四边形动点问题初二用平行四边形和面积问题总结.docx
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四边形动点问题初二用平行四边形和面积问题总结
2015-2016学年度?
?
?
学校3月月考卷
1.如图,矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的,AH与BE、BF、DF、DGCG分别交于点
P、QK、M汕设厶BPQ,△DKM,△CNH的面积依次为S,S,Sa.若Si+&=20,贝US的值为().
BDC
A.6B.8C.10D.12
2•如右图所示,ABCD^—个正方形,其中几块阴影部分的面积如图所示,则四边形BMQN
的面积为。
3.如图,在直角梯形ABCD中,AB//CD/BCD=R^,AB=AD=10cmBC=8cm点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P、Q同时发,当点Q运动到点C时,P、Q运动停止,设运动时间为t.
(1)求CD的长;
(2)当四边形PBQE为平行四边形时,求四边形PBQD勺周长;
(3)在点P、点Q的运动过程中,是否存在某一时刻,使得△BPQ的面积为20cm?
若
存在,请求出所有满足条件的t的值;若不存在,请说明理由.
4.如图,△AEF中,/EAF=45,AGLEF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到厶AEB将△AFG沿AF折叠得到厶AFD,延长BE和DF相交于点C.
N
G
(1)求证:
四边形ABCD是正方形;
(2)连接BD分别交AE、AF于点M叫将厶ABM绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADH试判断线段MNNDDH之间的数量关系,并说明理由.
(3)若EG=4GF=6BM=3/2,求AGMN的长.
5.正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点0是对角线ACBD的交点,过点0作OELMN于点E,过点B作BF丄MN于点F.
(1)如图1,当OB两点均在直线MN上方时,易证:
AF+BF=20(不需证明)
2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF、BF、0E之间又有怎样的关系?
请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
6.如图,在正方形ABCD中,AB2,点P是边BC上的任意一点,E是BC延长线上一点,联结AP,作PFAP交DCE的平分线CF上一点F,联结AF交边CD于点G.
(1)求证:
APPF;
(2)设点P到点B的距离为x,线段DG的长为y,试求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值围;
(3)当点P是线段BC延长线上一动点,那么
(2)式中y与x的函数关系式保持不变吗?
如改变,试直接写出函数关系式.
7.已知:
在梯形ABCD中,CD//AB,AD=DC=BC=2AB=4.点M从A开始,以每秒1个单位的速度向点B运动;点N从点C出发,沿SD-A方向,以每秒1个单位的速度向点
A运动,若MN同时出发,其中一点到达终点时,另一个点也停止运动.运动时间为t
秒,过点N作NQLCD交AC于点Q
(1)设厶AMQ勺面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值围.
(2)在梯形ABCD的对称轴上是否存在点巳使厶PAD为直角三角形?
若存在,求点P到AB的距离;若不存在,说明理由.
(3)在点MN运动过程中,是否存在t值,使△AMQ为等腰三角形?
若存在,求出t值;若不存在,说明理由.
8.已知:
在矩形ABCD中,E为边BC上的一点,AE丄DE,AB=12,BE=16,F为线段BE上一点,EF=7,连接AF。
如图1,现有一硬纸片△GMN/NGM=90NG=6MG=8斜边
MN与边BC在同一直线上,点N与点E重合,点G在线段DE上。
如图2,\GMF从图1的位置出发,以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动,同时,点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动,点Q为直线GN与线段AE的交点,连接PQ当点N到达终点B时,△GMNP和点同时停止运动。
设运动时间为t秒,解答问题:
(1)在整个运动过程中,当点G在线段AE上时,求t的值;
(2)在整个运动过程中,是否存在点P,使厶APQ是等腰三角形,若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;
(3)在整个运动过程中,设△GMNfAAEF重叠部分的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值围。
9.小明遇到这样一个问题:
如图1,在边长为a(a2)的正方形ABCD各边上分别截取
AE=BF=CG=DH=1当/AFQ=ZBGM=ZCHN=/DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积。
小明发现:
分别延长QE,MF,NG,PH,交FAGB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)请回答:
X
F
■*
N\
D一一…”w
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠)
的正方形的边长为;
(2)求正方形MNPQ的面积。
参考小明思考问题的方法,解决问题:
(3)如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF再分别过点D,
屈
AB的垂线,得到等边ARPQ,若SRPq,则AD的长为
3
,则这个新
E,F作BC,AC,
10.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,CD的中点,于点G,则可得结论:
①AFDE;②AFDE.(不需要证明)
(1)如图2,若点E,F不是正方形ABCD的边BC,CD的中点,则上面的结论①,②是否仍然成立?
(请直接回答“成立”或“不成立”
(2)如图3,若点E,F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和且CEDF,此时上面的结论1,2是否仍然成立?
若成立,立,请说明理由.
AF,DE相交
但满足CEDF,
)
DC的延长线上,
请写出证明过程,若不成
(3)如图4,在
(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为
AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯
形”中的哪一种?
并写出证明过程.
11.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=10.
(1)求矩形ABCD勺周长;
(2)E是CD上的点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处.
1求DE的长;
2点P是线段CB延长线上的点,连接卩人若厶PAF是等腰三角形,求PB的长.
M是AD上的动点,在DC上存在点N,使厶MDF沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度的最大值与最小值之和。
D
C
12.如图,在平面直角坐标系中,0是坐标原点,点A的坐标为(一4,0),点B的坐标为(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PCLx轴,垂足为C.记点P关于y轴
P'A,P'C.设点P的横坐标为a.
⑵在
(1)的条件下,若点P'的坐标是(-1,m),求m的值;
(3)若点P在第一像限,是否存在a,使△P'CA为等腰直角三角形?
若存在,请求出
所有满足要求的a的值;若不存在,请说明理由.
13.如图,已知矩形纸片ABCDAD=2,AB=4将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.
(1)如图1,求证:
A,GE,F四点围成的四边形是菱形;
2)如图2,当厶AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:
点N是线段BC的中点;
(3)如图2,在
(2)的条件下,求折痕FG的长.
Dr
图1图a
14.如图①所示,已知A、B为直线I上两点,点C为直线I上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作
DDiI于点Di,过点E作EE!
I于点
【小题1】如图②,当点E恰好在直线丨上时(此时E1与E重合),试说明DD1AB;
【小题
1】在图①中,当D、E两点都在直线I的上方时,试探求三条线段
DD1、
EE1、
AB之间的数量关系,并说明理由;
【小题1】如图③,当点E在直线I的下方时,请直接写出三条线段
DD1、
EE1、
AB之
间的数量关系.(不需要证明
图①
F
D
D1
A
B(E1)
图②
EI
CG
I
图③
15.【提出问题】如图1,小东将一AD为12,宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠:
在纸片的一边BC上分别取点P、Q,使得BP=CQ连结AP、DQ将厶ABP△DCQ分别沿APDQ折叠得△APM△DQN连结MN小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变.
【规律探索】
(1)请在图1中过点MN分别画MELBC于点E,NF丄BC于点F.
求证:
①ME=NF②MIN/BC.
【解决问题】
(2)如图1,若BP=3求线段MN的长;
3)如图2,当点P与点Q重合时,求MN的长.
16.(本题满分12分)已知,在矩形ABCD中,E为BC边上一点,AE!
DE,AB=12,BE=16,
z>
图②
F为线段BE上一点,EF=7,连接AF.如图①,现有一硬质纸片厶GMNZNGM=9°,NG=6MG=8斜边MN与边BC在同一直线上,点N与点E重合,点G在线段DE上.如图②,△GMN从图①的位置出发,以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动,同时,点从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动,点Q为直线GN与线段AE的交点,连接PQ当点N到达终点B时,△GMF和点P同时停止运动•设运动时间为
求t的值.
(2)在整个运动过程中,是否存在点P,使厶APQ是等腰三角形.若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(3)在整个运动过程中,设△GMNfAAEF重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值围.
17.(本题14分)在平面直角坐标系中,0为原点,四边形OABC勺顶点A在X轴的正半轴上,0A=40C=2点P,点Q分别是边BC,边AB上的点,连结AC,PQ点B1是点B关于PQ的对称点。
(1)若四边形OABC为矩形,如图1,
1求点B的坐标;
2若BQ:
BP=1:
2,且点B落在0A上,求点B的坐标;
(2)若四边形OABC为平行四边形,如图2,且OCLAC,过点B作B1F//X轴,与对角线AG边OC分别交于点E、点F。
若BE:
B1F=1:
3,点B的横坐标为m,求点B1的纵坐标,并直接写出m的取值围。
yi
F
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Q
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0
0
邳
Aj
18.(本题8分)如图,在口ABCD中,E、F是BC、AB的中点,DE、DF的延长线分别交AB、CB的延长线于H、G;
(1)求证:
BH=AB
(2)若四边形ABCD为菱形,试判断G与H的大小,并证明你的结论.
19.(本小题满分11分)如图,E、F分别是正方形ABCD勺边DCCB上的点,且DE=CF以AE为边作正方形AEHGHE与BC交于点Q连接DF.
(1)求证:
△ADE^ADCF
2)若E是CD的中点,求证:
Q为CF的中点;
(3)连接AQ设ce=S,Saae=S,SmafS,在
(2)的条件下,判断S+S2=S3是否成立?
并说明理由.
点坐标为(4,3).动点MN分别从点OB同时出发,以1单位/秒的速度运动(点M沿0A向终点A运动,点N沿BC向终点C运动),过点N作NP//AB交AC于点P,连结
MP
(1)直接写出OAAB的长度;
(2)试说明△CPWACAB
(3)在两点的运动过程中,请求出△MPA的面积S与运动时间t的函数关系式;
(4)在运动过程中,△MPA勺面积S是否存在最大值?
若存在,请求出当t为何值时有最大值,并求出最大值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.B.
【解析】
试题分析:
•••矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的,
•••AB=BD=CDAE//BF//DG//CH
•••四边形BEFD四边形DFGC是平行四边形,/BQP=/DMK2CHN
•BE//DF//CG
•••/BPQ=/DKMMCNH
•/△ABQ^ADM△AB3AACH
•AB_BQ1EQAB1
ADMD2,CHAC3,
•△BP3ADKMh^CNH
•BQ1BQ1
MD2,CH3
...sL1S_1
s,4,S39
•S2=4Si,S3=9S,
•/Si+Ss=20,
•Si=2,
•S2=8.
故选B.
考点:
1.矩形的性质,2.三角形的面积,3.相似三角形的判定与性质.
2.24
【解析】S(ADP)+S(APM+S(MBC)=0.5S(ABCD)=S(AND)
两边各减去公共部分即APDQNR即得到S(APM+S(BMQN)+S(RNC)=S(DQPR)故S(BMQN=24
3.
(1)16;
(2)88、一13;(3)5或39.
35
【解析】
试题分析:
(1)过点A作AMLCD于M根据勾股定理,可以求出DM=6所以DC=16.
(2)当四边形PBQD^平行四边形时,点P在AB上,点Q在DC上,如图示,由题可得:
BP=10-3t,DQ=2t,所以可以列出方程10-3t=2t,解得t=2,此时,BP=DQ=4CQ=12在厶CBQ中,根据勾股定理,求出BQ即可.
(3)此题要分三种情况进行讨论:
即①当点P在线段AB上,②当点P在线段BC上,③当
点P在线段CD上,根据三种情况点的位置,可以确定t的值.
(1)如图,过点A作AM!
CD于M,
根据勾股定理,AD=10,AM=BC=8,
•DMTO2826.•CD=16.
(2)当四边形PBQD为平行四边形时
点P在AB上,点Q在DC上,如图,
此时,BP=DQ=4,CQ=12,.・.BQ、'82122413.
•••四边形PBQD的周长=2(BP+BQ)=88.13.
(3)①当点P在线段AB上时,即0t时,如图,
3
11…5
Sbpq-BPBC一(103t)820,解得t-.
223
②当点P在线段BC上时,即10 3 112 •-SbpqbpCQ(3t10)162t20,化简得: 3t-34t+100=0,△=-44 22 v0, •••方程无实数解. 3当点P在线段CD上时, 若点P在Q的右侧, 1 Sbpq2(345t)8 20, 丄34冲亠 t一,则有PQ=34-5t,5 29 解得t29v6,舍去. 5 若点P在Q的左侧, 34 即一 5 Sbpq1(5t34)820,解得t39 25 5,39综上所述,满足条件的t存在,其值分别为一或—. 35 考点: 1.双动点问题;2.平行四边形的性质;3.一元二次方程的应用;4.直角梯形的性质; 5.勾股定理;6.分类思想的应用. 4. (1)证明见解析; (2)MlN=ND+DH,理由见解析;(3)5•.一2. 【解析】 试题分析: (1)由图形翻折变换的性质可知/ABE=/AGE2BAD=/ADC=90,AB=AD即可得 出结论; (2)连接NH由厶ABM^AADH得AM=AHBM=DH/ADH2ABD=45,故/NDH=90,再证厶AMN^AAHN得MN=NH由勾股定理即可得出结论; (3)设AG=x贝UEC=x-4,CF=x-6,在Rt△ECF中,禾U用勾股定理即可得出AG的值,同理 可得出BD的长,设NH=y,在Rt△NHD利用勾股定理即可得出MN的值. 试题解析: (1)证明: •••△AEB由厶AED翻折而成, •••/ABE=/AGE=90,/BAEKEAGAB=AG •••△AFD由厶AFG翻折而成, •/ADF=/AGF=90,/DAF=/FAQAD=AG •••/EAG+ZFAG=ZEAF=45, •••/ABE=ZAGE=ZBADZADC=90, •••四边形ABCD是矩形, •/AB=AD •四边形ABCD是正方形; (2)mN=nD+dH, 理由: 连接NH •/△人。 日由厶ABM旋转而成, •△ABM^AADH •AM=AHBM=DH •••由 (1)ZBAD=90,AB=AD •••/ADHZABD=45, •••/NDH=90, AM=AH EAF=NAH, AN=AN •△AMN^AAHN •MN=NH •mN=nD+dH; (3)设AG=BC=x贝UEC=x-4,CF=x-6, 在Rt△ECF中, •/CE2+CF2=EF2即(x-4)2+(x-6)2=100,x仁12,x2=-2(舍去) •AG=12 •/AG=AB=AD=12ZBAD=90, •BDAB2AD2、1221222, •/BM=3、、2, •MD=BD-BM=112、.23.29.2, 设NH=y, 在Rt△NHD中, ■/nH=nD+dH,即卩『=(9./2-y)2+(3、2)2,解得y=5、一2,即MN=52. 考点: 1.翻折变换(折叠问题);2.一元二次方程的应用;3.勾股定理;4.正方形的判定. 5. (1)见解析 (2)见解析 【解析】 思路分析: (1)过点B作BGL0E于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BGBF=GE根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OBZAOB=90,再根据 同角的余角相等求出ZAOEZOBG然后利用“角角边”证明△AOE^D^OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AEOE=BG再根据AF-EF=AE整理即可得证; (2)选择图2,过点B作BGLOE交OE的延长线于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形 的对边相等可得EF=BGBF=GE根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB/ AOB=90,再根据同角的余角相等求出/AOEMOBG然后利用“角角边”证明△AOE和厶OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AEOE=BG再根据AF-EF=AE整理即可得证;选择图3同理可证. 解: (1)证明: 如图,过点B作BGLOE于G 则四边形BGEF是矩形, •••EF=BGBF=GE 在正方形ABCD中,OA=OBZAOB=90, •/BG丄OE •••/OBG#BOE=90, 又•••/AOE#BOE=90, •••/AOE#OBG •••在△AOE^OBG中 AOEOBG AEOOGB90, OAOB •△AOE^AOBG(AAS, •OG=AEOE=BG •/AF-EF=AEEF=BG=OEAE=OG=OE-GE=OE-BF •AF-OE=OE-BF •AF+BF=2OE (2)图2结论: AF-BF=2OE 图3结论: AF-BF=2OE 对图2证明: 过点B作BGLOE交OE的延长线于G则四边形BGEF是矩形, •EF=BQBF=GE 在正方形ABCD中,OA=OB#AOB=90, •/BG丄OE •#OBG#BOE=90, 又•••#AOE#BOE=90, •#AOE#OBG •••在△AOE^OBG中 AOEOBG AEOOGB90, OAOB •••△AOE^AOBG(AAS, •••OG=AEOE=BG •/AF-EF=AEEF=BG=OEAE=OG=OE+GE=OE+BF •AF-OE=OE+BF •AF-BF=2OE 若选图3,其证明方法同上. 点评: 本题考查了正方形的性质,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,同角的余角相等的性质,作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键,也是本题的难点. 42x2x4 6. (1)证明见解析; (2)y土竺0x2;(3)改变,y竺上x>2. x2x2 【解析】 试题分析: (1)欲证APPF利用原图无法证明,需构建三角形且使之全等,因此在边AB上截取线段AH,使AHPC,连接PH,证明AHP与PCF全等即可. (2)由APMsGAN列式化简即可得. (3)在AD延长线上取点N,令NDDG, •NDG是等腰直角三角形••NGJ5DGV2y,AN2y. 同理,PM岳,AMx2, APM45PAMNAG,PMAANG45, •APMsGAN. .AMNG”x22y …,即 PMAN”2x2y 由正方形ABCD,得BBCDD90,ABBCAD,APF90,•APFB. APCBBAPAPFFPC,•PAHFPC. 又TBCDDCE90, CF平分 DCE •FCE45.•PCF135. 又•/ABBC,AHPC,•- •BHBP,即得BPHBHP45. •AHP135,即得AHPPCF. 在AHP和PCF中,PAHFPC,AH PC,AHPPCF, AHP也PCF, APPF• (2)在AD上取点N,令NDDG,二NDG是等腰直角三角形••••NG2DG2y,AN2y. 同理,PM.2x,AM2x, APM 45 APMsGAN. PAMNAG,PMAANG135, .AM PM AN,即22: 2y 整理, (3) 改变, 42x 40 2 2x4 x2 1.正方形的性质; 考点: 质;4.由实际问题列函数关系式 2.等腰直角三角形的判定和性质;3.全等三角形的判定与性 7. (1)S=-^t2—t(0vtw2),S二-五t2
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