第六讲观察.docx
- 文档编号:27312996
- 上传时间:2023-06-29
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:92.75KB
第六讲观察.docx
《第六讲观察.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第六讲观察.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第六讲观察
第六讲 观察、概括与猜想
在我们认识问题的过程中,往往需要经历一个观察、概括与猜想的过程,学习数学也是这样,希望我们通过一组题目来学习解决这类问题的方法。
通过解决这类问题,有助于提高我们的观察概括的能力.同时解决这类问题也往往需要运用从特殊到一般、从个别到抽象的认识问题的方法,它可以使我们学会如何从多个角度来全面地认识事物,从而提高我们的良好的思维品质.
例1用火柴棒按图所示的方法搭图形.
(1)填写下表:
三角形个数
1
2
3
4
5
火柴棒根数
(2)搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒?
思路分析:
当n=1时,需3根火柴棒;
当n=2时,需5根火柴棒;
当n=3时,需7根火柴棒:
当n=4时,需9根火柴棒:
当n=5时,需11根火柴棒.
从数量上看,后个数比前个数大2,每个数——3、5、7、9、11是奇数,所以搭”个这样的三角形需2n+1根火柴棒.
从图形上分析,每搭一个三角形就需要3根火柴,但是图形的特征是连续搭的,有重合的部分就要减去,因此就得到了[3n-(n-1)]根,整理得(2n+1)根.
解:
(1)
三角形个数
1
2
3
4
5
火柴棒根数
3
5
7
9
11
(2)搭n个这样的三角形需要(2n+1)根火柴棒.
例2用棋子摆成下列三角形的图形:
(1)计算第8个图形要用多少枚棋子?
(2)用代数式表示第n个图形所用棋子的枚数;
(3)第几个图形要用棋子2004枚?
思路分析:
当n=1时,需3枚棋子,3=1×3;
当n=2时,需6枚棋子,6=2×3:
当n=3时,需9枚棋子,9=3×3.
从数量上看,后一个数比前一个数大3,所以摆第n个三角形需用3n枚棋子.
从图形上看,第1个图形的边上有2个点,三条边上有2×3个点,但顶点的三个棋子各重叠一次需减去,所以需(2×3-3)枚;第2个图形的边上有3个点,三条边上有3×3个点,但顶点的三个棋子各重叠一次需减去,所以需(3×3-3)枚;第3个图形的边上有4个点,三边上有4×3个点,但顶点的三个棋子各重叠一次需减去,所以需(4×3-3)枚;
依此类推,第n个图形需[3(n+1)-3]枚,即3n枚棋子.
解
(1)第8个三角形要用3×8=24枚棋子;
(2)第n个三角形所用棋子数为3n枚;
(3)令3n=2004,解得n=668,所以第668个三角形要用棋子2004枚.
例3观察下列各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个棋子,每个图案中棋子总数为s.
n=2,n=3,n=4,
s2=4:
s3=8;s4=12;
据此规律,推断出s与n的关系式.
思路分析:
从数量上看,后一个数比前一个数大4,
n=2时,4=4(2-1);
n=3时,8=4(3-1);
n=4时,12=4(4-1).
因此每条边上有n个棋子时,棋子总数sn=4(n-1).
从图形上看,
边长为2时,用棋子22个;
边长为3时,用棋子32-12=8个;
边长为4时,用棋子42-22=12个;
依次类推,边长为n时,用棋子n2-(n-2)2=(4n-4)个.
解:
sn=4n-4
例4如下图,在有公共边的三角形和长方形的边上有规律地排列些点.
(1)填空:
每边有2个点,图中共有_____个点;
每边有3个点,图中共有_____个点;
每边有4点,图中共有_____个点.
(2)根据前面的规律,总结出每边上的点数为n(n为大于1的整数)时,点的总数为_____.
思路分析:
当n=2时,共有5个点,5=2×6-7;
当n=3时,共有11个点,11=3×6-7;
当n=4时,共有17个点,17=4×6-7;
从数量上看,后一个数比前一个数大6,所以每边上的点数为n时,点的总数为(6n-7)个.
从图形上看,组成图形的点可以拆成两部分:
合起来想(2n-3)+4(n-1)=6n-7.
例5用点“·”和小木棍“一”按一定规律组成下面的图形,请你用n(n是正整数)的代数式分别表示第n个图中的“·”和“-”的个数.
思路分析:
从数量上看:
当n=1时,有点“·”1个,小木棍“-”有4根;
当n=2时,有点“·”4个,小木棍“-”有12根;
当n=3时,有点“·”9个,小木棍“-”有24根;
从数量上看:
点“·”有
1=12 4=22 9=32…
n=1 n=2 n=3…
所以第n个图中点“·”有n2个.
从数量上看:
小木棍“-”有
4 12 24…
4=2×2 12=4×3 24=6×4
=2×1×(1+1)=2×2×(2+1)=2×3x(3+1)…
所以第n个图中小木棍“-”有2n(n+1)根.
从图形上看,
n=1时列与行中的小木棍一样多,共有2条,每条上有2根,图中小木棍共有2×2根;
n=2时共有4条,每条上有3根,图中小木棍共有4×3=2×2×(2+1)根;
n=3时共有6条,每条上有4根,图中小木棍共有6×4=2×3×(3+1)根.
归纳概括第n个图中小木棍“-”有2n(n+1)根.
答:
第n个图中,“·”的个数为n2,“-”的个数为2n(n+1).
例6阅读以下材料并填空:
平面上有n个点(n≥2),且任意三个点不在同一直线上,过这些点作直线,一共能作出多少条不同的直线?
(1)分析:
当仅有两个点时,可连成1条直线;当有3个点时,可连成3条直线;当有4个点时,可连成6条直线;当有5个点时,可连成10条直线;
(2)归纳:
考察点的个数n和可连成直线的条数Sn,发现:
点的个数
可连成直线条数
2
3
4
5
…
…
n
(3)推理:
平面上有n个点,两点确定一条直线,取第一个点A有n种取法,取第二个点B有(n-1)种取法,所以一共可连成n(n-1)条直线,但AB与BA是同一条直线,故应除以2,即
(4)结论:
试探究以下问题:
平面上有n(n≥3)个点,任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形,一共能作出多少不同的三角形?
(1)分析:
当仅有3个点时,可作_____个三角形;当有4个点时,可作_____个三角形;当有5个点时,可作_____个三角形.
(2)归纳:
考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn,发现:
点的个数
可连成三角形个数
3
4
5
…
…
n
思路分析:
当平面上有3个点时(任意3点不在同一直线上),有1个三角形.
当平面上有4个点(任意3个点不在同一直线上)时,过任意三点作三角形共有4个三角形.
当平面上有5个点(任意3个点不在同一直线上)时,过任意三点作三角形,共有10个三角形.
当平面上有n个点(任意3个点不在同一直线上)时,过任意三点作三角形,共有
解:
略.
点评:
类比阅读材料,数线段问题,对数三角形问题进行归纳和概括;数三角形时又从具体的数三角形个数中进行变形处理进行归纳.在这样的思维和具体操作中,提升能力.
例7请先观察下列算式,再填空:
32-12=8×1
52-32=8×2
(1)72-52=8×_____;
(2)92-()2=8×4;
(3)()2-92=8×5;
(4)132-()2=8×_____;
通过观察归纳,写出反映这种规律的一般结论:
_____,你能证明你得到的结论吗?
(1)72-52=24=8×3;
(2)92-72=32=8×4;
(3)112-92=40=8×5;
(4)132-112=48=8×6;
一般结论:
两个连续奇数的平方差是8的倍数(或能被8整除).
证明:
设这两个连续整数是(2n-1)、(2n+1),其中n是正整数,
(2n+1)2-(2n-1)2
=[(2n+1)+(2n一1)][(2n+1)-(2n-1)]
=4n×2
=8n
∴(2n+1)2与(2n-1)2的差是8的倍数.
或(2n+1)2-(2n-1)2
=(4n2-4n+1)-(4n2-4n+1)
=8n
即(2n+1)2与(2n-1)2的差是8的倍数.
例8观察下列各式及其验证过程:
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想
的变形结果,并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明.
(2)由题设及
(1)的验证结果,可猜想对任意自然数n(n≥2)都有:
例9阅读下列验证过程,解答下面问题.
问题:
将一个分数的分子、分母同时加上一个正数,这个分数怎么变化?
验证:
解:
(1)当这个分数是正的真分数时,这个真分数可表示为
(a,b均为正整数,且a>b,下同).
在这个真分数的分子、分母同时加上一个正数m后,就变成
.此时,
.
(2)当这个分数是假分数时
.
(3)当这个分数是负分数时
.
例10阅读下列材料,按要求解答问题.
(1)观察下面两块三角尺,它们有一个共同的性质,即∠A=2∠B.我们由此出发来进行思考.
在图
(1)中,作斜边上的高CD,由于∠B=30°,可知c=2b,∠ACD=30°,于是AD=
BD=c-
.
由于△CDB∽△ACB,可知a/c=BD/a,即a2=cgBD.同理b2=cgAD.
于是a2-b2=c(BD-AD)=c[(c-
)-
]=c(c-b)=c(2b-b)=bc.
对于图
(2),由勾股定理,有a2=b2+c2.由于b=c,故也有a2-b2=bc.
这两块三角尺都具有性质a2-b2=bc.
在△ABC中,如果一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这种三角形为倍角三角形.两块三角尺就都是特殊的倍角三角形.对于任意的倍角三角形,上面的性质仍然成立吗?
暂时把我们的设想作为一个猜想.
如图(3),在AABC中,若∠CAB=2∠ABC,则a2-b2=bc.
在上述由三角尺的性质到“猜想”这一认识过程中,用到了下列四种数学思想方法中的哪一种?
选出一个正确的,将其序号填在括号内().
①分类的思想方法;
②转化的思想方法;
③由特殊到一般的思想方法;
④数形结合的思想方法.
(2)这个猜测是否正确,请证明.
解:
(1)由特殊到一般的思想方法.
(2)这个猜想是正确的.
证明:
如图,延长BA到D,使AD=AC,连结CD,
易知∠D=∠1=
∠CAB=∠B.
∴DC=BC=a,△BCD∽△DAC,
∴a2=b2+bc,a2-b2=bc.
反思:
由特殊到一般的数学思想方法不仅是探索和解决问题的重要思想方法,而且是发展数学,实现数学创新的重要思想基础.
本题还有以下一些证明方法,老师给出辅助线的提示,请你思考证明.
①作AD平分∠CAB,得△DAC∽△ABC;
②延长CA到D,使AD=AB,得△ABC∽△BDC:
③作CD⊥AB于D,截取DE=4D.
可这样处理三角形中二倍角问题:
(1)可以作角平分线:
(2)可以作它的补角.在二倍角的外面作一个等腰三角形,从而解决问题.
请同学们在解决问题的过程中,由简单到复杂逐步提升自己的思维方法,学会拆开来看,合起来想,学会不仅会从数量上去分析还会从图形上分析的方法,这样你的眼界就会开阔,你解决问题的方法就会更加灵活.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第六 观察