惯性导航原理.ppt

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第三章第三章惯性导航原理惯性导航原理主要捷联式3.1常用坐标系常用坐标系nn惯性导航中所采用的坐标系可分为惯性导航中所采用的坐标系可分为惯性坐标系惯性坐标系与与非惯性坐非惯性坐标系标系两类，惯性导航区别于其它类型的导航方案（如无线两类，惯性导航区别于其它类型的导航方案（如无线电导航、天文导航等）的根本不同之处就在于其导航原理电导航、天文导航等）的根本不同之处就在于其导航原理是建立在牛顿力学定律是建立在牛顿力学定律又称惯性定律又称惯性定律的基础上的，的基础上的，“惯性导航惯性导航”也因此而得名。

而牛顿力学定律是在惯性空也因此而得名。

而牛顿力学定律是在惯性空间内成立的，这就有必要首先引入惯性坐标系，作为讨论间内成立的，这就有必要首先引入惯性坐标系，作为讨论惯导基本原理的坐标基准。

对飞行器进行导航的主要目的惯导基本原理的坐标基准。

对飞行器进行导航的主要目的就是要确定其导航参数，飞行器的导航参数就是通过各个就是要确定其导航参数，飞行器的导航参数就是通过各个坐标系之间的关系来确定的，这些坐标系是区别于惯性坐坐标系之间的关系来确定的，这些坐标系是区别于惯性坐标系、并根据导航的需要来选取的。

将它们统称为非惯性标系、并根据导航的需要来选取的。

将它们统称为非惯性坐标系，如地球坐标系、地理坐标系、导航坐标系、平台坐标系，如地球坐标系、地理坐标系、导航坐标系、平台坐标系及机体坐标系等。

坐标系及机体坐标系等。

nn在惯性导航中常用的坐标系有在惯性导航中常用的坐标系有nn1.1.地心惯性坐标系地心惯性坐标系nn地心惯性坐标系不考虑地球绕太阳的公转运地心惯性坐标系不考虑地球绕太阳的公转运动，地心惯性坐标系的原点选在地球的中心，它动，地心惯性坐标系的原点选在地球的中心，它不参与地球的自转。

惯性坐标系是惯性敏感元件不参与地球的自转。

惯性坐标系是惯性敏感元件测量的基准，在导航计算时无需在这个坐标系中测量的基准，在导航计算时无需在这个坐标系中分解任何向量，因此惯性坐标系的坐标轴的定向分解任何向量，因此惯性坐标系的坐标轴的定向无关紧要，但习惯上将无关紧要，但习惯上将zz轴选在沿地轴指向北极的轴选在沿地轴指向北极的方向上，而方向上，而xx、yy轴则在地球的赤道平面内，并指轴则在地球的赤道平面内，并指向空间的两颗恒星。

向空间的两颗恒星。

nn2.2.地球坐标系地球坐标系nn地球坐标系是固连在地球上的坐标系，它相对惯地球坐标系是固连在地球上的坐标系，它相对惯性坐标系以地球自转角速率性坐标系以地球自转角速率旋转，地球坐标系的旋转，地球坐标系的原点在地球中心，原点在地球中心，轴与轴与轴重合，轴重合，在赤道平面在赤道平面内，内，xx轴指向格林威治经线，轴指向格林威治经线，yy轴指向东经轴指向东经9090度方度方向。

向。

nn3.地理坐标系nn地理坐标系是在飞行器上用来表示飞行器所在位置的东向、北向和垂线方向的坐标系。

地理坐标系的原点选在飞行器重心处，x指向东，y指向北，z沿垂线方向指向天（东北天）。

nn4.导航坐标系nn导航坐标系是在导航时根据导航系统工作的需要而选取的作为导航基准的坐标系。

指北方位系统：

导航坐标系与地理坐标系重合；自由方位系统或游动自由方位系统：

轴与轴重合，而与及与之间相差一个自由方位角或游动方位角。

nn5.平台坐标系nn平台坐标系是用惯导系统来复现导航坐标系时所获得的坐标系，平台坐标系的坐标原点位于飞行器的重心处。

对于平台惯导系统，平台坐标系是通过平台台体来实现的；对于捷联惯导系统，平台坐标系是通过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现的。

nn6.机体坐标系nn机体坐标系是固连在机体上的坐标系。

机体坐标系的坐标原点o位于飞行器的重心处，x沿机体横轴指向右，y沿机体纵轴指向前，z垂直于oxy，并沿飞行器的竖轴指向上。

3.2四元数理论四元数理论四元数表示四元数：

描述刚体角运动的数学工具四元数：

描述刚体角运动的数学工具（quaternions）针对捷联惯导系统，可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足。

针对捷联惯导系统，可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足。

四元数的表示四元数的表示由一个实单位和三个虚数单位由一个实单位和三个虚数单位i,j,k组成的数组成的数或者省略或者省略1，写成，写成i,j,k服从如下运算公式：

服从如下运算公式：

四元数组成部分i,j,k服从如下运算公式服从如下运算公式称作标量部分，称作标量部分，称作矢量部分称作矢量部分四元数的另一种表示法四元数的另一种表示法P泛指矢量部分泛指矢量部分提示：

四元数与刚体转动的关系提示：

四元数与刚体转动的关系四元数基本性质加减法1四元数加减法四元数加减法或简单表示为或简单表示为四元数基本性质乘法2四元数乘法四元数乘法或简单表示为或简单表示为关于相乘符号关于相乘符号关于交换律和结合律关于交换律和结合律四元数基本性质共轭范数3共轭四元数共轭四元数仅向量部分符号相反的两个四元数仅向量部分符号相反的两个四元数和和互为共轭互为共轭可证明：

可证明：

4四元数的范数四元数的范数定义定义则称为规范化四元数则称为规范化四元数四元数基本性质逆除法5逆四元数逆四元数当当时时6四元数的除法四元数的除法若若则则若若则则不能表示为不能表示为（含义不确切含义不确切）四元数表示转动约定一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转，一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转，转角为转角为，转轴转轴nn与参考系各轴间的方向余弦值为与参考系各轴间的方向余弦值为cos、cos、cos。

则表示该旋转的四元数可以写为则表示该旋转的四元数可以写为为特征四元数为特征四元数（范数为范数为1）四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）四元数表示转动矢量旋转如果矢量如果矢量R相对固定坐标系旋转相对固定坐标系旋转，旋转四元数为，旋转四元数为q，转动后转动后的矢量为的矢量为R，则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现含义：

矢量含义：

矢量R相对固定坐标系产生旋转，相对固定坐标系产生旋转，转角和转轴由转角和转轴由q决定决定四元数表示转动坐标系旋转如果如果坐标系坐标系OXYZ发生发生q旋转，得到新坐标系旋转，得到新坐标系OXYZ一个相对原始坐标系一个相对原始坐标系OXYZ不发生旋转变换的矢量不发生旋转变换的矢量V矢量矢量V在新坐标系上在新坐标系上OXYZ的投影为的投影为则不变矢量则不变矢量V在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：

在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：

式中式中分别称为矢量分别称为矢量V在坐标系在坐标系OXYZ和和OXYZ上的映像上的映像四元数映象图解四元数表示转动方向余弦将该投影变换式展开，也就是把将该投影变换式展开，也就是把代入上述投影变换式代入上述投影变换式进行四元数乘法运算，整理运算结果可得进行四元数乘法运算，整理运算结果可得四元数表示转动方向余弦其中方向余弦矩阵其中方向余弦矩阵四元数表示转动旋转合成多次旋转多次旋转的合成的合成对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间的关系等效于一个一次转动的效果，的关系等效于一个一次转动的效果，相应地有合成转动四元数相应地有合成转动四元数假定假定q1、q2分别是第一次转动、第二次转动的四元数分别是第一次转动、第二次转动的四元数q是合成转动的四元数，是合成转动的四元数，那么有如下关系成立：

那么有如下关系成立：

上式中上式中q1和和q2的转轴方向必须以映象的形式给出。

的转轴方向必须以映象的形式给出。

如果如果q1和和q2的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有求方向余弦非映象方式1用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。

用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。

坐标系坐标系OXYZ相对相对OXYZ三次旋转，以欧三次旋转，以欧拉角拉角、的形的形式给出。

式给出。

第一转，绕第一转，绕Z轴转轴转角，瞬时转轴角，瞬时转轴n和和k轴重合，则转动四元轴重合，则转动四元数为数为第二转，绕第二转，绕OX1轴转轴转角，角，瞬时转轴瞬时转轴n的方向表示式为的方向表示式为其转动四元数为其转动四元数为求方向余弦非映象方式2求方向余弦非映象方式合成由于由于q1和和q2的瞬时转轴的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来都是以同一个坐标系的方向余弦来表示，则合成转动四元数表示，则合成转动四元数q的计算采用：

的计算采用：

求方向余弦映象方式1以瞬时转轴以瞬时转轴映象映象形式给出形式给出转动四元数的表达式并求转动四元数的表达式并求出合成转动四元数出合成转动四元数第一次转时，映象形式的第一次转时，映象形式的q1和非映象形式的和非映象形式的q1是是一致的：

一致的：

求方向余弦映象方式2第二转绕第二转绕OX1轴转轴转角角瞬时转轴瞬时转轴n是由是由OX经过经过第一转转换来的第一转转换来的OX轴对应单位矢量轴对应单位矢量i，所所以定义以定义n的映象为的映象为i则则q2的映象表示式为的映象表示式为求方向余弦映象方式3第三转，绕第三转，绕OZ轴转动轴转动角角瞬时转轴瞬时转轴n是由是由OZ经过经过第一转和第二转转换来的第一转和第二转转换来的OZ轴对应单位矢量轴对应单位矢量k，所以定义所以定义n的映象为的映象为k则则q3的映象表示式为的映象表示式为求方向余弦映象合成由于由于q1、q2和和q3都是映象形式都是映象形式，所以三次转动的合成转动四所以三次转动的合成转动四元数元数q为为据此可算出对应的方向余弦表据此可算出对应的方向余弦表四元数补充两种转动公式坐标系旋转时，不变矢量坐标系旋转时，不变矢量V在两个坐标系上的投影之间存在在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：

如下关系：

在一些资料中，四元数的转动公式也经常写成如下的形式在一些资料中，四元数的转动公式也经常写成如下的形式这个公式的意义是说，在一个超复数空间中，或者在一个固这个公式的意义是说，在一个超复数空间中，或者在一个固定坐标系中，矢量定坐标系中，矢量VE按着四元数按着四元数q所表示的方向和大小转所表示的方向和大小转动了一个角度，得到一个新的矢量动了一个角度，得到一个新的矢量VE四元数补充计算上的优点四元数法能得到迅速发展，是由于飞行器控制与导航的发展，要四元数法能得到迅速发展，是由于飞行器控制与导航的发展，要求更合理地描述刚体空间运动，以及便于计算机的应用。

求更合理地描述刚体空间运动，以及便于计算机的应用。

采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，要积分矩阵微分方程式：

采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，要积分矩阵微分方程式：

式中式中C为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵，为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵，为动坐为动坐标系相对定坐标系旋转角速度标系相对定坐标系旋转角速度的反对称矩阵：

的反对称矩阵：

包含包含9个一阶微个一阶微分方程式，计算分方程式，计算量比较大量比较大四元数补充计算上的优点如果采用四元数法，则是要求解四元数方程式如果采用四元数法，则是要求解四元数方程式q为动坐标系的转动四元数，为动坐标系的转动四元数，为动坐标系相对定坐标系为动坐标系相对定坐标系的旋转角速度，也表示为四元数的旋转角速度，也表示为四元数按四元数乘积展开按四元数乘积展开只要解四个一阶微分只要解四个一阶微分方程式组方程式组即可即可3.3视加速度和比力视加速度和比力根据根据质心运心运动定理和相定理和相对运运动学原理，学原理，飞行体行体质心运心运动的微分方程（在的微分方程（在惯性坐性坐标系下）系下）为：