线性代数练习册附答案.docx
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线性代数练习册附答案
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线性代数练习册附答案
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第1章矩阵
习题
1.写出下列从变量x,y到变量x1,y1的线性变换的系数矩阵:
(1);
(2)
2.(通路矩阵)a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.
4。
b1
a1。
31。
b2
a2。
2
2。
b3
3.设,,求3AB-2A和ATB.
4.计算
(1)
(2)
5.已知两个线性变换,,写出它们的矩阵表示式,并求从到的线性变换.
6.设f(x)=a0xm+a1xm-1+…+am,A是n阶方阵,定义f(A)=a0Am+a1Am-1+…+amE.
当f(x)=x2-5x+3,时,求f(A).
7.举出反例说明下列命题是错误的.
(1)若A2=O,则A=O.
(2)若A2=A,则A=O或A=E.
.
7.设方阵A满足A2-3A-2E=O,证明A及A-2E都可逆,并用A分别表示出它们的逆矩阵.
8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:
(1)
(2).
9.对下列初等变换,写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式.
=B.
10.设,其中,,求A9.
11.设,矩阵B满足AB=A+2B,求B.
12.设,利用初等行变换求A-1.
复习题一
1.设A,B,C均为n阶矩阵,且ABC=E,则必有().
(A)ACB=E;(B)CBA=E;(C)BAC=E;(D)BCA=E.
2.设,,
,则必有().
(A)AP1P2=B;(B)AP2P1=B;(C)P1P2A=B;(D)P2P1A=B.
3.设A为阶可逆矩阵,将A的第1列与第4列交换得B,再把B的第2列与第3列交换得C,设
,,则C-1=().
(A)A-1P1P2;(B)P1A-1P2;(C)P2P1A-1;(D)P2A-1P1.
4.设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O,则下列结论中一定正确的是().
(A)A-E不可逆;(B)A-2E不可逆;(C)A-3E可逆;(D)A-E和A-2E都可逆.
5.设A=(1,2,3),B=(1,1/2,1/3),令C=ATB,求Cn.
6.证明:
如果Ak=O,则(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1,k为正整数.
7.设A,B为三阶矩阵,,且A-1BA=6A+BA,求B.
8.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,求.
9.设(),求X-1.
第2章行列式
习题
1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组
2.当x取何值时,.
3.求下列排列的逆序数:
(1)315624;
(2)13…(2n-1)24…(2n).
4.证明:
.
5.已知四阶行列式|A|中第2列元素依次为1,2,-1,3,它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0,求|A|.
6.计算下列行列式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5),其中.
7.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:
|A*|=|A|n-1,(n≥2).
8.设A,B都是三阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,且|A|=2,|B|=1,计算|-2A*B-1|.
9.设,利用公式求A-1.
复习题二
1.设A,B都是n阶可逆矩阵,其伴随矩阵分别为A*、B*,证明:
(AB)*=B*A*.
2.设,求A-1.
3.已知A1,A2,B1,B2都是3´1矩阵,设A=(A1,A2,B1,),B=(A1,A2,B2),|A|=2,|B|=3,求|A+2B|.
4.设A,B都是n阶方阵,试证:
.
第3章向量空间
习题
1.设α1=(1,-1,1)T,α2=(0,1,2)T,α3=(2,1,3)T,计算3α1-2α2+α3.
2.设α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T,α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1-x)+2(α2+x)=5(α3+x),求向量x.
3.判别下列向量组的线性相关性:
(1)α1=(-1,3,1)T,α2=(2,-6,-2)T,α3=(5,4,1)T;
(2)β1=(2,3,0)T,β2=(-1,4,0)T,β3=(0,0,2)T.
4.设β1=α1,β2=α1+α2,β3=α1+α2+a3,且向量组α1,α2,α3线性无关,证明向量组β1,β2,β3线性无关.
5.设有两个向量组α1,α2,α3和β1=α1-α2+α3,β2=α1+α2-α3,β3=-α1+α2+α3,证明这两个向量组等价.
6.求向量组α1=(1,2,-1)T,α2=(0,1,3)T,α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.
7.设α1,α2,…,αn是一组n维向量,已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示,证明:
α1,α2,…,αn线性无关.
8.设有向量组α1,α2,α3,α4,α5,其中α1,α2,α3线性无关,α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a,b,c,d均为不为零的实数),求向量组α1,α3,α4,α5的秩.
9.设矩阵A=(1,2,…,n),B=(n,n-1,…,1),求秩R(ATB).
10.设矩阵,求A的秩,并写出A的一个最高阶非零子式.
11.已知矩阵,若A的秩R(A)=2,求参数t的值.
12.设,求A的列向量组的秩,并写出它的一个极大无关组.
13.设A为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,证明:
如果A2=A,则
R(A)+R(A-E)=n.
14.已知向量空间的两组基为
和,,
求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵.
复习题三
1.设矩阵,已知A的秩为3,求k的值.
2.设向量组A:
α1,…,αs与B:
β1,…,βr,若A组线性无关且B组能由A组线性表示为(β1,…,βr)=(α1,…,αs)K,其中K为矩阵,试证:
B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.
3.设有三个n维向量组A:
α1,α2,α3;B:
α1,α2,α3,α4;C:
α1,α2,α3,α5.若A组和C组都线性无关,而B组线性相关,证明向量组α1,α2,α3,α4-α5线性无关.
4.设向量组A:
α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T和B:
β1=(-1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3=(0,1,-1)T
(1)证明:
A组和B组都是三维向量空间的基;
(2)求由A组基到B组基的过渡矩阵;
(3)已知向量α在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求α在A组基下的坐标.
第4章线性方程组
习题
1.写出方程组的矩阵表示形式及向量表示形式.
2.用克朗姆法则解下列线性方程组
其中
3.问取何值时,齐次线性方程组有非零解?
4.设有线性方程组,讨论当k为何值时,
(1)有唯一解?
(2)有无穷多解?
(3)无解?
5.求齐次线性方程组的一个基础解系.
6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量,且η1=(2,3,4,5)T,η2+η3=(1,2,3,4)T,求此方程组的的通解.
7.求下列非齐次线性方程组的通解:
8.设有向量组A:
,及向量,
问向量β能否由向量组A线性表示?
9.设η*是非齐次线性方程组AX=b的一个解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是它的导出组的一个基础解系,证明:
(1)η*,ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关;
(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,…,η*+ξn-r线性无关.
复习题四
1.设,且方程组AX=θ的解空间的维数为2,则a=.
2.设齐次线性方程组a1x1+a2x2+…+anxn=0,且a1,a2,…,an不全为零,则它的基础解系所含向量个数为.
3.设有向量组π:
α1=(a,2,10)T,α2=(-2,1,5)T,α3=(-1,1,4)T及向量β=(1,b,-1)T,问a,b为何值时,
(1)向量β不能由向量组π线性表示;
(2)向量β能由向量组π线性表示,且表示式唯一;
(3)向量β能由向量组π线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.
4.设四元齐次线性方程组
(Ⅰ) (Ⅱ)
求:
(1)方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系;
(2)方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.
5.设矩阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,向量β=α1+α2+α3+α4,求非齐次线性方程组Ax=β的通解.
6.设,,,证明三直线
相交于一点的充分必要条件是向量组线性无关,且向量组线性相关.
第5章矩阵的特征值和特征向量
习题
1.已知向量α1=(1,-1,1)T,试求两个向量α2,α3,使α1,α2,α3为R3的一组正交基.
2.设A,B都是n阶正交矩阵,证明AB也是正交矩阵.
3.设A是n阶正交矩阵,且|A|=-1,证明:
-1是A的一个特征值.
4.求矩阵的特征值和特征向量.
5.已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3,计算行列式|A3-5A2+7E|.
6.设矩阵与相似,求;并求一个正交矩阵P,使P-1AP=Λ.
7.将下列对称矩阵相似对角化:
(1)
(2).
8.设λ是可逆矩阵A的特征值,证明:
(1)是A*的特征值.
(2)当1,-2,3是3阶矩阵A的特征值时,求A*的特征值.
9.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=6,λ2=λ3=3,属于特征值λ1=6的特征向量为p1=(1,1,1)T,求矩阵A.
复习题五
1.设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 .
2.已知3阶矩阵A,A-E,E+2A都不可逆,则行列式|A+E|= .
3.设,,已知A与B相似,则a,b满足.
4.设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1=0,Aα2=2α1+,α2,则A的非零特征值为.
5.已知矩阵可相似对角化,求.
6.设矩阵A满足A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能是1或2.
7.已知p1=(1,1,-1)T是对应矩阵的特征值的一个特征向量.
(1)求参数a,b及特征值;
(2)问A能否相似对角化?
说明理由.
8.设,求φ(A)=A10-5A9.
第6章二次型
习题
1.写出下列二次型的矩阵表示形式:
2.写出对称矩阵所对应的二次型.
3.已知二次型的秩为2,求的值.
4.求一个正交变换将化成标准形.
5.用配方法将二次型化成标准形,并写出所用的可逆线性变换.
6.设二次型,若通过正交变换化成标准形,求的值.
7.判别下列二次型的正定性:
(1)
(2)
8.设为正定二次型,求的取值范围.
复习题六
1.设A为矩阵,B=λE+ATA,试证:
λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
2.设,写出以A,A-1为矩阵的二次型,并将所得两个二次型化成标准形.
3.已知二次曲面方程,通过正交变换X=PY化为椭圆柱面方程,求的值.
4.设矩阵,,其中为实数,求对角矩阵Λ,使B
与Λ相似,并讨论k为何值时,B为正定矩阵.
测试题一
一、计算题:
1.计算行列式.
2.设,,计算.
3.设、都是四阶正交矩阵,且,为的伴随矩阵,计算行列式.
4.设三阶矩阵与相似,且,计算行列式.
5.设,且的秩为2,求常数的值.
二、解答题:
6.设,其中是各不相同的数,问4维非零向量能否由线性表示?
说明理由.
7.求齐次线性方程组 的一个基础解系.
8.问取何值时,线性方程组
(1)有唯一解;
(2)有无穷多解;(3)无解.
9.已知四阶方阵=(),其中线性无关,,求方程组的通解.
10.三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3.矩阵的属于特征值1,2的特征向量分别是,,求的属于特征值3的所有特征向量,并求的一个相似变换矩阵和对角矩阵,使得.
三、证明题:
11.设,,,且线性无关,证明:
也线性无关.
12.设为实对称矩阵,且满足,证明为正定矩阵.
测试题二
一、填空题:
1、若规定自然数从小到大的次序为标准次序,则排列134782695的逆序数为;
2、已知为三阶正交矩阵,且<0,则=;
3、设方阵=,若不可逆,则;
4、设,其中,,则=;
5、“若向量组线性无关,向量组线性相关,则一定能由
线性表示”.该命题正确吗?
。
二、计算下列各题:
1、计算行列式
2、设,,且,求.
3、利用初等行变换求矩阵的秩,并写出矩阵的列向量组的一个极大线性无关组.
三、设非齐次线性方程组
(1)求它相应的齐次线性方程组的一个基础解系;
(2)求原方程组的通解.
四、求一个可逆变换将二次型化为标准形,并判别其正定性.
五、设,
问为何值时,可由线性表示,且表示式不唯一?
并说明不唯一的理由.
六、已知矩阵与相似,其中,计算行列式.
七、证明题:
1、已知,,是齐次线性方程组的一个基础解系,证明,,也是它的一个基础解系.
2、设、均为阶方阵,为阶单位矩阵,且,证明.
测试题三
一、填空题:
1.已知齐次线性方程组 有非零解,则应满足的条件是;
2.已知为三阶矩阵,且=2,则=;
3.已知两个线性变换和,则
从到的线性变换为;
4.若二次型是正定的,则
的取值范围是;
5.设为实对称矩阵,为非零向量,且,则= .
二、计算下列各题:
1.计算行列式
2.设,其中,,计算.
三、解答题:
设向量组:
,,,,
(1)求向量组的秩,并写出它的一个极大无关组;
(2)令,求方程组的通解.
四、解答或证明下列各题:
1.命题一:
“若方阵满足,则或”.
命题二:
“若方阵满足,则或”.
以上两个命题是否正确?
若正确给出证明,若不正确举例说明之.
2.设是四元非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的解空间的一组基,证明,线性无关.
五、解答题:
设矩阵
(1)求矩阵的特征值;
(2)令,求一个对角矩阵,使与相似;
(3)求以为矩阵的二次型.
测试题四
一、填空题:
1.设A=(-1,0,1),B=(1,2,3),则(ATB)6= ;
2.行列式=;
3.设四阶方阵A、B满足AB+2B+E=O,且|A+2E|=2,则|B|=;
4.设A为n阶方阵,且|A|=2,|3E-A|=0,则A的伴随矩阵A*必有一个特征值是;
5.设矩阵,已知齐次线性方程组AX=θ的解空间的维数为2,则x= .
二、选择题:
1.下列集合中不能构成向量空间的是().
(A){(x1,…,xn)T│xi∈R且x1+…+xn=1};(B){(x1,…,xn)T│xi∈R且x1+…+xn=0};(C){(0,x2,…,xn)T│xi∈R};(D){α│α=λ1α1+…+λsαs,λi∈R,αi为n维向量}.
2.设,,
则A=().
(A)Q-1BP-1;(B)P-1BQ-1;(C)QBP;(D)PBQ.
3.n(n>3)维向量α1,α2,α3线性无关的充分必要条件是().
(A)α1,α2,α3中任意两个向量线性无关;
(B)α1,α2,α3全是非零向量;
(C)对于任何一组不全为零的数k1,k2,k3,都有k1α1+k2α2+k3α3≠θ;
(D)α1,α2,α3能由单位坐标向量ε1,ε2,ε3线性表示.
4.设n阶方阵A、B满足AB=O,则下列命题中错误的是().
(A)若|A|≠0,则B=O;(B)若R(A)=r,则R(B)≤n-r;
(C)|A|、|B|中至少有一个为零;(D)若B≠O,则A=O.
5.设A是m×n矩阵,非齐次线性方程组AX=b的导出组为AX=θ.如果m<n,则()..
(A)AX=b必有无穷多解; (B)AX=b必有唯一解;
(C)AX=θ必有非零解;(D)AX=θ必有唯一解.
三、设A为三阶方阵,且|A|=3,计算行列式|(2A)-1-A*|.
四、设,求矩阵A的秩,并分别写出A的列向量组和行向量组的一个极大无关组.
五、设矩阵,且AB=2A-B,求矩阵B.
六、设向量组,,,.
已知方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4有无穷多解,求m,n的值,并求该方程组的通解.
七、设,已知3是矩阵的一个特征值.
求参数k的值;
求A-1,并写出以A-1为矩阵的二次型.
(3)计算行列式|B2-3E|,其中B与A相似.
八、设三阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1.已知属于特征值1的两个线性无关的特征向量为,,求矩阵A及A12.
九、设方程组的系数行列式det(aij)=0,而A11≠0,
证明(A11,A12,A13)T是该方程组的一个基础解系.其中Aij是元素aij的代数余子式.
复习题与测试题参考答案或提示
复习题一
1.(D).2.(C).3.(C).4.(C).
5..6.提示:
.
7..8..
9.().
复习题二
1.提示:
利用A*=|A|A-1.
2..
3.72.
4.提示:
利用.
复习题三
1.k=-3.
2.必要性利用定理3.12
(2),充分性利用定理3.7及其证明方法.
3.利用线性无关的定义及定理3.2.
4.
(1)证明A组及B组线性无关;
(2);(3)α在A组基下的坐标为(0,1,2)T.
复习题四
1.a=1.2.n-1
3.
(1)a=-4且b≠0时,不能线性表示;
(2)a≠-4时,能唯一线性表示;
(3)a=-4且b=0时,表示式不唯一,且β=kα1-(2k-1)α2+α3.
4.
(1)方程组(Ⅰ)的一组基础解系为ξ1=(-1,1,0,0)T,ξ2=(0,0,1,0)T.方程组(Ⅱ)的一组基础解系为η1=(0,1,1,0)T,
η2=(1,1,0,-1)T.
(2)公共解x=k(-1,1,2,1)T,k为任意实数.
5.利用方程组的向量表示式及解的结构,可得通解为x=k(1,-2,1,0)T+(1,1,1,1)T,k为任意实数.
复习题五
1.n,0,…0.2.1.3.a=b=0.4.A的非零特征值为1.5.x=3.
6.说明A的任意特征值的取值范围.
7.
(1)a=-3,b=0,λ=-1;
(2)A不能对角化,因为A没有3个线性无关的特征向量.
8.
复习题六
1.提示:
证明二次型xTBx正定.
2.,其标准形为
,其标准形为,.
3.a=1,b=0.
4.,时,B为正定矩阵.
测试题一
一、1..2..3.-16.4.-14.5.a=2,b=1
二、6.β能由α1,α2,α3,α4线性表示.
7.
8.当k≠1且k≠-2时,有唯一解;当k=1时,有无穷多解;当k=-2时,无解.
9.是导出组的基础解系是原方程组的特解,通解为
10.属于3的所有特征向量为kα3=k(1,0,1)T,k≠0
令,,则P-1AP=Λ.
三、12.A2-A-2E=(A+E)(A-2E)=O,所以A的特征值只能取-1或2,因此A+2E的特征值只能取1或3,故为正定矩阵.
测试题二
一、1.10.2.-1. 3.-4.4..5.正确.
二、1.Dn=n!
.2.C5=A(BTA)4B=104.3.R(A)=3,极大无关组为(1,0,2,1)T,(1,2,0,1)T,(2,1,3,0)T.
三、一个基础解系为(1,2,1,0)T,(-2,3,0,1)T,通解为x=k1(1,2,1,0)T+k2(-2,3,0,1)T+(4,-1,0,0)T
四、,矩阵为正定.
五、当a=1时,β可由α1,α2,α3线性表示,且表示式不唯一.六、-235.
测试题三
一、1.a=2或a=3.2.8.3..4.. 5.0.
二、1.(-1)n-1(n-1)an.2.A11=PΛP-1=E.
三、1.R(π)=2,π的一个最大无关组为α1,α3.
2.基础解系为ξ1=(1,1,0,0)T,ξ2=(1,0,2,1)T,特解为η=(1,0,1,0)T,通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η.
四、1.命题一不正确.例如:
,但A≠O且A≠E.
命题二正确.证明:
由A(A-E)=O,可得|A||A-E|=0,所以|A|=0或|A-E|=0
五.
(1)λ1=λ2=1,λ3=3,λ4=-1.
(2)B的特征值为2,2,6,6.,则B与Λ相似.
(3),
测试题四
一.1..2.ab(b-a)(a-1)(b-1).3.1/2.4.2/3.5.-1.
二.1.(A).2.(B).3.(C).4.(D).5.(C).三.∣(2A)-1-A*∣=-(125/24).
四.R(A)=2,A的列向量组的一个极大无关组为(2,1,1,-2)T,(3,2,-1,-4)T;A的行向量组的一个极大无关组为(2,3,0,-1)T,(1,2,1,-2)T
五.B=2(A+E)-1A=.六.m=-1,n=7,基础解系ξ=(-1,0,1)T,特解η*=(-3,1,0)T,通解x=kξ+η*.
七.
(1)k=2.
(2),f=xTA-1x=
(3)A的特征值为1,1,-1,3,B2-2E的特征值为–2,-2,-2,6.∣B2-3E∣=-48.
八.α3=(-2,2,1)T,令,则P-1AP=Λ.
A=PΛP-1=PΛPT=,A12=PΛ12P-1=PEP-1=E.
九.由det(aij)=0,A11≠0知方程组的系数矩阵的秩为2,因此方程组的基础解系只含一个非零解向量。
由行列式的按行展开定理知
a11A11+a12A12+a13A13=det(aij)=0,a21A11+a22A12+a23A13=0,a31A11+a32A12+a33A13=0,
又A11≠0,因此(A11,A12,A13)T是该方程组的一个非零解向量,即为该方程组的一个基础解系.
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