高中函数求值域的九种方法和例题讲解.docx
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高中函数求值域的九种方法和例题讲解
之马矢奏春创作
时间:
二O二一年七月二十九日
高中函数值域和界说域的年夜小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最经常使用的九种方法和例题讲解.
一.观察法
通过对函数界说域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域. 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域.
点拨:
根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域.
解:
由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,
故3+√(2-3x)≥3.
∴函数的知域为.
点评:
算术平方根具有双重非负性,即:
(1)被开方数的非负性,
(2)值的非负性.
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法.
练习:
求函数y=[x](0≤x≤5)的值域.(谜底:
值域为:
{0,1,2,3,4,5})
二.反函数法
当函数的反函数存在时,则其反函数的界说域就是原函数的值域.
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.
点拨:
先求出原函数的反函数,再求出其界说域.
解:
显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:
x=(1-2y)/(y-1),其界说域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}.
点评:
利用反函数法求原函数的界说域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一.
练习:
求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域.(谜底:
函数的值域为{y∣y<-1或y>1})
三.配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3:
求函数y=√(-x2+x+2)的值域.
点拨:
将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求.
解:
由-x2+x+2≥0,可知函数的界说域为x∈[-1,2].此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评:
求函数的值域不单要重视对应关系的应用,而且要特别注意界说域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.
练习:
求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(谜底:
值域为{y∣y≤3})
四.判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域.
例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域.
点拨:
将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域.
解:
将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)
当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:
2<x≤10/3
当y=2时,方程(*)无解.∴函数的值域为2<y≤10/3.
点评:
把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数.
练习:
求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域.(谜底:
值域为y≤-8或y>0).
五.最值法
对闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与鸿沟值f(a).f(b)作比力,求出函数的最值,可获得函数y的值域.
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.
点拨:
根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域.
解:
∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比力鸿沟的年夜小.
当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4.
∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}.
点评:
本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域.
练习:
若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为()
A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞)
(谜底:
D).
六.图象法
通过观察函数的图象,运用数形结合的方法获得函数的值域.
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域.
点拨:
根据绝对值的意义,去失落符号后转化为分段函数,作出其图象.
解:
原函数化为-2x+1(x≤1)
y=3(-1 2x-1(x>2) 它的图象如图所示. 显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]. 点评: 分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象 求函数的值域,体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法. 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域 七.单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递加求值域. 例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域. 点拨: 由已知的函数是复合函数,即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x),其界说域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域. 解: 设f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它们在界说域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x 在界说域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}. 点评: 利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域. 练习: 求函数y=3+√4-x的值域.(谜底: {y|y≥3}) 八.换元法 以新变量取代函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域. 例2求函数y=x-3+√2x+1的值域. 点拨: 通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域. 解: 设t=√2x+1(t≥0),则 x=1/2(t2-1). 于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}. 点评: 将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛. 练习: 求函数y=√x-1–x的值域.(谜底: {y|y≤-3/4} 九.构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合. 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域. 点拨: 将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域. 解: 原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单元 正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22, KC=√(x+2)2+1. 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共 线时取等号. ∴原函数的知域为{y|y≥5}. 点评: 对形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷.这是数形结合思想的体现. 练习: 求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域.(谜底: {y|y≥5√2}) 以上九种是函数求值域最经常使用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法. 十.比例法 对一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域. 例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域. 点拨: 将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数. 解: 由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1. 当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1 函数的值域为{z|z≥1}. 点评: 本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的立异意识. 练习: 已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.(谜底: {f(x,y)|f(x,y)≥1}) 十一.利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域. 点拨: 将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和. 解: y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1). ∵1/(x+1)≠0,故y≠3. ∴函数y的值域为y≠3的一切实数. 点评: 对形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法. 练习: 求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.(谜底: y≠2) 十二.不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域. 点拨: 先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式. 解: 易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的界说知x/(1-x)>0 1-x≠0 解得,0<x<1. ∴函数的值域(0,1). 点评: 考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数界说域,进而求值域.不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛.是数学解题的方法之一. 时间: 二O二一年七月二十九日
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