初中中考数学几何压轴题汇编docx.docx
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初中中考数学几何压轴题汇编docx
中考28汇编
1.如图,在四边ABCD中,BC=DC,∠BAD+∠BCD=180°,AC⊥BC,O是AB的中点
(1)如图1,求证:
∠OCD=∠OBC
(2)
如图2,E是AC上一点,连接
OE并延长交AD于点F,连接BD,分别交AC、OC于点M、N,
若∠FOC=3∠CBD,DM
6BN
,试探究线段OE和EF之间的数量关系,并证明你的结论。
7
D
D
F
C
C
M
E
N
A
O
B
A
O
B
(图1)
(图2)
2.△ABC,∠ACB=90°,点D在BC上,点E在AD上,∠CEB=90°,∠CED=∠CBA,CE的延长线交
AB于点F,连接DF。
(1)如图1,求证:
∠EFD=∠DBE;
(2)如图2,若cosCAB
2
3
,DF与BE交于点G,猜想GF与DB之间的数量关系并证明。
CC
DD
EE
G
AFBAFB
(图1)(图2)
3.已知,如图1,等腰直角△ABC中,AC=BC,等腰直角△CDE中,CD=DE,AD∥BC,CE与AB相交
于点F,AB与CD相交于点O,连接BE
(1)
求证:
F为CE中点;
(2)
如图2,过点D作DG⊥BE于G,连接AE交DG于点H,连接HF,请探究线段
HF与BC之间
的数量及位置关系,并证明你的结论。
AD
AD
O
H
O
E
E
F
FG
CB
CB
(图2)
(图1)
4如图在四边形ABCD中,连结BD、AC相交于F,AB=BC,AD=DE=DC,∠ABC+∠EDC=180°,且
AD2AEAB。
(1)如图1,求证:
∠ADE=2∠DCA;
(2)如图2,过点B作BH⊥CD于点H,交AC于点G,连结EC交BD于点P,交BH于点Q,若
tanACD1,试探究线段PE与PQ之间的数量关系,并证明你的结论。
3
A
A
E
D
D
E
F
F
P
GH
Q
B
C
C
B
(图1)
(图2)
5.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sinB
4
,作CH⊥AB于点H,D、K分别为边AB、AC上的点,连
5
接CD、DK,在射线DK上取一点E,使∠DCE=∠B,且4BCCK
CDCE。
5
(1)
如图,求证:
∠CED=90°;
(2)
连接AE并延长交直线
BC于点G,探究线段BC、BG、DH之间的数量关系,并证明你的结论。
A
A
A
H
K
H
E
H
D
B
C
B
C
B
C
备用图
(1)问图
备用图
6.如图,等腰△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,连接AD,点E在直线AC上,直线DE交直线BA于点F,且∠BDA=∠CDE
(1)求证:
BFCEAB2;
(2)当∠BAC=120°时,作射线CF,在射线CF上确定一点G,使∠BGC=∠ABC,直线BG交直线
AC于H,请你猜想AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系,并且证明你的猜想。
FF
AA
EE
BDCBDC
备用图1
F
A
E
BDC
备用图2
7.已知,△ABC中,sinA
4
,点D为AB中点,点E、F分别是射线AC、CB上的点,连接DE、
5
EF、DF,∠EDF=90°,∠A=∠EFD
(1)求证:
∠ACB=90°;
(2)若点D关于EF的对称点为N,连接CN,过点F作FH⊥CN交直线CN于点H,试探究CE、CN、
FH三者之间的关系,并证明你的结论。
C
C
E
E
F
F
B
BAD
AD
备用图
8.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点M,AC平分∠BAD,∠ABD的角平分线交AC于点E,∠CBD=∠CAD,点A关于直线BE的对称点F在BD上,连接AF。
(1)如图①,求证:
∠BCE=2∠CAF;
(2)如图②,过C作BD的垂线分别交BD、BE于点P、G,过E作AB的垂线交AB于点H,若∠BCE=4∠GCE,BE=3AE,BH:
BD15:
22,试探究线段BD、CG、DF之间的数量关系,并证
明你的结论。
AA
H
EEG
BMFDBPMFD
CC
图1图2
9.在△ABC与△ADE中,点E在BC边上,AD4AE,AG为△ADE的中线,且∠EAG=∠ACB,
5
∠DAG=∠B
(1)如图1,求证:
AB4AC;
5
(2)
如图2,点F是AC中点,连接
DF,∠AFD=∠DAE,连接CD并延长交AB于点K,过点D作
DQ∥BC交BK于点Q,①求证:
点
Q为BK的中点;②试探究线段
BE与DQ的数量关系,并
证明你的结论。
A
A
K
F
G
D
Q
G
D
B
E
C
B
E
C
图1
图2
10.如图,△ABC中,∠CAB=45°,点D在△ABC内部,∠ADC=135°,点E在△ABC外部,EA=EB,DE平分∠ADB
(1)如图1,求证∠DBA=∠ACD;
(2)如图2,若CB⊥AB,猜想线段CD与AC之间的数量关系并证明。
CC
D
D
AB
AB
E
E
图2
图1
11.△ABC中,AB=AC,D是
BC边上一点,连接
AD,E为△ABC外一点,连接
DE、AE和
BE,AD=DE,
BE∥AC。
(1)如图
(2)如图
1,求证:
∠
2,当D为
BED=∠DAB;BC中点时,作
DF⊥AC于
F,连接
BF交
DE于点
H,作
AK⊥BF分别交
BF、
DF于点G、K,AF=4DK,试探究线段DH和AE之间的数量关系,并证明你的结论。
A
A
E
E
BDC
GF
HK
BDC
12.△ABC,点D在AB上,AD=AC,连接CD,点E、F分别在线段BC、射线CA上,∠EDF=∠ACB,点G在DF上,DGBCADDE
(1)如图,求证:
∠DGE=∠BAC;
(2)若AD=3BD,cosBAC
7
8
,射线CG交AB于点H,探究线段DH,FA,FC之间的数量关系,
并证明你的结论。
C
C
C
F
E
G
A
DBA
DBA
DB
(1)问图
备用图
备用图
13.如图,在△ABC中,AC3BC,点D在AB边上,∠ADC=∠ACB,BC2BDBA
(1)求证:
∠A=30°;
(2)点E在线段AB上,连接CE,把射线EC绕点E顺时针针旋转30°,所得射线与过点C且垂直EC的直线相交于点F,取EF的中点G,连接BG并延长,交射线AC于点H,请探究线段CH、CD、BE之间的数量关系,并证明你的结论。
CC
ADBADB
备用图
C
ADB
备用图
14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,tan∠ABC=2,BD为AC边上的中线,点F在线段BD上,且DF=2BF,连接CF并延长,交AB边于点E
(1)求证:
∠CEA=90°;
(
2)点P在线段CA上,过点P作PH∥CE,交线段AB于点G,交射线BD于点H,请探究线段PC、PD、GH之间的数量关系,并证明你的结论。
B
B
E
E
F
F
CDACDA
备用图
15.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC边于点D,CE平分∠ACB,交AB边于点E,BD与CE
交于点F,且CFCECDCA
(1)求证:
∠A=60°;
(2)
点G在射线AF上,点H在线段AC上,GH⊥AC,若FC=3DF,请探究线段
AG、DH、EF之间
的数量关系,并证明你的结论。
A
A
D
D
E
E
F
F
BCBC
备用图
16.如图,在△ABC是中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在射线AC上,点E在线段BD上,点F是线段
AB的中点,连接EF,且2BF2BEBD
(
1)求证:
∠BEF=45°;
(2)
过点A作AH⊥BD,垂足为点H,连接HC,延长FE,交HC于点G,请探究线段
GE、EF、BH
之间的数量关系,并证明你的结论。
D
C
C
E
AFBAB
备用图
17.已知:
正方形ABCD中,点E在射线BC上,作射线DE,其中0°<∠CDE<45°,过点B作DE的垂线分别交射线DC、射线DE于点F、H,作射线AE交射线DC于点G
(1)如图,求证:
CFGE;
ABAG
(2)作射线AC交射线BF于点Q,点P是线段AG上不与点A、G重合的一点,连接CP、PQ、GH,若∠CPQ=∠GHQ+∠CED,探究线段PQ、PC、PG之间的数量关系,并证明你的结论。
ADAD
H
F
G
B
C
E
B
C
(1)
问图
备用图
18.如图,在△ABC中,∠ABC=120°,AB=CB,BH⊥AC于H,D是射线BH上一点,连接AD,以点A
为旋转中心,将射线AD顺时针旋转1ABH,交射线BH于E,在射线AE上取一点F,连接FC,点
2
D在AF的垂直平分线上
(1)如图1,求证:
∠BCF=90°;
(2)连接BF,取BF的中点G,连接DG,探究线段FC、DG、BH三条线段间的数量关系,并证明
你的结论。
AAA
E
DHBHBHB
F
C
C
C
图1
备用图
备用图
19.已知△ABC为等边三角形,点D为AB边的中点,点E在过B点且平行于AC的直线上,点F在射
线
DA上,连接EF、CF、CE,EF=CF
(1)如图,求证:
△CEF为等边三角形;
(2)将线段CE沿着线段CF翻折,交过
D点且平行于
BC的直线于点
G,请探究线段
BE、DG、AB之
间的数量关系,并证明你的结论。
A
A
A
F
D
BCBCBC
E
(1)问图
备用图
备用图
20.如图,在正方形ABCD中,点E在AD边上,点F在BC边的下方,且∠BCF=45°,CF2AE,
连接AF,交线段BE于点G,交BC边于点H
(1)求证:
∠AGE=45°;
(2)过点G作GM⊥AN,交直线CD于点M,请探究线段BN、DM和AB之间的数量关系,并证明你的结论。
AEDADAD
G
BCBC
BNC
备用图备用图
F
1.证明:
(1)过点C作CT⊥AB于点T,CR⊥AD,交AD延长线于点R,∴∠CRD=∠CTB=90°
设∠BAC=a,∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°∠B=90°—a又∵O是AB的中点,∴OC=OB=OA,∴∠OCA=a,∠OCB=90°—a∵∠BAD+∠BCD=180°,∴∠B+∠ADC=180°,
∵∠ADC+∠CDR=180°,∴∠CDR=∠B=90°—a∵CD=CB,∴△CRD≌△CTB,∴CR=CT,∴∠CAR=∠CAB=a∴∠CAR=∠ACO=a∴AD∥OC,∴∠OCD+∠ADC=180°,∵∠OBC+∠ADC=180°,∴∠OCD=∠OBC
(2)线段OE与EF之间的数量关系是:
EF
11
EO
10
连接OD交AC于点H,过点D作DL∥AB交AC延长线于点L
∴∠L=∠LAB=∠DAL,
∠LDB=∠DBA,∴DL=DA,△MDL∽△MBA,∴MD
LD
AD
∵∠BAD=2a,
MB
AB
AB
∴∠BCD=180°2a∵CD=CB,∴∠CDB=∠CBD=a
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=∠OCD
∴OC⊥BD,BN=DN,∴OD=OB=OC=OA∴∠ODA=∠OAD=2a,由
(1)AD∥OC,∴∠DOC=∠ODA=2a,∠BOC=∠OAD=2a,∵∠FOC=3∠CBD=3a,∠FOD=a,
∴∠FOD=∠HCO=a∴△OFD≌△CHO,∴FD=OH
设BN=7k,∵DM
6BN,∴DM=6k
MN=k,∴BM=8k∴MD
AD
AD
6k
3,∴AD
3
7
∵∠DAC=∠OCA,
MB
AB
2OC
8k
4
OC
2
∠AHD=∠CHO,∴△HAD∽△HCO
∴AD
DH
3
设AD=3m,则OA=OC=OD=2m,
OC
OH
2
∴OH
4m,∴FD
4m,∴AFAD
FD
3m
4m
11m
∵∠OCA=∠DAC,
5
5
5
5
∠FEA=∠OEC,∴△AEF∽△CEO∴EF
AF
11m
11
5
EO
OC
2m
10
R
DR
DL
CF
C
M
HN
E
AOTB
AOTB
2.证明:
(1)∵∠CED=∠CBA
∠ECD=∠BCF
EC
CD
∴△ECD∽△BCF∴
CF
BC
∵∠FCD=∠BCE∴△ECB∽△DCF
∴∠EFD=∠DBE;
(2)BD
5GF
延长BE交AC于点H
∵∠CEB=90°,∠HCB=90°,
∴∠HCE+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90°∴∠HCE=∠HBC
∵∠CHE=∠BHC∴△HCE∽△HBC∴
HC
HE
∴HC2
HE
HB
∵∠EFD=∠DBE=∠ECH∴FD∥AC∴∠HAE=∠FDE
HB
HC
∵∠FDE+∠EFD=∠CED
∠FBG+∠EBD=∠CBA
∴∠FDE=∠EBF∴∠HAE=∠EBF
∵∠EHA=∠AHB
∴△HAE∽△HBA∴HA
HE
∴HA2
HEHB
∴HC=AH
HB
HA
∵DF∥HC∴△DGB∽△CHB∴DG
GB
同理FG
GB
∴DG
FG
∴DG=FG
CH
HB
AH
HB
CH
AH
由△DGB∽△CHB得DB
DG
∴DB
CB
CB
CH
DG
CH
∴DB
CB
∴∠ACB=90°cosCAB
2
设AC=2k则AB=3k∴BC
5k
GF
CH
3
CH
1AC
k
∴BC
5
∴DB
5
∴BD
5GF
2
CH
GF
C
D
HE
G
AFB
3.证明:
(1)连接DF∵AD∥BC∴∠DAO=∠ABC=45°又∵∠DCF=45°,∴∠DAO=∠DCF
又∵∠AOD=∠COB∴△AOD∽△COF∴AO
OD
∴OA
OC
又∵∠AOC=∠DOF
CO
OF
OD
OF
∴△AOC∽△DOF∴∠CAO=∠CDF=45°∴∠CFD=90°,又∵CD=DE
∴CF=EF
(2)过C作CE的垂线交ED的延长线于K,连接KA
可证△EBC≌△KAC∴CE=CK
∠CKA=∠CEB∴∠CKD=45°,即∠CEB+∠AKD=45°又∵DG⊥BE∴∠DGE=90°∴∠DEG+∠DGE=90°又∵∠DEC=45°∴∠EDG+∠BEC=45°∴∠AKD=∠GDE
∴DH∥AK∴ED
EH
∴EH=EA∴HF∥AC,HF
1AC
又∵BC=AC
DK
HA
2
∴HF
1BC延长HF交BC于点N,∵HN∥AC,AC⊥BC
∴∠ACB=∠HNB=90°
2
∴HF⊥BC
K
AD
H
O
E
FG
CB
4.证明
(1)过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N∴∠DME=∠DNC=90°
∵∠ABC+∠EDC=180°∴∠BED+∠BCD=360°—180°=180°∵∠BED+∠AED=180°
∴∠AED=∠BCD
∵AD=DE=DC
∴∠ADM=∠EDM
∴∠ADE=2∠MDE
∴△DME≌△DNC(AAS)
∴DM=DN
∠MDE=∠NDC
∴BD平分∠ABC
∵AD2
AEAB
∴
AD
AB
∵∠EAD=∠BAD
∴△AED∽△ADB
AE
AD
∴∠AED=∠ADB=∠EAD∴∠ACD=∠NDC=∠MDE
∴AB=BD=BC∴AC⊥BD
∴∠ADE=2∠DCA
∠BDC=∠BCD
(2)
PE
8
由
(1)得:
∠
ABD=∠CBD
∵DE=DC
∴∠DEC=∠DCE
PQ
5
∵∠ABD+∠CBD+∠EDC=180°∠DEC+∠DCE+∠EDC=180°∴∠ABD=∠CBD=∠DEC=∠DCE∵BD=BCBH⊥CD∴∠DBC=2∠DBH∵AC⊥BD∴∠DBH+∠BDC=90°∠DCF+∠BDC=90°∴∠DBH=∠DCF∵∠ADE=2∠DCF∴∠DCE=2∠DCF∴∠DCF=∠FCP∴∠FPC=∠FDC
GH1
∴PC=DC∴PF=DF=AM=EM∵在Rt△GHC中,tanACD
CH3
∴设GH=k则CH=DH=3k
∴CD=DE=CP=6k在Rt△CHG中GC
CH2
GH2
10k
∵∠D
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