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x2检验

第四章x2检验

一．本章教学简介

本章介绍第二个统计推断工具，非参数检验类的X2检验，内容包括X2检验的性质、原理、类型、方法和应用。

本章重点是X2检验两种类型的应用，难点是X2检验的原理。

本章要求学员学习后能了解X2检验的性质和原理，掌握X2检验的生物学应用，能熟练使用计算器解题，有条件的学员能用电脑SPSS操作，并将结果进行比较。

教材提示：

教材77－85页详细阅读。

二．本章教学内容

一．适用特征和功效

1．适用特征：

（1）样本资料为非连续性变量（离散量资料，或称计数性资料）；

（2）总体分布未知；

（3）非参数性检验，而是分布性检验。

2．功效：

基于非连续性变量（即计数性资料）的非参数检验。

说明：

对质量性状的资料研究常用方法，比数量性状资料研究难。

x2检验，平均数对它无意义，属于非参数性的属性检验，适合对质量性状的检验，对原始数据的要求比t检验低，原始数据即观察数往往只是归类计数的频次，都是整数，无分数小数。

二．类型

1．适合性（符合性，拟合优度）检验：

判断Oi与Ei是否一致。

2．独立性检验：

通过Oi与Ei是否一致来判断因素之间是否独立。

三．原理和方法

㈠适合性检验

Oi：

观察数（实际数）

Ei：

期望数（理论数）

适合性检验就是检验Oi与Ei是否一致（即是否有显著差异），解决Oi与Ei是否在统计学意义上相等的问题。

适合性检验的方法也是典型的统计检验“五步法”。

1．H0（无效假设）：

Oi=Ei（或Oi－Ei＝0）

2．建立适当的分布（x2分布）并计算：

x2c=∑（Oi-Ei）2/Ei

df=n-1适合性检验中df等于相加项数-1

3．查表：

x20.05（df）=?

x20.01（df）=?

4．比较：

（1）当x2c〈x20.05，接受H0,Oi与Ei无显著差异，P>0.05

（2）当x20.05〈x2c〈x20.01，拒绝H0,Oi与Ei有显著差异，P<0.05

（3）当x2c〉x20.01，拒绝H0,Oi与Ei有极其显著差异，P<0.01

5．结论

例1．豌豆杂交试验得到80朵黄花，34朵白花，问此结果是否符合3∶1的分离规律？

解：

已知O1=80O2=34

根据3∶1规律求出：

E1=（80＋34）*3/4=85.500，

E2=（80＋34）*1/4=28.500

（Ei可以而且应当有小数，保留位数一般应比后面比较的临界值多1位）

1．H0（无效假设）：

Oi=Ei（或Oi－Ei＝0）

2．建立适当的分布（x2分布）并计算：

x2c=∑（Oi-Ei）2/Ei=（80-85.5）2/85.5+（34-28.5）2/28.5=1.43

（x2c即x2实际结果数小数位数应与比较的临界值一致）

df=2-1=1

（自由度等于相加项数-1）

3．查表：

x20.05（df）=?

x20.01（df）=?

经查表知：

x20.05

（1）=3.84,x20.01

（1）=6.63

4．比较：

∵x2c

（1），∴接受H0,Oi与Ei无显著差异，P>0.05

（属于比较的第

（1）种情况）

5．结论：

试验结果符合3：

1的分离规律。

当堂练习1：

教材79页例6.2，请学员参照上述“五部法”独立完成本题，并将结果与教材上的例题解答进行比较核对。

回家作业：

教材85页第5题。

（二）独立性检验

独立性检验的功效就是通过Oi与Ei是否一致来判断因素之间是否独立。

例2．为试验某新药抗癌效果，进行动物荷瘤试验，结果如下：

康复

死亡

用药组

28

32

非用药组

16

40

问此药是否有效?

解：

独立性检验的步骤也是“五部法”。

1．H0:

Oi=Ei

现已知O11=28O12=32

O21=16O22=40

如何找到Ei？

一般的方法是用“混合比例法”，将已知Oij行列求和。

康复

死亡

用药组

O11=28

O12=32

t1=O11+O12=60

非用药组

O21=16

O22=40

t2=O21+O22=56

C1=O11+O21=44

C2=O12+O22=72

T=t1+t2=116

用比例公式求得：

E11=60*44/116=22.759，E12=60*72/116=37.241

E21=56*44/116=21.241，E22=56*72/116=34.759

2．建立适当的分布（x2分布）并计算：

计算x2

x2=∑（Ei-Oi）2/Ei=（28－22.759）2/22.759+（32－37.241）2/37.241+（16－21.241）2/21.241+（40－34.759）2/34.759=4.0279≈4.03

计算自由度：

df=（m-1）（n-1）=（2-1）（2-1）=1

3．查表知：

x20.05

（1）=3.84x20.01

（1）=6.63

4．比较：

∵x20.05

（1）

（1），∴拒绝H0，Oi与Ei有显著差异，P<0.05,

即用药与康复两因素不独立（有关联作用）。

5．结论：

此药是有效的。

当堂练习2：

教材80页例6.3，请学员参照上述“五部法”独立完成本题，并将结果与教材上的例题解答进行比较核对。

回家作业：

教材84页第1，2，3，4题。

四．修正公式和简捷公式

（一）df=1的修正

x2检验中自由度=1时，若x2的值与3.84很接近，特别有必要进行修正，以减少范错误的风险。

x2修=∑（|Oi-Ei|-0.5）2/Eix2修所得的值比x2c的值小。

（二）2*2独立性检验简捷公式

x2简=（O11*O22-O12*O21）2T/t1t2C1C2

x2简修=（|O11*O22-O12*O21|-T/2）2T/t1t2C1C2

参阅教材83页。

如再对例2进行简捷计算：

用x2简公式计算x2c＝4.03,与上面“五部法”的结果和结论相同。

用x2简修公式计算x2c＝3.30，

此时∵x2c0.05,即用药与康复两因素独立（无关联作用）。

结论：

此药是无效的。

此结论与上面“五部法”的结论不同，应当说，经过修正的检验结论更可靠。

建议学员以后碰到df=1的x2检验尽量运用修正公式。

（三）m*n独立性检验的简捷运算

O11

O12

O13

…

O1n

t1

O21

O22

O23

…

O2n

t2

…

…

…

…

…

…

Om1

Om2

Om3

…

Om4

tm

C1

C2

C3

…

Cn

T

x2=T（∑∑Oij2/tiCj－1）

说明：

独立性检验随着行列数m、n的增大，计算Eij的工作量会随之增大，且易出错，此时可用上述简捷运算公式。

教学建议：

建议在用“五部法”完成84页作业1、3、4题后，再用此简捷公式计算，比较两者的结果是否一样。

（答案：

应该一样）

四．计算机SPSS的X2检验

（一）计算机SPSS的x2适合性检验

1．设定数据库变量（原始数据不能有小数点）

变量Oi,设为数字型。

2．输入数据

如上面例1：

Oi

34

80

3．加权处理Date---WeightCaseByOi

4．命令执行Analyze----NonparametricTests---Chi-square

具体操作可参阅教材176－177页内容。

演示例1。

（二）计算机SPSS的X2独立性检验

1．设定数据库变量（原始数据不能有小数点）

VA：

行变量，数字型，宽度一位

VB：

列变量，数字型，宽度一位

VC：

因变量（观察数），数字型，宽度由最大观察数位数决定。

2．输入数据，建立数据库

如上面例2：

VA

VB

VC

1

1

28

1

2

32

2

1

16

2

2

40

3．加权处理Date---WeightCaseByVc

4．统计命令执行

Analyze----DescriptiveStatistics---Crosstabs

具体操作可参阅教材178－180页内容。

演示例2。

第五章方差分析

一．本章教学简介

本章介绍第三个重要统计推断工具，参数检验类的方差分析，内容包括方差分析的功效、性质、原理、类型、方法和应用。

本章重点是单因素方差分析的应用，难点是方差分析的计算，尤其是双因素方差分析。

本章要求学员学习后能了解方差分析的性质和原理，掌握方差分析的生物学应用，能熟练使用计算器解题，有条件的学员能用电脑SPSS操作，并将结果进行比较。

教材提示：

教材86－105页详细阅读。

二．本章教学内容

一．意义义和功效

方差分析是参数检验，是对多个（三个和三个以上）平均数的比较检验。

1．意义：

有了t检验，为何还要引入方差分析？

方差分析是解决多个平均数的比较。

若10个平均数，用t检验两两检验，需次数C102=45次，若取α=0.05

则：

1次准确率0.95错误率1－0.95＝0.05

2次准确率0.952错误率1-0.952

3次准确率0.953错误率1-0.953

………

45次准确率0.9545=0.09944错误率1-0.9545=0.90056

从以上可见，t检验随次数的增加，准确率下降，t检验达多次重复以后，可靠性无法保证，所以t检验只适合两个平均数的比较。

因此，为了解决多个平均数的比较，引入方差分析。

2．功效：

方差分析不仅能检验多个平均数是否存在差异，同时还能分析差异的来源和原因。

二．类型

⑴单因素方差分析a：

n相等b：

n不相等

⑵双因素方差分析a：

n=1b：

n>1（n相等和n不相等）

⑶多因素方差分析

三．原理和步骤

㈠单因素方差分析

⑴单因素方差分析（n相等）

例：

某学校有四个平行班进行生物统测，结果如下：

学生成绩

甲班

68

72

80

72

66

TA1（表甲组成绩之和）

乙班

55

70

66

62

63

TA2（表乙组成绩之和）

丙班

80

82

70

75

72

TA3（表丙组成绩之和）

丁班

70

72

80

68

69

TA4（表丁组成绩之和）

问四个班平均成绩是否有显著差异？

解：

①H0x1=x2=…xk

②平方和和自由度分析

总体平方和：

SST=∑∑（xij-x总）2=∑xi2-（∑xi）2/N=∑xi2-T2/N

T为所有数之和，令C=T2/N（C为校正系数）

SST=∑xi2-CdfT=N-1

组间平方和：

SSA=∑TAi2/n-CdfA=k-1

组内平方和：

SSe=SST-SSAdfe=dfT-dfA

③计算方差

SA2（组间方差）=SSA/dfASe2（组内方差）=SSe/dfe

1F检验

Fc=SA2/Se2

2查Fa

F0.05（dfA，dfe）=？

F0.01（dfA，dfe）=?

3比较：

a．当Fc≤F0.05（dfA，dfe）,接受H0,各组均值无显著差异（P>0.05）

b．当F0.05（dfA，dfe）

c．当Fc>F0.01（dfA，dfe）,拒绝H0，各组均值有极其显著差异，（P<0.01）。

4多重比较

5结论

例子中：

TA1=358TA2=316TA3=379TA4=359

C=（358+316+379+359）2/20=99687.2

SST=∑xi2-C=100544-99687.2=856.8dfT=19

SSA=∑TAi2/n-C=425.2dfA=4-1=3

SSe=856.8-425.2=435.6dfe=19-3=16

SA2=SSA/dfA=425.2/3=140.4

Se2=SSe/dfe=435.6/16=27.225

Fc=SA2/Se2=140.4/27.225=5.16

查表知：

F0.05（3，16）=3.24F0.01（3,16）=5.29

所以F0.05（3，16）

3．多重比较

⑴功效：

通过各组的比较，进一步分析变异的来源和原因。

⑵表示方法类型：

三角形法，连线法，符号法等。

⑶检验方法类型：

1．LSD法（最小显著差数表）

例：

书192页

A

74

82

70

76

A组Xi平均值75.5

B

88

80

85

83

B组Xi平均值84

C

71

73

74

70

C组Xi平均值72

LSD法：

C

A

Xi平均

Xi平均-72

Xi平均-75.5

XB平均=84

12

8．5

XA平均=75.5

3.5

0

XC平均=72

0

-3.5

LSD=ta（dfe）sqrt（2Se2/n）

LSD0.05=t0.05（9）sqrt（2*13.222/4）=2.262*2.571=5.816

LSD0.01=t0.01（9）sqrt（2*13.222/4）=3.250*2.571=8.356

若：

平方数差异〉LSD0.01则打“**”表有极其显著差异

LSD0.05〈平方数差异〈LSD0.01则打“*”表有显著差异

平方数差异〈LSD0.05，不做标记，表无显著差异

所以例题中：

除A.C组外，其他各组均有极其显著差异

⑵单因素方差分析（n不相等）

①H0x1=x2=…＝xk

②C=T2/NN为总体个数

总体平方和：

SST=∑xi2-CdfT=N-1

组间平方和：

SSA=∑TAi2/ni-CdfA=k-1

组内平方和：

SSe=SST-SSAdfe=dfT-dfA

③计算方差

SA2（组间方差）=SSA/dfASe2（组内方差）=SSe/dfe

④检验

Fc=SA2/Se2

⑤查Fa

F0.05（dfA，dfe）=？

F0.01（dfA，dfe）=?

⑥比较：

a:

Fc≤F0.05（dfA，dfe）,接受H0,各组均值无显著差异（P>0.05）

b:

F0.05（dfA，dfe）

（P<0.05）

c:

Fc>F0.01（dfA，dfe）,拒绝H0，各组均值有极其显著差异（P<0.01）

⑦多重比较（若有显著差异）

LSD=ta（dfe）sqrt（2Se2/n0）

n0=1/（k-1）（∑ni-∑ni2/∑ni）

⑶SPSS中的单因素方差分析操作

1数据库建立

a．变量设定：

VA行变量

VB列变量

VC因变量

b．输入

②主命令Analyze—CompareMeans---OneWayANOVA（Analyzeofvariance）

若要进行多重比较，主命令为Analyze—CompareMeans---OneWayANOVA—POST---LSDMultipleComparisions

㈡双因素方差分析

⑴n=1

例：

四种不同品系的小鼠注射三种不同计量性激素，两周各称重，结果如下：

（横向：

B因素）m组

计量0.2

计量0.4

计量0.8

品系1

106

116

145

品系2

42

68

115

品系3

70

111

133

品系4

42

63

87

纵向：

A因素k组

做题思路：

①H0：

A向k组B向m组

x1=x2=…xkx1=x2=…xm

②SS与df分析：

C=T2/N（C为校正系数）

SST=∑xi2-CdfT=N-1

SSA=∑TAi2/mn-CdfA=k-1

SSB=∑TBi2/kn-CdfB=m-1

SSe=SST-SSA-SSBdfe=dfT-dfA-dfB

③计算方差

SA2（组间方差）=SSA/dfASB2（组间方差）=SSB/dfBSe2（组内方差）=SSe/dfe

④检验：

FA=SA2/Se2FB=SB2/Se2

⑤查表

A向：

F0.05（dfA，dfe）=？

F0.01（dfA，dfe）=?

B向：

F0.05（dfB，dfe）=？

F0.01（dfB，dfe）=?

⑥比较：

A向：

a:

当Fc≤F0.05（dfA，dfe）,接受H0,各组均值无显著差异（P>0.05）

b:

当F0.05（dfA，dfe）

（P<0.05）

c:

当Fc>F0.01（dfA，dfe）,拒绝H0，各组均值有极其显著差异（P<0.01）

B向：

a:

当Fc≤F0.05（dfB，dfe）,接受H0,各组均值无显著差异（P>0.05）

b:

当F0.05（dfB，dfe）

（P<0.05）

c:

当Fc>F0.01（dfB，dfe）,拒绝H0，各组均值有极其显著差异（P<0.01）

⑦多重比较：

A向：

LSDa=ta（dfe）sqrt（2Se2/m）

B向：

LSDa=ta（dfe）sqrt（2Se2/k）

⑧结论：

第六章相关与回归

一．本章教学简介

本章是本学科第三部分教学内容，内容包括相关和回归的概念、原理、方法和应用。

本章重点是相关和回归的概念和应用，难点是相关和回归的检验原理。

本章要求学员学习后能理解相关和回归的性质和原理，掌握相关和回归的生物学应用，能熟练使用计算器解题，有条件的学员能用电脑SPSS操作，并将结果进行比较。

二．本章教学内容

一．相关

⑴概念：

研究变量之间联系程度的一种数学指标。

⑵类型：

1从性质分：

正相关：

变量随着另外变量增长而增长。

如考试成绩与复习时间

负相关：

变量随着另外变量增长而减小。

如老人健康状况与年龄

零相关：

两个变量独立变化，互不相关。

2从变量数分：

单相关：

两个相关数变量，为复相关基础。

复相关：

超过两个变量数，有主次之分。

3从数学规律或数量变化趋势分为：

线性相关

非线性相关（包括曲线相关，超线性相关）

⑶数学描述

①相关系数：

r-1≤r≤+1

r=1,表示绝对正相关r=-1,表示绝对负相关r=0,表示绝对0相关

2相关几何意义：

y随x增大而增大

y随x增大而减小

x,y独立变化

3计算公式

r=（∑xy-∑x∑y/n）/（n-1）SxSy

4检验：

a:

H0r=0

b:

Fc=（n-2）r2/1-r2

c:

查表：

Fa（1,n-2）

d:

比较：

若Fc

若F0.05〈Fc0,正相关，r<0,负相关

若Fc〉F0.01拒绝H0,r≠0,r>0,强正相关，r<0,强负相关

5结论

⑷SPSS应用

1数据库

描述性统计的直接编码。

2主名令

Analyze---Correlate---Biovariate

二．回归

1、概念：

变量之间关系利用最小误差理论，求得最佳关系式的过程。

2、类型：

（1）从变量数分：

●单回归

●复回归

（2）从变化趋势分：

◆线性回归

◆非线性回归

3、数学方法：

（1）直线回归方程

=a+bx建立的必要条件

a．∑（y-

）=0居中无偏性

b．∑（y-

）2min平均数

适合回归方程

（2）建立

=a+bx最小二乘方原理，条件极值法求系数a,b

b=（∑xy-∑x∑y/n）/（∑x2-（∑x）2/n）

=（∑y-b∑x）/n

（3）作图（两端点法）

xmin=?

xmax=?

1=?

2=?

连线

写出方程和r

两端不准延伸

注意事项：

a．回归显著性检验包括回归关系、回归系数显著性检验，与r显著性检验完全等效。

B．先求r，并检验，如r达显著程度，再作相应回归，以避免无效回归。

C．回归直线两端不准延伸，因为回归只对这个区间内有效。

D．回归作图不要忘记标注原始点。

4、回归与相关的关系

在相关系数达到显著程度时为有意义回归，

在相关系数达不到显著程度（即为零相关）时为无意义回归。

r2=bx*by

5、回归的检验

与相关等效

6、回归的SPSS处理

数据库与相关一样处理

回归Analyze---Regression----linear/curve

作图：

Graph----Intergrative---Scaterplotfit中打开，选Regression