=0代入上述第四式,并注意B、k均不为 零,则必有: sinkl=0 再将sinkl=0代入上述第三式,并利用上述第一式给出的B=-M/F,还有: coskl-1=0 能使sinkl=0,coskl-1=0同时满足的解答是: kl=2nn(n=0,1,2,…) 若n=0,因为杆长l4,则由k=0,有F=0,杆上无载荷,不会发生微弯平衡。 n=1时,kl=2凡有k=2M,代入k2=F/EI,即得到二端固定压杆的临界载荷为: 二、欧拉公式的一般形式 前节导出的二端钱支压杆的临界应力公式(11-1)式和本节导出的二端固定压杆 的临界应力公式(11-2)式,可以统一写成: 这就是确定压杆稳定临界载荷Fcr的欧拉公式的一般形式。 对于二端钱支的压 杆,M=1;对于二端固定的压杆,N=1/2。 四可视为压杆的相当长度,即确定二端固 定压杆稳定的临界载荷时,杆长相当于二端钱支压杆长度的1/2;口则称为反映压杆 不同支承情况的相当长度系数。 用类似的方法研究一端固定、另一端钱支;一端固定、另一端自由的压杆,结 果表明其稳定临界载荷也可由(11-3)式描述,只不过N值不同而已。 不同支承情况下,用欧拉公式的一般形式(11-3)式确定临界载荷时的相当长度 系数N为: M=1二端较支] 匕0.7一端钱支、一端固定 ---(11-4) 匕2一端自由、一端固定 匕0.5二端固定 可见,杆端支承对于压杆的临界载荷有显著影响。 杆的几何尺寸一定时,一端自由、一端固定时临界载荷最小;二端钱支,一端钱支、一端固定次之;二端固定支承时临界载荷最大。 在工程实际中,受压杆件二端的支承情况往往是复杂的。 需要根据具体情况,分析支承对于杆端的约束特性,选择适当的理想化支承模型。 如桁架中的压杆,其节点处的连接常常用焊接或挪接,但因为 连接处限制杆件转动的能力并不强,简化成较接是比较恰当且偏于安全的。 又如图 11.6所示的圆柱销钱链,在xy平面内,杆可以绕销钉转动,接头处支承是较支。 在yz 平面内,杆不能与接头发生相对转动,若 接头固定牢靠,可以简化为固定端;但若 杆插入接头的深度不够或杆与接头连接的间隙较大,有相对转动的可能,则接头处仍应简化为较支。 例11.2矩形截面木杆如图11.7所示,b=0.12m,h=0.2m,l=8m。 已知材料的弹性模 量E=10GPa,试求图中(a)、(b)二种情况下杆的临界载荷。 图11.7例11.2图 3 I=Iz=bh/12,二漏应视为钱支,故有: 因为Fcra2 Fcra=123.4kN。 2)情况(b) 先讨论杆在yz平面失稳的情况,此时I=Ix=bh3/12,二端可视为固定端,故有: =493.5103N=493.5kN 再讨论杆在yx平面失稳的情况,此时I=Iz=hb3/12,二端可视为钱支,故有: 293 二10100.20.12 ZLT2 128 =44.4103N=44.4kN 因为Fcrb2 可见,矩形截面压杆易于在截面惯性矩I小的平面内发生屈曲失稳,若支承条 件在惯性矩I小的平面内也较弱,则临界载荷将大大降低,更易发生屈曲失稳。 因 此,在本题的支承条件下,情况(b)中的截面放置是不合理的,情况(a)中的截面设 置是较合理的。 如果二端支承条件在yx、yz平面相同,则对于稳定而言,截面设计 成正方形比矩形合理。 §11.4中小柔度杆的临界应力 欧拉公式是由挠曲线近似微分方程导出的,而挠曲线近似微分方程只有在线弹性条件下才成立。 换言之,只有压杆所受的应力在线弹性范围内时,欧拉公式才适用。 超出此范围,欧拉公式能否利用? 如何利用? 这就是本节所要讨论的。 一、临界应力与杆的柔度 压杆在稳定临界状态时,横截面上的应力,由欧拉公式(11-3)式给出为: 一2. _Fcr_二EI =7'=A(Jl)2 式中,A是压杆的横截面积,仇「是压杆稳定的临界应力。 将截面惯性矩I写成I=i2A,i称为截面的惯性半径,量纲为胀度]1。 上述无量纲参数九称为压杆的柔度或细长比。 上反映了杆端约束、压杆长度、 杆截面形状和尺寸对临界应力的综合影响。 杆端约束情况>定时,杆长l越大,截 面惯性半径i越小,则? 越大,杆越细长,临界应力越小,越容易发生屈曲失稳。 由于欧拉公式是在线性弹性条件下得到的,故由此给出的临界应力公式(11-5) 上式给出: 则只有在富次p时,欧拉临界应力公式(11-5)或临界载荷(11-3)式才成立。 、临界应力总图 冕现p的杆,称为大柔度杆,前面讨论中的所说的细长杆,就是指大柔度杆,其 破坏形式是弹性屈曲失稳,临界应力可由欧拉公式确定。 另一方面,对于长度短、截面尺寸大的杆,由于杆的柔度很小而不至失稳;其 破坏形式是强度不足,临界应力为■■■'cr=士«ys(延性材料)或;工尸;: b(脆性材料)。 压杆的临界应力如图11.8所示。 在柔 度较小的AB段(九w,杆称为小柔度杆 临界应力<5Cr=CTys,发生的破坏是强度不足;在柔度较大的CD段(,4叩),杆是大柔度杆,临界应力GCr=n2E/72发生的破坏是应力小于比例极限的线性弹性屈曲失稳 ;在中等柔度的BD段(hqQ甲),杆称为中柔度杆,对应的临界应力则为 二p0: .Cr0: -ys,故发生的也是屈曲失稳破坏(并非线性弹性屈曲失稳)。 对于图11.8中BD段的中柔度杆,失稳临界应力的分析比较复杂,其工程计算方 法是由下述经验公式给出的: GCr=a-b九(\4uMlp)---(11-8) 此即临界应力总图中的虚直线段。 a、b分别是与材料相关的参数,单位为MPa。 表 11-1列出了一些常用材料的a、b值。 表11-1一些常用材料的a、b值 材料 a(MPa) b(MPa) ■p Xs 低碳钢 310 1.14 100 60 优质碳钢 461 2.57 100 60 铭镒钢 980 5.29 55 铸铁 332 1.45 80 硬铝 372 2.14 50 木材 28.7 0.19 110 由(11-8)式可知,中柔度杆的下限,可写为: s=(a--.: .cr)/b—(11-9) 对于延性材料,式中Ccr=Gys,对于脆性材料,Ocr=Ob° 在工程实际中,对于临界应力总图中BD段的中柔度杆,除用线性经验公式(11- 8)式外,还有抛物线型的压杆临界应力经验公式。 无论经验公式如何描述,临界应 力西在二端点B和C处之值,必然应分别为序(或叫和w 综上所述,计算压杆临界应力的基本方法、步骤如图11.9所示。 图11.9确定压杆临界应力的基本方法与步骤 例11.3低碳钢压杆二端钱支,杆直径d=40mm。 已知crys=242MPa,E=200GPa,若 杆长L〔=1.5m、L2=0.8m、L3=0.5m,试计算各杆的临界应力和临界载荷。 解: 1)查表确定九、九p 由表11-1知,对于低碳钢有: %=100,a=310MPa,b=1.14MPa 2)计算杆的柔度九九二科/i 二端钱支压杆: $1; 圆形截面的截面惯性半径: i=(I/A)"2=[(二d4/64)/(二d2/4)]"2=d/4=10mm 杆1的柔度为: 1=/L1/i=1500mm/10mm=150 杆2的柔度为: 九手RL2/i=800mm/10mm=80 杆3的柔度为: 九手RL3/i=500mm/10mm=50 3)判定压杆的类型,计算计算临界应力和临界载荷 杆1: 九=150>加=100,为大柔度杆,由欧拉公式(11-5)式有: 二2E200103二2 二句=2——MPa=87.73MPa ■21502 Fcri=CcriA=(87.73402「,4)N=110244N=110kN 杆2: 7s=60>九下80<,娘=100,为中柔度杆,由经验公式(11-8)式有: 二cr2=a-b=\OMPa,180MPa=218.8MPa Fcr2=;7r2A=(218.8402: 74)N=274952N=275kN 杆3: ,吁50>ks=60,为小柔度杆,有: 二cr3=;: ys=242MPa Fcr3=;7r3A=(242402二/4)N=304106N=304kN 例11.4矩形截面木杆如图11.10所示,b=0.12m,h=0.2m。 已知oys=25MPa, y*y* 图11.10例11.4图 E=9.5GPa。 若F1=120kN,F2=240kN, 试求杆的临界长度。 解: 1)由材料性能确定%、及 由表11-1知,对于木材有: a=28.7MPa,b=0.19MPa,,p=110, 1s-a-;-~s/b二二1一二、。 ,二二;「 2)不同柔度压杆的临界载荷 由临界应力总图知,,尸入p=110时的 临界应力可由线性经验公式(或欧拉公式)求得为: CTcrp=5=a-bZp^8.7MPa-0.19MPaMl10=7.8MPa, Zs=19.5时的临界应力为: 二crs=;1ys=25MPa 3)判断杆的类型,设计杆长 Fi=120kN时: 二cri=Fi/A=120000N/(120200)mm=5MPa, 由于国1=5MPa 2一2 「二E二、9500二=137 I1,二cr.5 杆在yz平面失稳时,I=Ix=hb3/12;二端可视为固定端,N=0.5。 由(11-6)式有: L11=,i八=41.「J/''-I.;(0.122/12)"2/0.5]m=9.49m 杆在yx平面失加t时,I=Iz=bh3/12,二端可视为较支,M=1;有: L12~i八=「二_(0.22/12)1/2]m=7.9m 故当F=F1=120kN时,杆的临界长度为: L1=min{L11、L12}=7.9m F2=240kN时: 二cr2=F2/A=240000N/(120200)mm=10MPa 由于%>10MPa>Op=7.8MPa,故可按中柔度杆设计,由(11-8)式有: 〜a-Ccr2)/b=(28.7-10)/0.19=98.4 杆在yz平面失稳时,I=Ix=hb3/12;二端可视为固定端,^=0.5。 由(11-6)式同样有: L21=i/」='二-7」不二(0.122/12)1/2/0.5]m=6.82m 杆在yx平面失稳时, I=Iz=bh3/12,二端可视为较支, L22=,i/」="Lr/■'-l? <,-(0.22/12)"jm=5.68m 故若F=F2=240kN,杆的临界长度应为: L2=min{L21、L22}=5.68m 讨论: 利用临界应力总图,除可由杆的柔度,.判断其类型外,也可由临界应力判断 杆的类型,即OCrWTp,大柔度杆;5女M女轨,中柔度杆; II11.5压杆的稳定计算 受压杆件的屈曲失稳是在截面应力小于极限强度时发生的。 前面的讨论已经 给出了压杆稳定临界应力的计算方法。 即对于大柔度杆,临界应力与「按欧拉公式计 算,对于中柔度杆,临界应力按线性经验公式计算,然后得到临界载荷Fcro考虑 到载荷估计、约束简化、杆的几何及计算等误差,考虑到材料性能的分散性及可能的偶然超载等等,与强度设计一样,在压杆稳定设计时,同样需要留有保证杆的稳定性的安全储备。 引入稳定许用安全系数nst,则许用压力为[Fst]=Fcr/nst,稳定性条件是: FM'=[Fst]---(11-10) nst 上式要求杆的工作压力F小于许用压力[Fst]。 稳定性条件还可写为: n=-^cLnst---(11-11) 即实际工作稳定安全系数n应大于许用稳定安全系数n* 稳定许用安全系数的选取,一般应大于强度安全系数。 因为加载的偏心、杆的 初始曲率、支承条件的实际情况等对强度影响并不显著的因素,对于稳定性却有较大的影响;同时,失稳垮塌的后果也更为严重。 一般情况下,钢材稳定许用安全系 数取1.8-3.0,铸铁取5.0-5.5,丝杆、活塞杆、发动机挺杆取2.0-6.0,矿山、冶金设 备取4.0-8.0等。 稳定许用安全系数可在相关专业设计手册中查得。 利用压杆的稳定条件,可以进行稳定性设计。 与强度设计一样,稳定性设计也包括稳定性校核、截面尺寸或杆长设计、确定许用载荷等等。 例11.5千斤顶如图11.11所示。 丝杆由优质碳钢制成,丝杆的内径d=40mm,最大顶 升高度L=350mm,最大起重量F=80kN。 若规定的许用稳定安全系数为nst=4, 故丝杆的柔度为: ■=JL/i=2350/10=70 立尸a-b,匕]MPa-2.57MPa70=281.1MPa Fcr=^crA=281.1MPa(402二/4)mm2=353240N=353.24kN 由稳定性条件(11-11)式,有: n=Fcr/F=353.24/80=4.415>nst=4 可见,丝杆是稳定的。 例11.6 活塞杆BC由铭镒钢制成,5s=780MPa,E=210GPa,直径d=36mm,最大外 伸长度L=1m,若规定的许用稳定安全系数为nst=6,试确定其最大许用压力 图11.12例11.6图 Fmax。 解: 1)由材料性能确定%、笳 查表11-1,有: a=980MPa,b=5.29MPa, ■s=(a-^s)/b=(980-780)/5.29=37.8 2)计算杆的柔度 活塞杆可简化为B端固定、C端钱支的压杆,N=0.7; 圆截面惯性半径为: i=d/4=9mm; 故活塞杆的柔度为: •=」L/i=0.71000/9=77.8 3)判断杆的类型,计算临界载荷 由于杆的柔度: £=77.8>,中=55,故为大柔度杆,按欧拉公式有: 二cr二二2E/=(210103二2/77.82)MPa=342.4MPa Fcr二GA二二d20cr/=(342.4362二/4)N=348520N=348.52kN 4)确定最大许用载荷Fmax 由稳定性条件(11-11)式,有: FmaxMFcr/nst=348.52kN/6=58.09kN 例11.7某硬铝合金制圆截面压杆长L=1m,二端钱支,受压力F=12kN作用。 已知 cys=320MPa,E=70GPa,若规定许用稳定安全系数为nst=5,试设计其直径d。 解: 1)由材料性能确定%、% 查表11-1,有: a=372MPa,b=2.14MPa,7产50, s=(a-;=ys)/b=(372-320)/2.14=24.3 2)确定临界载荷 由稳定性条件(11-10)式,有: Fcr_Fnst=12kN5=60kN 3)估计截面直径d 按大柔度杆涉计,由欧拉公式有: 解得: d=36.47mm 取d=38mm。 4)计算杆的柔度,检验按欧拉公式设计的正确性: 可见,按欧拉公式设计是正确的。 上不能确定,故只有 讨论: 在满足稳定条件的情况下设计截面尺寸,由于柔度先假定压杆的类型,选取欧拉公式或经验公式计算;估计截面尺寸后,再计算柔度,校核其是否满足所假定压杆类型的柔度要求。 已知截面尺寸和压力载荷,设计杆长时,可求出截面上的工作应力;然后与材 料的应力/、;「ys比较,即可
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- 第十一 章压杆 稳定 工程力学