数学新同步湘教版选修22讲义+精练第4章 431 利用导数研究函数的单调性.docx
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数学新同步湘教版选修22讲义+精练第4章431利用导数研究函数的单调性
4.3
导数在研究函数中的应用
4.3.1 利用导数研究函数的单调性
[读教材·填要点]
函数在区间(a,b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系:
导函数的正负
函数在(a,b)上的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)=0
常数函数
[小问题·大思维]
1.在区间(a,b)内,若f′(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?
提示:
不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在0处的导数等于零.也就是说f′(x)>0是y=f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件.
2.右图为导函数y=f′(x)的图象,则函数y=f(x)的单调区间是什么?
提示:
单调递增区间:
(-∞,-3],[-2,1],[3,+∞);
单调递减区间:
[-3,-2],[1,3].
判断(或证明)函数的单调性
已知函数f(x)=ax3-3x2+1-,讨论函数f(x)的单调性.
[自主解答] 由题设知a≠0.f′(x)=3ax2-6x=3ax,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=.
当a>0时,若x∈(-∞,0),则f′(x)>0.
∴f(x)在区间(-∞,0)上为增函数.
若x∈,则f′(x)<0,
∴f(x)在区间上为减函数.
若x∈,则f′(x)>0,
∴f(x)在区间上是增函数.
当a<0时,若x∈,则f′(x)<0.
∴f(x)在上是减函数.
若x∈,则f′(x)>0.
∴f(x)在区间上为增函数.
若x∈(0,+∞),则f′(x)<0.
∴f(x)在区间(0,+∞)上为减函数.
利用导数判断或证明函数单调性的思路
1.求证:
函数f(x)=ex-x-1在(0,+∞)内是增函数,在(-∞,0)内是减函数.
证明:
由f(x)=ex-x-1,
得f′(x)=ex-1.
当x∈(0,+∞)时,ex-1>0,
即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数.
当x∈(-∞,0)时,ex-1<0,
即f′(x)<0.
∴f(x)在(-∞,0)内是减函数.
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=3x2-lnx;
(2)f(x)=-ax3+x2+1(a≤0).
[自主解答]
(1)函数的定义域为(0,+∞),
f′(x)=6x-=,
令f′(x)>0,即>0,
∵x>0,∴6x2-1>0,∴x>.令f′(x)<0,
即<0,∵x>0,∴6x2-1<0,∴0 ∴f(x)的单调递增区间为, 单调递减区间为. (2)①当a=0时,f(x)=x2+1, 其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞). ②当a<0时,f′(x)=-ax2+2x, f′(x)>0⇔(-ax+2)x>0⇔x>0⇔x>0或x<;f′(x)<0⇔ 故f(x)的单调递增区间为和(0,+∞),单调递减区间为. 求函数的单调区间的“两个”方法 方法一: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y′=f′(x); (3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 方法二: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间; (4)确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 2.已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线与x轴平行. (1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间. 解: (1)由题意得f′(x)=, 又f′ (1)==0,故k=1. (2)由 (1)知,f′(x)=. 设h(x)=-lnx-1(x>0),则h′(x)=--<0,即h(x)在(0,+∞)上是减函数. 由h (1)=0知,当0 当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞). 已知函数的单调性求参数范围 已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x,a≠0. (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围. [自主解答] (1)h(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞), 所以h′(x)=-ax-2. 因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间, 所以当x∈(0,+∞)时, -ax-2<0有解, 即a>-有解. 设G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可. 而G(x)=2-1,所以G(x)min=-1. 所以a>-1.即实数a的取值范围是(-1,+∞). (2)因为h(x)在[1,4]上单调递减, 所以x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立. 即a≥-恒成立. 所以a≥G(x)max.而G(x)=2-1. 因为x∈[1,4],所以∈. 所以G(x)max=-(此时x=4). 所以a≥-. 当a=-时,h′(x)=+x-2 ==. ∵x∈[1,4],∴h′(x)=≤0. 即h(x)在[1,4]上为减函数. 故实数a的取值范围是. 若将本例 (2)中“单调递减”改为“单调递增”,如何求a的取值范围? 解: ∵h(x)在[1,4]上单调递增, ∴x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≥0恒成立. 即a≤-恒成立. 设G(x)=-,∴只需a≤G(x)min. 又G(x)=2-1,∵x∈[1,4],∴∈. ∴G(x)min=-1,∴a≤-1. 经验证: a=-1时,h(x)在[1,4]上单调递增, 综上所述,a的取值范围为(-∞,-1]. 已知f(x)在区间D上单调,求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法: 通常将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分离,转化为求最值问题,从而求出参数的取值范围.特别地,若f′(x)为二次函数,可以由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立求出参数的取值范围. 3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是( ) A. B. C.D. 解析: f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex, 由题意当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0恒成立, 即x2+(2-2a)x-2a≤0恒成立. 令g(x)=x2+(2-2a)x-2a,则有 即解得a≥. 答案: C 证明: 方程x-sinx=0有唯一解. [巧思] 方程f(x)=0的解即曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标,因此可以通过构造函数来解决. [妙解] 设f(x)=x-sinx,当x=0时,f(0)=0, 所以x=0是方程x-sinx=0的一个解. 因为f′(x)=1-cosx, 且x∈R时,f′(x)>0总成立, 所以函数f(x)在R上单调递增. 所以曲线f(x)=x-sinx与x轴只有一个交点. 所以方程x-sinx=0有唯一解. 1.函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为( ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,0)D.(0,2) 解析: f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令f′(x)<0,得0 ∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2). 答案: D 2.函数y=x2-lnx的单调递减区间为( ) A.(-1,1]B.(0,1] C.[1,+∞)D.(0,+∞) 解析: 函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),y′=x-=, 令y′≤0,可得0<x≤1. 答案: B 3.函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是( ) A.[3,+∞)B.[-3,+∞) C.(-3,+∞)D.(-∞,-3) 解析: f′(x)=3x2+a, 令3x2+a≥0,∴a≥-3x2, ∵x∈(1,+∞),∴a≥-3. 答案: B 4.函数f(x)=cosx+x的单调递增区间是________. 解析: 因为f′(x)=-sinx+>0, 所以f(x)在R上为增函数. 答案: (-∞,+∞) 5.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为____________. 解析: 设g(x)=f(x)-2x-4,则g′(x)=f′(x)-2. ∵对任意x∈R,f′(x)>2, ∴g′(x)>0.∴g(x)在R上为增函数. 又g(-1)=f(-1)+2-4=0,∴x>-1时,g(x)>0. ∴由f(x)>2x+4,得x>-1. 答案: (-1,+∞) 6.求函数f(x)=x3-3x2-9x+1在区间[-4,4]上的单调性. 解: ∵f(x)=x3-3x2-9x+1,∴f′(x)=3x2-6x-9. 令f′(x)>0,结合-4≤x≤4, 得-4≤x<-1或3 令f′(x)<0,结合-4≤x≤4,得-1 ∴函数f(x)在[-4,-1)和(3,4]上为增函数,在(-1,3)上为减函数. 一、选择题 1.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为( ) A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析: 函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=, 令f′(x)<0,解得0<x<1,所以单调递减区间是(0,1). 答案: A 2.已知函数f(x)=+lnx,则有( ) A.f (2) (2) C.f(3) (2)D.f(e) (2) 解析: 在(0,+∞)上,f′(x)=+>0, 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以有f (2) 答案: A 3.如图为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,那么函数y=f(x)的图象可能为( ) 解析: 由导函数y=f′(x)的图象,可知当-1 所以y=f(x)在(-1,3)上单调递减; 当x>3或x<-1时,f′(x)>0, 所以y=f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调递增. 综上,函数y=f(x)的图象的大致形状如A中图所示,所以选A. 答案: A 4.f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,且f(-1)=0,则f(x)g(x)<0的解集为( ) A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1) 解析: 令F(x)=f(x)g(x),则F(x)为奇函数, 且当x<0时,F′(x)<0, 即F(x)在(-∞,0)上为减函数. 又∵f(-1)=0,即F(-1)=0. ∴F(x)=f(x)g(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 答案: A 二、填空题 5.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是________. 解析: y′=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,∴b≤2. 答案: (-∞,2] 6.已知函数y=f(x)在定义域[-4,6]内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为________. 解析: f′(x)≤0的解集,即为函数y=f(x)的单调减区间, ∴f′(x)≤0的解集为∪. 答案: ∪ 7.设函数f(x)=x(ex-1)-x2,则f(x)的单调增区间是________,减区间是________. 解析: f(x)=x(ex-1)-x2, f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当x∈(-1,0)时, f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减. 答案: (-∞,-1)和(0,+∞) (-1,0) 8.已知函数f(x)=-2x2+lnx(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是________. 解析: f′(x)=-4x+,若函数f(x)在[1,2]上为单调函数, 即f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立 ,即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立. 令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增, 所以≥h (2)或≤h (1),即≥或≤3, 又a>0,所以0<a≤或a≥1. 答案: ∪[1,+∞) 三、解答题 9.已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 解: (1)对f(x)求导得f′(x)=--, 由f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=x 知f′ (1)=--a=-2,解得a=. (2)由 (1)知f(x)=+-lnx-, 则f′(x)=, 令f′(x)=0,解得x=-1或x=5, 因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当x∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数; 当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数. 10.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a=-1时,证明: 当x∈(1,+∞)时,f(x)+2>0. 解: (1)根据题意知,f′(x)=(x>0), 当a>0时,则当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 ,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞); 同理,当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当a=0时,f(x)=-3,不是单调函数,无单调区间. (2)证明: 当a=-1时,f(x)=-lnx+x-3, 所以f (1)=-2, 由 (1)知f(x)=-lnx+x-3在(1,+∞)上单调递增, 所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f (1). 即f(x)>-2,所以f(x)+2>0.
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