推荐学习版高考数学一轮总复习第章三角函数解三角形解三角形的应用举例模拟演练理.docx
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推荐学习版高考数学一轮总复习第章三角函数解三角形解三角形的应用举例模拟演练理
推荐学习版高考数学一轮总复习第章三角函数解三角形.解三角形的应用举例模拟演练理
———————————————————————————————— 作者:
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2018版高考数学一轮总复习 第3章三角函数、解三角形3.7 解三角形的应用举例模拟演练理
[A级基础达标](时间:
40分钟)
1.[2017·武汉模拟]海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC=( )
A.10
nmileﻩB.
nmile
C.5
n mile D.5
nmile
答案 D
解析由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得
=
,所以BC=5
.
2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.a kmﻩB.akm
C.
akmﻩD.2a km
答案 B
解析在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2a2cos120°=3a2,故|AB|=a.
3.[2017·江汉模拟]某工程中要将一坡长为100m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高度不变,则坡底需加长( )
A.100
mB.100
m
C.50(
+
)mﻩD.200m
答案A
解析 设坡底需加长xm,由正弦定理得=
,解得x=100
.
4.[2017·临沂质检]在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°,则塔高为( )
A.
mﻩB.m
C.
mﻩD.
m
答案 A
解析如图,由已知可得∠BAC=30°,∠CAD=30°,
∴∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠ADC=120°,又AB=200,∴AC=
.
在△ACD中,由正弦定理,得
=
,即DC==
(m).
5.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为()
A.8km/hB.6
km/h
C.2
km/h D.10km/h
答案 B
解析设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sinθ=
=,从而cosθ=,所以由余弦定理得
2=2+12-2××2×1×,解得v=6
.
6.[2017·莆田模拟]甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东________(填角度)的方向前进.
答案 30°
解析 设两船在C处相遇,则由题意∠ABC=180°-60°=120°,且
=
,由正弦定理得
=
=⇒sin∠BAC=
.又0°<∠BAC<60°,所以∠BAC=30°,60°-30°=30°.
7.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站C北偏东30°方向,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A、B间的距离为______米.
答案700
解析由题意,△ABC中,AC=300,BC=500,∠ACB=120°,利用余弦定理可得,AB2=3002+5002-2×300×500×cos120°,
∴AB=700.
8.[2014·四川高考]如图所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:
sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,
≈1.73)
答案60
解析AC=2×46=92,AB=
在△ABC中,由正弦定理可知:
=,∴BC=
≈60.
9.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B望对岸的标记物C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=120米,求河的宽度.
解 在△ABC中,∵∠CAB=45°,∠CBA=75°,∴∠ACB=60°.
由正弦定理可得AC=
∴AC=
=20(3
+).
设C到AB的距离为CD,则
CD=ACsin∠CAB=
AC=20(+3).
∴河的宽度为20(+3)米.
10.[2017·山西监测]如图,点A,B,C在同一水平面上,AC=4,CB=6.现要在点C处搭建一个观测站CD,点D在顶端.
(1)原计划CD为铅垂线方向,α=45°,求CD的长;
(2)搭建完成后,发现CD与铅垂线方向有偏差,并测得β=30°,α=53°,求CD2.(结果精确到1)
(本题参考数据:
sin97°≈1,cos53°≈0.6)
解 (1)∵CD为铅垂线方向,点D在顶端,∴CD⊥AB.
又∵α=45°,∴CD=AC=4.
(2)在△ABD中,α+β=53°+30°=83°,AB=AC+CB=4+6=10,∴∠ADB=180°-83°=97°,
∴由
=
得AD===≈5.
在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD·ACcosα=52+42-2×5×4×cos53°≈17.
[B级知能提升](时间:
20分钟)
11.[2017·天津模拟]一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )
A.10 海里 B.10
海里
C.20 海里ﻩD.20 海里
答案A
解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得
=,解得BC=10(海里).
12. 某观察站B在A城的南偏西20°的方向,由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路骑车以40km/h的速度向A城驶去,行驶了15min后到达D处,此时测得B与D之间的距离为8
km,则此人到达A城还需要( )
A.40minB.42 minC.48minD.60min
答案 C
解析 由题意可知,CD=40×
=10.
cos∠BDC==-
∴cos∠ADB=cos(π-∠BDC)=,
∴sin∠ABD=sin[π-(∠ADB+∠BAD)]=.
在△ABD中,由正弦定理得
=,
∴
=
∴AD=32,∴所需时间t=
=0.8h,
∴此人还需要0.8h即48min到达A城.
13.[2017·西安模拟]如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为______m.(取
=1.4,
=1.7)
答案 2650
解析如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,
∴∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).
又在△ABC中,=
,
∴BC=
×sin15°=10500(
-
)(m).
∵CD⊥AD,∴CD=BC·sin∠DBC=10500(-)×
=10500(
-1)=7350(m).
故山顶的海拔高度h=10000-7350=2650(m).
14.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦察艇以每小时14 nmile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
解如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,
则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.
根据余弦定理得
(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,
解得x=2.故AC=28,BC=20.
根据正弦定理,得
=
,解得sinα=
=
.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.
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