冀教版八年级上册数学151《二次根式》教学设计.docx

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冀教版八年级上册数学151《二次根式》教学设计

《二次根式》

本节课主要学习二次根式的概念和性质，是在算术平方根的基础上对式子的一种再研究，再认识，是整式知识的发展，对后续学习二次根式的运算，研究计算的本质有着重要的作用，是学习方程，函数的必备知识，因此起承上启下的作用. 

【知识与能力目标】

1.了解二次根式、最简二次根式的概念.

2.了解

（其中a≥0）

的意义.

3.理解二次根式的性质.

【过程与方法目标】

1.体验研究数学问题的常用方法:

由特殊到一般,由简单到复杂.

2.经历二次根式概念的形成过程,体会用类比的思想研究二次根式及其性质.

【情感态度价值观目标】

1.为学生创造操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程.

2.鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑,激发学生应用数学的热情.

3.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.

【教学重点】　二次根式的概念与性质.

【教学难点】　二次根式基本性质的灵活应用.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　复习平方根与算术平方根的知识.

教学过程

新课导入

导入一:

1.回顾:

什么叫平方根?

什么叫算术平方根?

2.【课件1】　填空.

（1）的平方根是　　　　; 

（2）一个圆的面积为S,这个圆的半径是　　　　; 

（3）若正方形的面积为a-4,则边长为　　　　. 

学生思考并回答.

3.提问:

你能发现它们有什么共同的特征吗?

学生观察,总结共同特征并表述意见.

[设计意图]　唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.

导入二:

1.已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是　　　　. 

2.提问:

你认为所得的代数式有什么特点?

（教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题）

[设计意图]　让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识,另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入,调动了学生的积极性.

导入三:

在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当a≥0时,表示非负数a的算术平方根,±表示非负数a的平方根;,±都表示非负数a的开平方,中“”表示一种运算,因此,（a≥0）还有一个名字,你知道吗?

[设计意图]　通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出的另一个名称,引起学生思考,激发学生的学习热情.

自主探究，构建新知

活动一:

二次根式的概念

[过渡语]　我们已经学习了数的开平方,并用（a≥0）表示非负数a的算术平方根.现在,我们首先来学习二次根式的定义.

思路一

【课件2】　（教材第90页一起探究）

1.

（1）2,18,,的算术平方根是怎样表示的?

（2）非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?

2.学校要修建一个占地面积为Sm2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?

如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为am2的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?

引导学生分析得出:

1.解:

（1）,,,.　

（2）,,.

2.解:

.

引导学生概括二次根式的定义:

在上面的问题中,我们得到了,,,,,,,,等式子,它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式.

[知识拓展]　

（1）二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型.

（2）本身作分母时,要注意只能大于0,不能等于0.

（3）要注意,等,这时无论a取何值都有意义.

[设计意图]　让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念.

【课件3】　判断下列各式是二次根式吗?

;　②6;　;　（m≤0）;　（x,y异号）;　;　+1;　.

学生快速回答,共同分析.

[设计意图]　通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于0.

思路二

活动:

（引导学生概括二次根式的定义:

像,这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式）

概念深化:

提问:

+1是不是二次根式?

呢?

议一议:

二次根式表示什么意义?

此算术平方根的被开方数是什么?

被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义?

其中字母a要满足什么条件?

为什么?

【展示点评】

经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.

最后教师归纳:

一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正,也可能为负,所以不能说这个式子是二次根式,中的a+1也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式.

【反思小结】

教师总结:

从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:

（1）必须有二次根号;

（2）被开方数不能小于0.

思路一

【课件4】　（教材第90页大家谈谈）小亮和小颖对二次根式“（a≥0）”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?

请举例说明.

小亮的观点:

因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有≥0.

小颖的观点:

因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有（）2=a.

学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.

教师总结:

（1）（a≥0）是一个非负数,即具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数;

（2）（）2=a（a≥0）,即非负数a的算术平方根的平方等于a.

【课件5】　做一做:

=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　. 

教师点评:

根据算术平方根的意义,我们可以得到:

=2;=0.01;;;=0.

想一想:

根据上面的计算,你能得到什么结论?

学生讨论得出,一般地,=a（a≥0）.

【课件6】　（教材第91页做一做）化简.

（1）（）2;　

（2）;　（3）;　（4）.

教师指名回答,公布答案.

解:

（1）（）2=3.　

（2）.　（3）=5.　（4）.

思路二

我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即≥0（a≥0）.

1.性质1:

（）2=a（a≥0）.

（1）观察:

22=4,即（）2=4;32=9,即（）2=9……

（2）提问:

观察上述等式的两边,你得到什么启示?

（3）板书:

当a≥0时,=a.

[设计意图]　通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者.

2.性质2:

=a（a≥0）.

（1）提问:

等于什么?

（2）举例:

=2;=2;=3;=3……

（3）发现:

当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.

（4）归纳:

3.比较（）2和的区别.

学生讨论,回答.

说明:

关键抓住被开方数的非负性和（a≥0）的非负性.

[知识拓展]　理解（）2和时应注意以下几点:

（1）从a的取值范围理解:

中的a为全体实数,而（）2中的a为非负数.

（2）从所得的结果理解:

而（）2=a,也就是说当a≥0时,=（）2.

[设计意图]　通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异.

活动三:

例题讲解

【课件7】

　化简.

（1）;　

（2）.

〔解析〕　0.04=0.22,,可以利用=a（a≥0）化简.

解:

（1）=0.2.　

（2）=12=1.

[设计意图]　尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透.

活动四：

探究点1:

积的算术平方根

问题1:

【课件10】　计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律?

（1）与;　

（2）与.

学生计算,得出

（1）

（2）中两式均相等.

问题2:

【课件10】　猜想:

与有什么关系?

组织学生计算,验证猜想:

（分组尝试,讨论交流）

方法一:

事实上,根据积的乘方法则,有（）2=（）2×（）2=2×5,并且>0,所以是2×5的算术平方根,即.

方法二:

因为（）2=（）2×（）2=2×5,（）2=2×5,且>0,>0,所以.

问题3:

【课件11】　当a≥0,b≥0时,对和·的关系提出你的猜想,并说明理由.

指导学生仿照问题2的证明过程加以证明.

解:

因为当a≥0,b≥0时,（）2=a·b,（·）2=（）2·（）2=a·b,所以·.

引导学生进行归纳得出:

积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即·（a≥0,b≥0）.

[知识拓展]　积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.如···（a≥0,b≥0,c≥0,d≥0）.

[设计意图]　尽管学生能够猜想出结果,但还是缺乏必要的说理,再次引出问题,让学生交流讨论,碰撞出火花,体会数学的严谨性与科学性.

探究点2:

商的算术平方根

问题1:

【课件11】　与是否相等?

与呢?

学生经过计算得出两个式子均相等.

问题2:

【课件11】　对照刚才得到的结论,当a≥0,b>0时,与有什么关系?

并说明理由.

学生不难猜想得到（a≥0,b>0）.

引导学生根据刚才的证明过程加以证明.

解:

因为当a≥0,b>0时,,,所以　.

问题3:

对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗?

引导学生归纳:

商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即

（或）（a≥0,b>0）

[设计意图]　培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力.

思路二

问题1:

【课件11】　计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

（1）=　　　　;=　　　　. 

（2）=　　　　;=　　　　. 

（3）=　　　　;=　　　　. 

（4）=　　　　;=　　　　. 

师:

出示问题,引导学生观察计算结果,总结式子的规律.

生:

学生计算、观察、分组讨论,发现上述每组中的两个式子相等.

问题2:

【课件11】　根据上面的探究,下列式子是否也存在类似关系,猜想你的结论并用计算器验证.

（1）=　　　　;=　　　　. 

（2）=　　　　;=　　　　. 

（3）=　　　　;=　　　　. 

（4）=　　　　;=　　　　. 

学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等.

问题3:

【课件12】　猜想:

（1）当a≥0,b≥0时,和·有什么关系?

（2）当a≥0,b>0时,和有什么关系?

请你说明理由.

引导学生小组讨论,利用算术平方根的简单性质进行证明.

[设计意图]　引导学生体会知识的形成过程,通过观察、猜想、证明、归纳,让学生得到积（商）的算术平方根的性质.

活动二:

观察与思考——探究最简二次根式的概念

【课件13】

　化简.

（1）;　

（2）;　（3）;　（4）.

〔解析〕　

（1）

（2）直接利用·（a≥0,b≥0）进行化简;（3）（4）利用（a≥0,b>0）进行化简.

解:

（1）=3.

（2）=4.

（3）.

（4）.

【课件14】　观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:

（1）化简前,被开方数是怎样的数?

（2）化简后,被开方数是怎样的数?

它们还含有能开得尽方的因数吗?

归纳:

①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.

说明:

二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.

提出问题:

在,3,,,,3,中,哪些是最简二次根式?

为什么?

把“提出问题”中不是最简二次根式的化成最简二次根式.

指一名同学到黑板上板书,其他学生在练习本上完成.

出示“做一做”.

【课件15】　（教材第94页做一做）化简.

（1）;　

（2）;　（3）;　（4）.

解:

（1）=3.

（2）=4.

（3）.

（4）.

课堂总结

1.二次根式的定义

一般地,把形如

的式子叫做二次根式.

判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个特征:

（1）带有二次根号“”,即根指数是2;

（2）被开方数不小于零.

只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次根式.

2.二次根式的基本性质

（1）当a≥0时,

（2）当a≥0时,

检测反馈，巩固提高，

同步练习填空题

布置作业

【必做题】

1.教材第91页练习.

2.教材第92页习题A组第1,2题.

【选做题】

教材第92页习题B组第1,2题.