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模糊数学原理及其应用
模糊数学原理及其应用
模糊数学原理及其应用
摘要
1.模糊集的定义
2.回归方程
3.隶属函数的确定方法
3.1隶属函数
3.2隶属度
3.3最大隶属原则
4.模糊关系与模糊矩阵
5.应用案例——模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用
5.1研究的目的
5.2国外研究情况
5.2.1
5.2.2
5.3国内研究情况
5.3.1
5.3.2
5.4研究的意义
6,小结与展望
参考文献
摘要:
文章给出了模糊集的定义,对回归方程式做了一定的介绍
并且介绍了隶属函数,隶属度,隶属度原则,以及模糊关系与模
糊矩阵的联系与区别。
本文给出了一个案例,是一个关于模糊关系方程在土壤侵
蚀预报中的应用,本文提出针对影响侵蚀的各个因素进行比较,
找出影响最大的一项因子进行分析应用。
关键字模糊数学回归方程隶属函数模糊关系与模糊矩阵
1.模糊集
1).模糊集的定义
模糊集的基本思想是把经典集合中的绝对隶属函数关系灵活化,用特征函数的语言来讲就是:
元素对“集合”的隶属度不再是局限于0或1,而是可以取从0到1的任一数值。
定义一
如果X是对象x的集合,贝UX的模糊集合A:
A={(X,A(x))IXx}
-A(x)称为模糊集合A的隶属函数(简写为MFX称为论域或域。
定义二
设给定论域U,U在闭区间[0,1]的任一映射
JA:
U>[0,1]
A(x),xU
可确定U的一个模糊子集A。
模糊子集也简称为模糊集。
JA(x)称为模糊集合A是隶属函数(简写为MF。
2).模糊集的特征
一元素是否属于某集合,不能简单的用“是”或“否”来回答,这里有一
个渐变的过程。
[1]
3).模糊集的论域
1>离散形式(有序或无序):
举例:
X={上海,北京,天津,西安}为城市的集合,模糊集合C=“对城市的爱好”可以表示为:
C={(上海,0.8)(北京,0.9)(天津,0.7)(西安,0.6)}
又:
X={0,1,2,3,4,5,6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合,模糊集合C=“合
适的可拥有的自行车数目的集合”
C={(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),
(6,0.1)}
2>连续形式
令x=R为人类年龄的集合,
模糊集合A=“年龄在50岁左右”则表示为:
A={x,」A(X),xX}
式中」A(x)
2.回归方程
1>回归方程
回归方程是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。
指具有相关的随机变量和固定变量之间关系的方程。
回归直线方程
若:
在一组具有相关关系的变量的数据(x与Y)间,通过散点图我们可观察
出所有数据点都分布在一条直线附近,这样的直线可以画出许多条,而我们希望其
中的一条最好地反映x与Y之间的关系,即我们要找出一条直线,使这条直线最贴近”已知的数据点,记此直线方程为(如右所示,记为①式)
2,……,6)时,Y相应的观察值为yi,而直线上对应于xi的纵坐标是
①式叫做Y对x的
回归直线方程,相应的直线叫做回归直线,b叫做回归系数。
要确定回归直线方程①,只要确定a与回归系数b。
2>最小二乘法
用各个离差的平方和M=2(i=1到n)[yi-(axi+b)F2最小来保证每个离差的绝对值都很小。
解方程组?
M/?
a=O;?
M/?
b=O,整理得(工xiA2)a+(工xi)b=》xiy(工xi)a+nb=工yi解出a,b。
在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,yi、
x2,y2...xm,ym);将这些数据描绘在x-y直角坐标系中,若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计=a0+a1X(式1-1)
其中:
a0、a1是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和al,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式
1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔刀(Yi-Y计)2〕最小为优化判据”。
令:
$=刀(YY计)2(式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
$=刀(Yia0-alXi)2(式1-3)
当刀(Y-Y计)平方最小时,可用函数$对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。
(式1-4)
(式1-5)
亦即:
ma0+(刀Xi)a1=刀式(1-6)
(刀Xi)a0+(刀Xi2)a1=刀(Xi,式i)1⑺
得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出:
a0=(刀Yi)/m-a1(刀Xi)/m(式1-8)
a1=[n刀XiYi-(刀Xi刀Yi)]/[n另Xi込Xi)2)](式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即:
数学模型。
在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1,y1、x2,
y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R'统计量“F,”剩余标准偏差“S”行
判断;“R”趋近于1越好;“F勺绝对值越大越好;“S”趋近于0越好。
R=[刀XiYi-m(刀Xi/m)(刀Yi/m)]/SQR{[EXifi(刀Xi/m)2][刀Y-2m(刀Yi/m)2]}
(式1-10)*
在(式1-1)中,m为样本容量,即实验次数;Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。
[2]
最小二乘法公式
刀(X-X平)(Y--Y平)=刀(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=刀XY-X平EY--Y平刀X+nX平Y平=刀XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=刀XY-nX平Y平刀(X--X平)A2=E(XA2--2XX平+X平A2)=EXA2--2nX平A2+nX平A2=EXA2-nX平A2
3.隶属函数的确定方法
3.1隶属函数
隶属函数,用于表征模糊集合的数学工具。
对于普通集合A,它可以理解为
某个论域U上的一个子集。
为了描述论域U中任一元素u是否属于集合A,通常可以用0或1标志。
用0表示u不属于A,而用1表示属于A,从而得到了U上的一个二值函数xA(u),它表征了U的元素u对普通集合的从属关系,通常称为A的特征函数,为了描述元素u对U上的一个模糊集合的隶属关系,由于这种关系的不分明性,它将用从区间[0,1]中所取的数值代替0,1这两值来描述,记为(u),数值(u)表示元素隶属于模糊集的程度,论域U上的函
数卩即为模糊集的隶属函数,而(u)即为u对的隶属度
3.2隶属度
隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。
隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。
隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。
对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
下面介绍几种常用的方法。
(1)模糊统计法:
模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素vo是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A3作出清晰的判断。
对于不同的试验者,清晰集合A3可以有不同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。
模糊统计法的计算步骤是:
在每次统计中,vo是固定的,A3的值是可变的,作n次试验,其模糊统计可按下式进行计算
v0对A的隶属频率=v0€A的次数/试验总次数n
随着n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定值就是vo对A的隶属度值。
这种方法较直观地反映了模糊概念中的隶属程度,但其计算量相当大。
(2)例证法:
例证法的主要思想是从已知有限个yA的值,来估计论域U上的模糊子集A的隶属函
数。
如论域U代表全体人类,A是高个子的人”。
显然A是一个模糊子集。
为了确定卩A,
先确定一个高度值h,然后选定几个语言真值(即一句话的真实程度)中的一个来回答某人是否算高个子”。
如语言真值可分为真的”、大致真的”、似真似假”、大致假的”和假的”五种情况,并且分别用数字1、0.75、0.5、0.25、0来表示这些语言真值。
对n个不同高度hl、
h2、…、hn都作同样的询问,即可以得到A的隶属度函数的离散表示。
(3)专家经验法:
专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数值来确定隶
属函数的一种方法。
在许多情况下,经常是初步确定粗略的隶属函数,然后再通过学习”和实践检验逐步修改和完善,而实际效果正是检验和调整隶属函数的依据。
(4)二元对比排序法:
二元对比排序法是一种较实用的确定隶属度函数的方法。
它通过对多个
事物之间的两两对比来确定某种特征下的顺序,由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大体形状。
二元对比排序法根据对比测度不同,可分为相对比较法、对比平均法、优先关系定序法和相似优先对比法等
例1
A(x)=表示模糊集年老”的隶属函数,A表示模糊集年老”,当年龄x<50时A(x)=0表明x不属于模糊集A(即年老”),当x>10(时,A(x)=1表明x完全属于A,当50 这样的表达方法显然比简单地说: “10(岁以 上的人是年老的,100岁以下的人就不年老。 ”更为合理。 3.3最大隶属原则 最大隶属度原则I设A,A2,,,AnF(U)构成了一个标准模型库,若对 任一X0・U,有i{1,2,,,,n}使得 Ai(x0)=V 4.模糊关系与模糊矩阵 1.>模糊关系 论域(直积空间)XXY={(「,T卜€X,■€丫}中的模糊关系就是XXY中的模糊集的隶属函数[303-01]"]「「在实轴闭区间[0,1]上取 值,[303-01*1';的大小反映元素■与之间的关联程度。 一般,X= X1XX2X-XX中的-•项模糊关系,是X1XX2X-XX中的模糊集,它的隶属函数用[303-02]ru表示/€X*=1,2,…,。 模糊关系是普通关系的拓广。 普通关系描述事物之间是否有关联,而模糊关系则描述事物之间关联程度的多少。 L.A.扎德将模糊关系应用于输入、输出和状态间有模糊关系的模糊系统中。 模糊关系还应用于有限自动机、算法、语言学等方面。 模糊矩阵和模糊关系图设X={'1,'2,…,、}和丫={11,2,…,'}是有限论域,则X,Y的模糊关系可用/X矩阵R表示: (叼小)“g(叼,兀)■■■门£(叼"胖)、"凰(可”1)“£(巧汀2)…卩杳Sd 的模糊矩阵。 模糊矩阵还可以用相应的图来表示,称为模糊关系图(见图[模糊 模糊关系的性质XX上的模糊关系有下述运算性质: 两个模糊关系与,如果对任何的(,I)€XXY都有[303-50]•…,则称是的补 集。 两个模糊关系1与2的并1U2,是指对任何的(,1)€XXY都有 “盘山也(尤"2畑】(工川)V”舫(塢y)'士一亠,「亓 [303-51],其中“V;”表示在[,;中取 较大者。 两个模糊关系1与2的交1A2,是指对任何的(,)€XXY都有 血1门女(兀")=“釘(兀,y)八#驰(圮y)甘舟刀人卫”士一*左卫舟怖―[303-07],其中: “人: ”表示在[,;中取较 小者。 两个模糊关系与(,如果对任何的(,)€XXY,都有 [303-05]"'一‘川,则称(是的逆转关系,又称倒置关系。 模糊关系称为恒等关系,是指当且仅当对任何的 1(当x=y时) 1)€XXY都有 (,)€XXY,都有 0(当工丰马时) V 中,[303-540]表示对所有|€Y求[]中的最大值,人表示求其前后两项中的最 小值。 XXX上的二元模糊关系具有自反性、对称性、反对称性和传递性。 //p(x,r)=1自反性是指对任何的'€X,都有[303-12]、。 对称性是指对任何的(/)€XXX,都有[303-55][303-56]' .■"氏(工")円%⑶龙) 反对称性是指对任何的(,1)€XXX,[303-57]、[303-58]'的 充分必要条件是[303-15]; 传递性是指对任何的(,),(,),(,)€XXX,都有 fiR(x9z)^V[/iA(x,y)AP^(y^)] [303-16]。 模糊相似关系和模糊等价关系若XXX上的模糊关系满足自反性与对称性, 则称为X的一个模糊相似关系,又称模糊相容关系。 [303-01]‘I"'表示「与对于模糊关系的相似程度。 当X为有限集时,模糊相似关系可用一个主对角线元素为1的对称模糊矩阵来表示。 若XXX上的模糊关系满足自反性、对称性 和传递性,则称为X的一个模糊等价关系。 模糊相似关系和模糊等价关系是模糊聚类分析和模糊综合评判的基本数学工具。 [3] 模糊关系方程在模式识别、综合评判等方面经常遇到模糊关系方程的问题。 2.>模糊矩阵 5.应用案例模糊关系方程在土壤侵蚀 预报中的应用 5.1研究的目的 土壤侵蚀是人们普遍关注的生态环境问题之一。 土壤侵蚀预报是有效监测水 土流失和评估水保措施效益的手段,侵蚀模型则是进行土壤流失监测和预报的重 要工具。 自20世纪60年代以来,国内外已经开发出许多适用的土壤侵蚀预报措 施,利用水文学,水力学,土壤学,河流泥沙动力学以及其他相关学科的基本原理,根据已知降雨,径流条件来描述土壤侵蚀产沙过程,从而预报在给定时段内 的土壤侵蚀量。 [4] 5.2国外研究情况 目前土壤侵蚀预报主要有两种方法: 一种是利用美国提出的通用流失预报方程;另一种是通过建立回归方程式进行侵蚀量预报。 这两种方法都是将侵蚀因子与侵蚀量的关系,看作精确的数量关系。 但事实上,土壤的发生和侵蚀都是非常复杂的过程,涉及面广,影响因子 多,侵蚀因子的不同强度之间、不同侵蚀程度的侵蚀量之间存在着明显的模糊关系。 5.3国内研究情况 5.3.1 5.3.2 5.4研究的意义 6,小结与展望 参考文献 [1]模糊数学及其应用李安贵张志宏孟艳顾春编著——2版。 ——北京: 冶金工业出版社,2005.8 [2]NONLINEREGRESSIONANALYSISANDITSAPPLICATIONS,DouglasM.batesandDonaldG.Watts,韦博成万方焕朱 宏图译中国统计出版社1997.9 [3]模糊数学及其应用梁保松曹殿立著 科学出版社 [4]黄土高原小流域侵蚀产沙过程与模拟蔡强国王贵平陈永宗著科学出版社1998
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