高考新课标3理科数学真题及答案详解.docx
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高考新课标3理科数学真题及答案详解
2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷Ⅲ)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分
150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=
A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)
4i
(2)若z=1+2i,则=
zzˉ-1
A.1B.-1C.iD.-i
(3)已知向量BA=(21,22),BC=(23,21),则∠ABC=
A.30°B.45°C.60°D.120°
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15°C,B点表示四月的平均最低气温约为5°C.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在0°C以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.
平均气温高于20°C的月份有5个
(7)执行右面的程序框图,如果输入的那么输出的n=
A.3B.4
C.5D.6
π1
8)在△ABC中,B=4π,BC边上的高等于3BC,则cosA=
10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB
x2y2
11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
x2+y2=1(a>b>0)左焦点,ab
A、B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于E,若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
(12)定义“规范01数列”{an}如下,{an}共有2m项,其中m为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,⋯ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有
第Ⅱ卷二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
x-y+1≥0
(13)若x,y满足约束条件x-2y≤0,则z=x+y的最大值为
x+2y-2≤0
(14)函数y=sinx-3cosx的图像可由函数y=sinx+3cosx图像至
少向右平移
个单位长度得到。
(15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y
=f(x),在点(1,-3)处的切线方程是.
(16)已知直线l:
mx+y=3m-3=0与圆x2+y2=12交于A、B两
点,过A、B分别作l的垂线与x轴并于C、D两点,若|AB|=23,
则|CD|=
三.解答题:
本大题共6小题,共70分,解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0,(Ⅰ)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
31
(Ⅱ)若S5=32,求λ。
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图
注:
年份代码1-7分别对应年份2008-2014.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用关系数加以说明;
(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我
国生活垃圾无害化处理
回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为:
=,=﹣.
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,
M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点。
Ⅰ)证明:
MN∥平面PAB
Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。
C
D
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A、B两点,交C的准线于P、Q两点,
(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:
AR∥FQ;
(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程。
(21)(本小题满分12分)
设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A,
(Ⅰ)求f'(x);
Ⅱ)求A;Ⅲ)证明|f'(x)|≤2A
请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,⊙O中A︵B的中点为P,弦PC、PD分别交AB于E、F两点。
(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(Ⅱ)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明:
OG⊥CD.
(23)(本题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cosθ(θ为参数),y=sinθ以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(+θ4π)=22.
(Ⅰ)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标。
(24)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a
(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(Ⅱ)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围。
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
第I卷
.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合Sx|(x2)(x3)0,Tx|x0,则SIT=
A.2,3B.,23,C.3,D.0,23,
答案】D
解析】易得S,23,,ST0,23,,选D
考点】解一元二次不等式、交集
(2)若z12i,则4i
zz1
答案】C
考点】共轭复数、复数运算
(3)已知向量BA12,23
,BC=(23
12),则ABC
A.30°B.45°C.60°D.120°
答案】A
解析】法一:
cosABCBABC
BABC112
3,ABC30
法二:
可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系,易知
ABx60,CBx30,ABC30
考点】向量夹角的坐标运算
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15C,B点表
示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在0C以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20C的月份有5个
【答案】D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C的月份有七
月、八月,六月为20C左右,故最多3个
考点】统计图的识别
3
(5)若tan4,则cos22sin2
答案】A
2
解析】
2cos4sincos14tan64cos2sin2222
cossin1tan25
考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
(6)已知a23,b33,c253,则
考点】程序框图
答案】A
42212
解析】a2343,b33,c25353,故cab
【考点】指数运算、幂函数性质
(7)执行右面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=
(8)在△ABC中,B4π,BC边上的高等于13BC,则
43
cosA
A.
310
10
B.
10
10
C.1100
310
10
DC2,AC5,由余弦
答案】C
解析】如图所示,可设BDAD1,则AB2,
定理知,
cosA
259
225
10
10
【考点】解三角形
(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为
A.18365B.54185C.90D.81
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体,上下底面为俯视图的一半,各个侧面平行四边形,故表面积为
2332362393654185
V的球.若AB⊥BC,AB=6,
考点】三视图、多面体的表面积
(10)
在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为
BC=8,AA1=3,则V的最大值是
径为2,
又AA1322,所以内接球的半径为3,即V的最大值为4R39
1232【考点】内接球半径的求法
22
(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
x2y21(ab0)的左焦点,A,B分别ab
为C的左,右顶点.
P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点
E.
若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
A.1B.1C.2D.33234
【答案】A
【解析】易得ONOBa,MFMFAFa
MFBFacOE2ONAOa
1aacac
2acaac
1
3
考点】椭圆的性质、相似
(12)定义“规范01数列”a{n}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,⋯,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()
A.18个B.16个C.14个D.12个
【答案】C
【解析】
01111
0111
0
1011
1
101
00111
0011
1
1101
011
10
101
0111
0011
1
0101
011
10
101
考点】数列、树状图
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分
xy10
(13)设x,y满足约束条件x2y0,则zxy的最大值为.
x2y20
【答案】3
2【解析】三条直线的交点分别为2,1,1,12,0,1,代入目标函数可得3,32,1,故最小值为10
【考点】线性规划
(14)函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的图像至少向右平移个单位长度得到.
答案】2
【解析】ysinx
3cosx2sinx3,ysinx3cosx2sinx3,故可前者
33
的图像可由后者向右平移2个单位长度得到
3
【考点】三角恒等变换、图像平移
(15)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)lnx3x,则曲线yfx在点1,3处的切线方程是
答案】2xy10
【解析】法一:
f'(x)x131x3,f'12,f'12,故切线方程为
2xy10
法二:
当x0时,fxfxlnx3x,f'x1x3,f'12,故切线方程
x
为2xy10
考点】奇偶性、导数、切线方程
(16)已知直线l:
mxy3m30与圆x2y212交于A,B两点,过A,B分别作l
的垂线与x轴交于C,D两点,若AB23,则|CD|
【答案】3
【解析】如图所示,作AEBD于E,作OFAB于F,
AB23,OA23,OF3,即
∴直线l的倾斜角为30°
CDAE23233
【考点】直线和圆、弦长公式三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分12分)
已知数列an的前n项和Sn=1+λna,其中λ≠0.
(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S53321,求λ.
【答案】
(1);
(2)
【解析】
解:
(1)Sn1an,0
an0
an1
当n2时,anSnSn11an1an1an
即1anan1,
0,an0,10,即1即an,n2,
an11
∴an是等比数列,公比q,
1当n=1时,S11a1a1,
2)若S5
【考点】等比数列的证明、由Sn求通项、等比数列的性质
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图.
附注:
77
yi9.32,tiyi40.17,i1i1
(yiy)20.55,7≈2.646.i1
n
(tit)(yiy)
参考公式:
rni1n,
nn
(tit)2(yiy)2i1i1
回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n
(tit)(yiy)bi1n,aybt
(tit)2
i1
答案】
(1)见解析;
(2)y0.920.10t,
1.82亿吨
解析】
(1)由题意得t12345674,
7yiyi11.331
7
7(tit)(yiy)ii
i1i140.17741.33
0.99
72727272280.55
(tit)2(yiy)2(tit)2(yiy)2
i1i1i1i1
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可
n
tiyintyi1
7
以用线性回归方程来拟合y与t的关系
(tit)(yiy)
(2)bi1n22.8890.103
228
(tit)2
i1
aybt1.330.10340.92
所以y关于t的线性回归方程为yabt0.920.10t
将t9代入回归方程可得,y1.82
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨
考点】相关性分析、线性回归
(19)(本小题满分12分)
答案】
(1)见解析;
(2)85
25
解析】
(1)由已知得AM32AD2,取BP的中点T,连接AT,TN,3
1
由N为PC中点知TN//BC,TN1BC2.
2
又AD//BC,故TN平行且等于AM,四边形AMNT为平行四边
3分
形,
于是MN//AT.
因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN//平面PAB.
6分
(2)取BC中点E,连接AE,则易知AEAD,又PA面ABCD,故可以
A为坐标原点,以AE为x轴,以AD为y轴,以AP为z轴建立空间直角坐
标系,
5
则A0,0,0、P0,0,4、C5,2,0、N2,1,2、M0,2,0
2
AN25,1,2
AN2,1,2
5
PM0,2,4,PNN2,1,2
2
故平面PMN的法向量n0,2,1
485
cosAN,n
525
52
直线AN与平面PMN所成角的正弦值为85
25
考点】线面平行证明、线面角的计算
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
答案】
(1)见解析;
(2)y2x1解析】
(1)法一:
1
由题设F(2,0).设l1:
ya,l2:
yb,则ab0,且
22
).
A(a2,a),B(b2,b),P(21,a),Q(12,b),R(12,a2b
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x(ab)yab0.3分
由于F在线段AB上,故1ab0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则abab1ab
k122bk2.
1aaabaa
所以AR∥FQ.5分
法二:
证明:
连接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°,∴∠PFQ=90°,
∵R是PQ的中点,∴RF=RP=RQ,
∴△PAR≌△FAR,
∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,∴∠FQB=∠PAR,
∴∠PRA=∠PQF,
∴AR∥FQ.
ab
2
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),
111则SABF2baFD2bax12,SPQF
由题设可得21bax1212,所以x10(舍去),x11.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kABkDE可得2y(x1).
abx1
而a2by,所以y2x1(x1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2x1.12分【考点】抛物线、轨迹方程
(21)(本小题满分12分)
设函数fxacos2xa1cosx1,其中a0,记fx的最大值为A.
(1)求f'x;
(2)求A;(3)证明:
f'x2A.
【答案】见解析
【解析】
(1)f'x2asin2xa1sinx
(2)当a1时,|f(x)||acos2x(a1)(cosx1)|a2(a1)3a2f(0)因此,A3a2.
当0a1时,将f(x)变形为f(x)2acos2x(a1)cosx1.
令g(t)2at2(a1)t1,则A是|g(t)|在[1,1]上的最大值,
1a
g
(1)a,g
(1)3a2,且当ta时,g(t)取得极小值,
4a
1a11
令114aa1,解得a13(舍去),a15.
1
①当0a时,g(t)在(1,1)内无极值点,|g
(1)|a,|g
(1)|23a,
5
|g
(1)||g
(1)|,所以A23a.
11a②当a1时,由g
(1)g
(1)2(1a)0,知g
(1)g
(1)g().
54a
23a,0a1
5
3a2,a1
(3)由
(1)得|f'(x)||2asin2x(a1)sinx|2a|a1|.
1'
当0a1时,|f'(x)|1a24a2(23a)2A.
5
【答案】见解析
【解析】
(1)连结PB,BC,则BFDPBABPD,PCDPCBBCD.
因为APBP,所以PBAPCB,又BPDBCD,所以BFDPCD.又PFDBFD180,PFB2PCD,所以3PCD180,因此PCD60.
(2)因为PCDBFD,所以PCDEFD180,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,因此OGCD.
【考点】几何证明选讲
(23)(本小题满分10分)选修44:
坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为x3cos(为参数)。
以坐标原点
为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求PQ的最小值及此时P的直角坐标.【答案】见解析
【解析】
(1)C1的普通方程为x3y21,C2的直角坐标方程为xy40.⋯⋯5分
3
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos,sin),因为C2是直线,所以|PQ|的最小值,
即为P到C2的距离d()的最小值,d()|3cossin4|2|sin()2|.
8分
当且仅当2k(kZ)时,d()取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐6
标为(23,21).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分【考点】坐标系与参数方程
(24)(本小题满分10分),选修45:
不等式选讲已知函数fx2xaa.
(1)当a=2时,求不等式fx6的解集;
(2)设函数gx2x1.当xR时,fxgx3,求a的取值范围。
【答案】
(1){x|1x3};
(2)[2,)
【解析】
(1)当a2时,f(x)|2x2|2.
解不等式|2x2|26,得1
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