工程问题公式.docx
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工程问题公式.docx
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工程问题公式
工程问题公式
〔1〕一般公式:
工效X工时=工作总量;工作总量十工时=工效;工作总量*工效=工时。
工作效率X工作时间=工作总量工作总量十工作效率=工作时间
工作总量*工作时间=工作效率
〔2〕用假设工作总量为“1〞的方法解工程问题的公式:
14■工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几;
1*单位时间能完成的几分之几=工作时间。
〔注意:
用假设法解工程题,可任意假定工作总量为2、3、4、5……。
特别是假定工
作总量为几个工作时间的最小公倍数时,分数工程问题可以转化为比拟简单的整数工程问
题,计算将变得比拟简便。
〕
总数十每份数=份数总数一份数=每份数
1、每份数X份数=总数
总数一总份数=平均数
几倍数一1倍数=倍数几倍数十倍数=1倍数
路程十速度=时间路程十时间=速度
总价十单价=数量总价一数量=单价
和个加数=另一个加数
被减数一差=减数差+减数=被减数
积十一个因数=另一个因数
被除数十商=除数商X除数=被除数
周长=边长X4C=4a
面积=边长X边长S=aXa=a2
追击问题公式
相向而行〕:
追及路程追及速度和=追及时间〔同向而行〕:
追及路程追及速度差=追及时间
追及距离除以速度差等于追及时间•追及时间乘以
速度差等于追及距离•追及距离除以追及时河等于
速度差・追及:
速度差X追及时间=追及路程
追及路程一速度差=追及时河〔同向追及〕
甲路程一乙路程=追及时相差的路程相遇:
相遇路程4-速度和=相遇时间速度和X相遇时间=相
遇路程速度差X追及时间=追及路程追及路程
―速度差=追及时间〔同向追及〕甲路程一乙
路程=追及时相差的路集合我所搜到的答案
根本内容工程问题是小学数学应用题教学中的重点,是分数应用题的引申与补充,是培养学生抽彖逻辑思维能力的重要工具。
它是函数一一对应思想在应用题中的有力滲透。
工程问题也是教材的难点O工程问题是把工作总量看成单位“1〞的应用题,它具有抽彖性,学生认知起来比拟困难。
因此,在教学中,如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。
本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿,目的在于使学生理解并熟练掌握概念。
联系实际谈话引入。
引入设悬,渗透概念。
目的在于让学生复习理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。
初步的复习再次强化工程问题的概念。
通过比拟,建立概念。
在教学中充分发挥学生的主体地位,运用学生已有的知识“包含除〞来解决合作问题。
合理运用强化概念。
学生在感知的根底上,于头脑中初步形成了概念的表象,具备概念的原型。
一局部学生只是接受了概念,还没有完全消化概念O所以我编拟了练习题,目的在于通过学生运用,来帮助学生认识、理解、消化概念,使学生更加熟练的找到了工程问题的解题方法。
在学生人量练习后,引出含有数量的工作问题,让学生自己找到问题的答案。
从而又一次突出工程问题概念的核心。
在口常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的根本数量关系是一一工作量=工作效率X时间.
在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题〞•
举一个简单例子.:
一件工作,甲做10天可完成,乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成?
一件工作看成1个整体,因此可以把工作量算作1.所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是"天〞,1天就是一个单位
再根据根本数量关系式,得到
所需时间=工作量一工作效率
=6〔天〕?
两人合作需要6天.
这是工程问题中最根本的问题,这一讲介绍的许多例子都是从这一问题开展产生的.
为了计算整数化〔尽可能用整数进行计算〕,如第三讲例3和例8所用方法,把工作量多设份额.还是上题,10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份,乙每天完成2份.两人合作所需天数是
304-〔3+2〕=6〔天〕
数计算,就方便些.
:
2.或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例〞.甲、乙工作效率的比是15:
10=3:
2.当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也
需时间是
因此,在卞面例题的讲述中,不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1〞的做法,而偏重于“整数化〞或''从比例角度出发〞,也许会使我们的解题思路更灵活一些.
一、两个人的问题
标题上说的''两个人〞,也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
例1一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?
答:
乙需要做4天可完成全部工作.
解二:
9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份,乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
(18-2X3)4-3=4(天).
解三:
甲与乙的工作效率之比是
6:
9=2:
3.
甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4(天)•
例2—件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?
解:
共做了6天后,
原来,甲做24天,乙做24天,
现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天.
这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做,所需时间是
如果甲独做,所需时间是
答:
甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
例3某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合作,需48天完成•现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?
解:
先比照方下:
甲做63天,乙做28天;
甲做48天,乙做48天.
就知道甲少做63-48=15〔天〕,乙要多做48-28=20〔天〕,由此得出甲的
甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21〔天〕,相当于乙要做
因此,乙还要做
28+28=56〔天〕.
答:
乙还需要做56天.
例4一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天〔不存在两队同一天休息〕.问开始到完工共用了多少天时间?
解一:
甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完
成工作量
余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是
2+8+1=11〔天〕.
答:
从开始到完工共用了11天.
解二:
设全部工作量为30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作
〔30-3X8-IX2〕4-〔3+1〕=1〔天〕
■
解三:
甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做8天后,还余下〔甲队〕10-8=2〔天〕工作量.相当于乙队要做2X3=6〔天〕•乙队单独做2天后,还余下〔乙队〕6-2=4〔天〕工作量.
4=3+1,
其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天.
例5—项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了假设干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?
解一:
如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是
由于两队休息期间未做的工作量是
乙队休息期间未做的工作量是
乙队休息的天数是
答:
乙队休息了5天半.
解二:
设全部工作量为60份.甲每天完成3份
乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
〔3+2〕X16-60=20〔份〕.
因此乙休息天数是
〔20-3X3〕4-2=5.5〔天〕.
解三:
甲队做2天,相当于乙队做3天.
甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是
16-6-4.5=5.5〔天〕.
例6有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要
10天,单独完成乙工作要15天;李单独完成甲工作要8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?
解:
很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲,张先做乙.
设乙的工作量为60份〔15与20的最小公倍数〕,张每天完成4份,李每天完成3份.
8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作〔60-4X8〕份.由张、李合作需要
〔60-4X8〕4-〔4+3〕=4〔天〕.
8+4=12〔天〕.
答:
这两项工作都完成最少需要12天.
例7—项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合作,他
要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少
那么两人要合作多少天?
解:
设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份.
两人合作,共完成
3X0.8+2X0.9=4.2〔份〕.
因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是
〔30-3X8〕4-〔4.2-3〕=5〔天〕.
很明显,最后转化成“鸡兔同笼〞型问题.
例8甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时快
如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时?
解:
乙6小时单独工作完成的工作量是
乙每小时完成的工作量是
两人合作6小时,甲完成的工作量是
甲单独做时每小时完成的工作量
甲单独做这件工作需要的时间是
答:
甲单独完成这件工作需要33小时.
这一节的多数例题都进行了“整数化〞的处理
•但是,“整数化〞并不能使所有工程问题的计算简便•例8就是如此.例8也可以整数化,当求出乙每
有一点方便,但好处不犬.不必多此一举.
二、多人的工程问题
我们说的多人,至少有3个人,当然多人问题要比2人问题复杂一些,但是解题的根本思路还是差不多.
例9一件工作,甲、乙两人合作36天完成,
乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成?
解:
设这件工作的工作量是1.
甲、乙、丙三人合作每天完成
减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成
答:
甲一人独做需要90天完成.
例9也可以整数化,设全部工作量为180份,甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份,甲、丙合作每天完成3份.请试一试,计算是否会方便些?
例10—件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了假设干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作•问总共用了多少天?
解:
甲做1天,乙就做3天,丙就做3X2=6〔天〕.
说明甲做了2天,乙做了2X3=6〔天〕,丙做
2X6=12〔天〕,三人一共做了
2+6+12=20〔天〕.
答:
完成这项工作用了20天.
此题整数化会带来计算上的方便.12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了
例11一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天?
解:
丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的44-2=2〔倍〕,甲、乙合作1天,与乙做4天一样.也就是甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲需要
答:
甲独做需要26天.
事实上,当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3:
2:
1,就知甲做1天,相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天,其中乙、丙两人完成的工作量,可转化为甲再做13天来完成.
例12某项工作,甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作?
解一:
设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成
乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
答:
合作3天能完成这项工作.
解二:
甲组3人8天能完成,因此2人12天能完成;乙组4人7天能完成,因此7人4天能完成.
现在已不需顾及人数,问题转化为:
甲组独做12天,乙组独做4天,问合作几天完成?
小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型,如呆你心算较好,很快就能得出答数.
例13制作一批零件,甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件?
解一:
仍设总工作量为1.
甲每天比乙多完成
因此这批零件的总数是
丙车间制作的零件数目是
答:
丙车间制作了4200个零件.
解二:
10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份,甲、乙一起每天完成5份,由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起,8天完成.乙完成8X2=16〔份〕
丙完成30-16=14〔份〕,就知
乙、丙工作效率之比是16:
14=8:
7.
甲、乙工作效率之比是3:
2=12:
8.
综合一起,甲、乙、丙三人工作效率之比是
12:
8:
7.
当三个车间一起做时,丙制作的零件个数是
24004-〔12-8〕X7=4200〔个〕.
例14搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和E,甲在A仓库、乙在E仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完•问丙帮助甲、乙各多少时间?
解:
设搬运一个仓库的货物的工作量是1•现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是
答:
丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时.
解此题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间•此题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库全部工作量为60•甲每小时搬运6,乙每小时搬运5,丙每小时搬运4.
三人共同搬完,需要
60X24-〔6+5+4〕=8〔小时〕.
甲需丙帮助搬运
〔60-6X8〕十4=3〔小时〕.
乙需丙帮助搬运
〔60-5X8〕4-4=5〔小时〕.
三、水管问题
从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的•水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量•单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题,不过是工作量有加有减罢了.因此,水管问题与工程问题的解题思路根本相同.
例15甲、乙两管同时翻开,9分钟能注满水池•现在,先翻开甲管,10分钟后翻开乙管,经过3分钟就注满了水池.甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水,这个水池的容积是多少立方米?
解:
甲每分钟注入水量是:
〔1-19X3〕4-10=115
乙每分钟注入水量是:
19-115=245
因此水池容积是:
0.64-〔115-245〕=27〔
立方米〕
答:
水池容积是27立方米.
例16有一些水管,它们每分钟注水量都相等•现在翻开其中假设干根水管,经过预定的时间的13,再把翻开的水管增加一倍,就能按预定时间注满水池,如果开始时就翻开10根水管,中途不增开水管,也能按预定时间注满水池•问开始时翻开了几根水管?
分析:
增开水管后,有原来2倍的水管,注水时间是预定时间的1-13=23,23是13的2倍,因此增开水管后的这段时间的注水量,是前一段时间注水量的4倍。
设水池容量是1,前后两段时间的注水量之比为:
1:
4,
那么预定时间的13〔即前一段时间〕的注水量是1〔1+4〕=15o
10根水管同时翻开,能按预定时间注满水,每根水管的注水量是110,预定时间的13,每根水官的注水量是110X13=130
要注满水池的15,需要水管154-130=6〔
根〕
解:
前后两段时间的注水量之比为:
1:
[〔1-13〕-rl3X2]=l:
4
前段时间注水量是:
1*〔1+4〕=15
每根水管在预定13的时间注水量为:
1*10
X13=130
开始时翻开水管根数:
15*130=6〔根〕
答:
开始时翻开6根水管。
例17蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管.要灌满一池水,单开甲管需3小时,单开丙管需要5小时.要排光一池水,单开乙管需要4小,丁管需要6小时,现在水池内有六分之一的水,如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时,问多少时间后水开始溢出水池?
分析:
否那么开甲管的过程中水池里的水就会溢出.
以后〔20小时〕,池中的水已有
此题与广为流传的“青蛙爬井〞是相仿的:
一只掉进了枯井的青蛙,它要往上爬30尺才能到达井n,每小时它总是爬3尺,又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井II?
看起来它每小时只往上爬3-2=1〔尺〕,但爬了27小时后,它再爬1小时,往上爬了3尺已到达井口.
因此,答案是28小时,而不是30小时.
例18—个蓄水池,每分钟流入4立方米水.如果翻开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,如果翻开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空?
解:
先计算1个水龙头每分钟放出水量.
2小时半比1小时半多60分钟,多流入水
4X60=240〔立方米〕.
时间都用分钟作单位,1个水龙头每分钟放水量是
2404-〔5X150-8X90〕=8〔立方米
〕,
8个水龙头1个半小时放出的水量是
8X8X90,
其中90分钟内流入水量是4X90,因此原来水池中存有水8X8X90-4X90=5400〔立方米〕.
翻开13个水龙头每分钟可以放出水8X13,除去每分钟流入4,其余将放出原存的水,放空原存的5400,需要
54004-〔8X13-4〕=54〔分钟〕.
答:
翻开13个龙头,放空水池要54分钟.
水池中的水,有两局部,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑,解此题的关键是先求出池中原存有的水•这在题目中却是隐含着的.
例19一个水池,地下水从四壁滲入池中,每小时渗入水量是固定的•翻开A管,8小时可将满池水排空,翻开C管,12小时可将满池水排空.如果翻开A,E两管,4小时可将水排空.问翻开B,C两管,要几小时才能将满池水排空?
解:
设满水池的水量为1.
A管每小时排出
A管4小时排出
因此,B,C两管齐开,每小时排水量是
B,C两管齐开,排光满水池的水,所需时间是答:
B,C两管齐开要4小时48分才将满池水排完.
此题也要分开考虑,水池原有水〔满池〕和滲入水量.由于不知具体数量,像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1〞•但这两种量要防止混淆•事实上,也可以整数化,把原有水设为8与12的最小公倍数24.
17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本?
普遍算术?
一书,书中提出了一个“牛吃草〞问题,这是一道饶有趣味的算术题•从本质上讲,与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量:
原有草、新长出的草、牛吃掉的草•这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量,是完全类同的.
例20有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一
草;21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多
少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?
解:
吃草总量=一头牛每星期吃草量X牛头数
X星期数.根据这一计算公式,可以设定“一头牛每星期吃草量〞作为草的计量单位.
原有草+4星期新长的草=12X4.
原有草+9星期新长的草=7X9.
由此可得出,每星期新长的草是
(7X9-12X4)4-(9-4)=3.
那么原有草是
7X9-3X9=36(或者12X4-3X4).
对第三片牧场来说,原有草和18星期新长出草的总量是
这些草能让
90X7.24-18=36(头)
牛吃18个星期.
答:
36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.
例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的〞具体地求出来,把“原有的〞与“新长的〞两种量统一起来计算•事实上,如果例19再有一个条件,例如:
“翻开E管,10小时可以将满池水排空也就可以求出“新长的〞与“原有的〞之间数量关系•但仅仅是例19所求,是不需要加这一条件•好好想一想,你能明白其中的道理吗?
“牛吃草〞这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅,我们只再举一个例子.
例21画展9点开门,但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队,如果开5个入场口,9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分?
解:
设一个入场门每分钟能进入的观众为1个计算单位.
从9点至9点9分进入观众是3X9,
从9点至9点5分进入观众是5X5.
因为观众多来了9-5=4(分钟),所以每分钟来的观众是
(3X9-5X5)4-(9-5)=0.5.
9点前来的观众是
5X5-0.5X5=22.5.
这些观众来到需要
22.54-0.5=45〔分钟〕.
答:
第一个观众到达时间是8点15分.
挖一条水渠,甲、乙两队合挖要六天完成。
甲队先挖三天,乙队接着挖一天,可挖这条水渠的310,两队单独挖各需几天?
分析:
甲乙合作1天后,甲又做了2天共310-
16=430
24-〔310-16〕
=24-430
=15〔天〕
14-〔16-115〕=10〔天〕
答:
甲单独做要15天,乙单独做要10天•
.一件工作,如果甲单独做,那么甲按规定时
间可提前2天完成,乙那么要超过规定时间3天才完成。
现在甲乙二人合作二天后,剩下的乙单独做,刚好在规定口期内完成。
假设甲乙二人合作,完成工作需多长时间?
解设:
规定时间为X天.〔甲单独要X-2天,乙单
独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天〕
1(X-2)X2+X(X+3)=1
X=12
规定要12天完成
14-[1(12-2)+1(12+3)]
=1F(16)
=6天
答:
两人合作完成要6天.例:
一项工程,甲单独做63天,再由乙做28天完成,甲乙合作需要48天完成。
甲先做42天,乙做还要几天?
答:
设甲的工效为x,乙的工效为y
63x+28v=l
48x+48v=l
x=184
y=U12
乙还要做(1-4284)4-(1112)=56(天)
工程问题公式】
(1)一般公式:
工效X工时=工作总量:
工作总量*工时=工效:
工作总量*工效=工时。
(2)用假设工作总量为“1〞的方法解工程问题的公式:
1一工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几;
"单位时间能完成的几分之几=工作时间。
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