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高考立体几何学问点总结
一,空间几何体
(一)
空间几何体地类型
1多面体:
由如干个平面多边形围成地几何体;围成多面体地各个多边形叫做多面体地
面,相邻两个面地公共边叫做多面体地棱,棱与棱地公共点叫做多面体地顶点;
2旋转体:
把一个平面图形绕它所在地平面内地一条定直线旋转形成了封闭几何体;其
中,这条直线称为旋转体地轴;
(二)
几种空间几何体地结构特点
1,棱柱地结构特点
1.1棱柱地定义:
有两个面相互平行,
其余各面都为四边
形,并且每相邻两个四边形地公共边都相互平行,由这些
面所围成地几何体叫做棱柱;
棱柱地分类
图1-1
棱柱
底面为四边形
底面为平行四边形
侧棱垂直于底面
棱柱
四棱柱
平行六面体
直平行
底面为矩形
底面为正方形
棱长都相等
六面体
性质:
长方体
正四棱柱
正方体
Ⅰ,侧面都为平行四边形,且各侧棱相互平行且相等;
Ⅱ,两底面为全等多边形且相互平行;Ⅲ,平行于底面地截面与底面全等;
棱柱地面积与体积公式
ch(c为底周长,h为高)
S直棱柱侧
S直棱柱表面=c·h+2S底
=S底·h
V
棱柱
2,棱锥地结构特点
棱锥地定义
(1)棱锥:
有一个面为多边形,其余各面为有一个公共顶点地三角形,由这些面所围成地几何体叫做棱锥;
(2)正棱锥:
假如有一个棱锥地底面为正多边形,并且顶点在底面地投影为底
1
第1页,共11页
面地中心,这样地棱锥叫做正棱锥;
正棱锥地结构特点
Ⅰ,平行于底面地截面为与底面相像地正多边形,
相像比等于顶点到截面地距
离与顶点究竟面地距离之比;它们面积地比等于截得地棱锥地高与原棱锥地高地
平方比;截得地棱锥地体积与原棱锥地体积地比等于截得地棱锥地高与原棱锥地高地立方比;
Ⅱ,正棱锥地各侧棱相等,各侧面为全等地等腰三角形;
1
ch'
2
P
(c为底周长,
h'为斜高)
正棱锥侧面积:
S
正棱椎
1
Sh(S为底面积,
3
D
C
体积:
V
h为高)
棱椎
O
H
A
B
正四周体:
2
2
对于棱长为a正四周体地问题可将它补成一个边长为
a地正方体问题;
2
2
对棱间地距离为
a(正方体地边长)
6a(
3
2
l
3
正四周体地高
)
正方体体对角线
23
a(V
12
1
V
正四周体地体积为
)
4V
正方体
小三棱锥
正方体
3
1
6
1
:
1:
3(
l正方体体对角线
l正方体体对角线
正四周体地中心究竟面与顶点地距离之比为
)
2
3,棱台地结构特点
棱台地定义:
用一个平行于底面地平面去截棱锥,我们把截面与底面之间地部分称为棱台;
正棱台地结构特点
(1)各侧棱相等,各侧面都为全等地等腰梯形;
(2)正棱台地两个底面与平行于底面地截面都为正多边形;
(3)正棱台地对角面也为等腰梯形;
(4)各侧棱地延长线交于一点;
4,圆柱地结构特点
圆柱地定义:
以矩形地一边所在地直线为旋转轴,其余各边旋转而形成地曲面所围成地几何体叫圆柱;
2
第2页,共11页
圆柱地性质
(1)上,下底及平行于底面地截面都为等圆;
(2)过轴地截面(轴截面)为全等地矩形;
圆柱地侧面绽开图:
圆柱地侧面绽开图为以底面周长与母线长为邻边地矩形;
圆柱地面积与体积公式
S圆柱侧面=2π·r·h
(r为底面半径,h为圆柱地高)
S圆柱全=2πrh+2πr2
圆柱=S底h=π2hr
V
5,圆锥地结构特点
圆锥地定义:
以直角三角形地始终角边所在地直线为旋转轴,其余各边旋转而形成地曲面所围成地几何体叫做圆锥;
圆锥地结构特点
(1)平行于底面地截面都为圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面地距离与顶点究竟面地距离之比;
(2)轴截面为等腰三角形;
(3)母线地平方等于底面半径与高地平方与:
l=r+h
图1-5圆锥
2
2
2
圆锥地侧面绽开图:
圆锥地侧面绽开图为以顶点为圆心,以母线长为半径
地扇形;
6,圆台地结构特点
圆台地定义:
用一个平行于底面地平面去截圆锥,我们把截面与底面之间地部分称为圆台;
圆台地结构特点
⑴
⑵
⑶
圆台地上下底面与平行于底面地截面都为圆;
圆台地截面为等腰梯形;圆台常常补成圆锥,然后利用相像三角形进行讨论;
圆台地面积与体积公式
S圆台侧=π·(R+r)·l
(r,R为上下底面半径)
π·r2+π·R2+π·(R+r)·l
S圆台全=
圆台=1/3(rπ2+
πR2+πrR)h
V
(h为圆台地高)
7球地结构特点
球地定义:
以半圆地直径所在地直线为旋转轴,半圆旋转一周形成地旋转体叫做球体;间中,与定点距离等于定长地点地集合叫做球
空
3
第3页,共11页
面,球面所围成地几何体称为球体;
7-2球地结构特点
⑴球心与截面圆心地连线垂直于截面;
⑵截面半径等于球半径与截面与球心地距离地平方差:
★7-3球与其他多面体地组合体地问题
r2
=R2–d2
球体与其他多面体组合,包括内接与外切两种类型,解决此类问题地基本思路
为:
⑴
⑵
⑶
⑷
依据题意,确定为内接仍为外切,画出立体图形;
找出多面体与球体连接地地方,找出对球地合适地切割面,然后做出剖面图;将立体问题转化为平面几何中圆与多边形地问题;留意圆与正方体地两个关系:
球内接正方体,球直径等于正方体对角线;
球外切正方体,球直径等于正方体地边长;
7-4球地面积与体积公式
S球面=4π2R
(R为球半径)
球=4/3π3R
V
(三)空间几何体地表面积与体积
空间几何体地表面积棱柱,棱锥地表面积:
各个面面积之与
r2
圆柱地表面积
:
S
2
rl
2
2
S
rl
r
圆锥地表面积:
2
2
S
4
rl
r
Rl
R
圆台地表面积:
2
S
R
球地表面积:
2
n
R
11
lr=
2(其中l表示弧长,
r表示半径,
扇形地面积公式
表示弧度)
S
r
扇形
360
2
2
空间几何体地体积
:
V
S底
h
柱体地体积
1
S
锥体地体积
:
V
h
底
3
1
(
台体地体积
:
V
S
S
S
S)
h
上
上
下
下
3
4
3
3
V
R
球体地体积:
4
第4页,共11页
(四)空间几何体地三视图与直观图
正视图:
光线从几何体地前面对后面正投影,得到地投影图;侧视图:
光线从几何体地左边向右边正投影,得到地投影图;俯视图:
光线从几何体地上面对右边正投影,得到地投影图;
★画三视图地原就:
正俯长相等,正侧高相同,俯侧宽一样注:
球地三视图都为圆;长方体地三视图都为矩形直观图:
斜二测画法
斜二测画法地步骤:
(1)平行于坐标轴地线依旧平行于坐标轴;
(2)平行于y轴地线长度变半,平行于
(3)画法要写好
x,z轴地线长度不变;
用斜二测画法画出长方体地步骤:
(1)画轴
(2)画底面(
3)画侧棱(
4)成图
二
,点,直线,平面之间地关系
(一),立体几何网络图:
⑹
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
公理
线线平行
线面平行
面面平行
4
⑾
⒀
⑿
⒁
⑺
三垂线定理
⑼
⑽
⒂
⒃
线线垂直
线面垂直
面面垂直
三垂线逆定理
⑻
1,线线平行地判定:
(1),平行于同始终线地两直线平行;
(3),假如一条直线与一个平面平行,经过这条直线地平面与这个平面相交,那
么这条直线与交线平行;
(6),假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们地交线平行;
(12),垂直于同一平面地两直线平行;
2,线线垂直地判定:
(7),在平面内地一条直线,假如与这个平面地一条斜线地射影垂直,那么它也
与这条斜线垂直;
(8),在平面内地一条直线,假如与这个平面地一条斜线垂直,那么它与这条斜
线地射影垂直;
5
第5页,共11页
(10),如始终线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内全部直线;
补充:
一条直线与两条平行直线中地一条垂直,也必垂直平行线中地另一条;
3,线面平行地判定:
(2),假如平面外地一条直线与平面内地一条直线平行,
那么这条直线与这个平
面平行;
(5),两个
面内地直线判定定理:
平面平行,其中一个平
必平行于另一个平面;
性质定理:
★判定或
证明线面平行地方法
⑴
利用定义(反证法):
lI
,就l∥α(用于判定);
⑵
⑶
⑷
利用判定定理:
线线平行
利用平面地平行:
面面平行
线面平行
(用于证明);
线面平行
(用于证明);
(用于判定);
利用垂直于同一条直线地直线与平面平行
2线面斜交与线面角:
l∩α=A
2.1直线与平面所成地角(简称线面角):
如直线与平面斜交,
就平面地斜线与该斜线在平面内射影地夹角
线面角地范畴:
θ∈[0°,90°]
θ;
留意:
当直线在平面内或者直线平行于平面时,
θ=0;°
图2-3线面角
当直线垂直于平面时,
4,线面垂直地判定:
θ=90°
⑼假如始终线与平面内地两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面;
⑾假如两条平行线中地一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面;
⒁始终线垂直于两个平行平面中地一个平面,它也垂直于另一个平面;
⒃假如两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线地直线必垂直于另—个平
面;
判定定理:
6
第6页,共11页
性质定理:
(1)如直线垂直于平面,就它垂直于平面内任意一条直线;
即:
(2)垂直于同一平面地两直线平行;
即:
★判定或证明线面垂直地方法
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
利用定义,用反证法证明;
利用判定定理证明;一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,就另一条直线也垂直与平面;一条直线垂直于两平行平面中地一个,就也垂直于另一个;
假如两平面垂直,在一平面内有始终线垂直于两平面交线,
另一平面;
就该直线垂直于
★三垂线定理及其逆定理
⑴斜线定理:
从平面外一点向这个平面所引地全部线段中,斜线相等就射影相等,斜线越长就射影越长,垂线段最短;
如图:
⑵三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α,斜线PA在平面α内地射影为OA,a为平面α内地一条直线;
①三垂线定理:
如a⊥OA,就a⊥PA;即垂直射影就垂直斜线;
②三垂线定理逆定理:
如a⊥PA,就a⊥OA;即垂直斜线就垂直射影;
⑶三垂线定理及其逆定理地主要应用
图2-7斜线定理
图2-8三垂线定理
①
②
③
证明异面直线垂直;
作出与证明二面角地平面角;作点到线地垂线段;
5,面面平行地判定:
⑷一个平面内地两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行;
⒀垂直于同一条直线地两个平面平行;
6,面面垂直地判定:
⒂一个平面经过另一个平面地垂线,这两个平面相互垂直;判定定理:
性质定理:
7
第7页,共11页
⑴如两面垂直,就这两个平面地二面角地平面角为
90°
;
(2)
(3)
图2-10面面垂直性质2
(4)
图2-11面面垂直性质
3
(二),其他定理:
(1)确定平面地条件:
①不公线地三点;②直线与直线外一点;③相交直线;
(2)直线与直线地位置关系:
相交
;平行;异面;
直线与平面地位置关系:
在平面内
;平行;相交(垂直为它地特别情形)
;
平面与平面地位置关系:
相交
;;平行
;
(3)等角定理:
假如两个角地两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等;
假如两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成地锐角(或直角)相等;
(4)射影定理(斜线长,射影长定理):
从平面外一点向这个平面所引地垂线段
与斜线段中,射影相等地两条斜线段相等;射影较长地斜线段也
较长;反之,斜线段相等地射影相等;斜线段较长地射影也较长;
垂线段比任何一条斜线段都短;
(5)最小角定理:
斜线与平面内全部直线所成地角中最小地为与它在平面内射
影所成地角;
(6)异面直线地判定:
①反证法;
②过平面外一点与平面内一点地直线,与平面内不过该点地直线为异面直线;
(7)过已知点与一条直线垂直地直线都在过这点与这条直线垂直平面内;
8
第8页,共11页
(8)假如—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面地交线;
(三),唯独性定理:
(1)过已知点,有且只能作始终线与已知平面垂直;
(2)过已知平面外一点,有且只能作一平面与已知平面平行;
(3)过两条异面直线中地一条能且只能作一平面与另一条平行;
四,空间角地求法:
(全部角地问题最终都要转化为解三角形地问题,特别为直
角三角形)
(1)异面直线所成地角:
通过直线地平移,把异面直线所成地角转化为平面内相
o
0
o
90;
交直线所成地角;异面直线所成角地范畴:
0o;②线面
(2)线面所成地角:
①线面平行或直线在平面内:
线面所成地角为
90o;
垂直:
线面所成地角为
o
0
o
90;即也就为斜线与它在平面内地射影
③斜线与平面所成地角:
范畴
所成地角;
0o
90o
线面所成地角范畴
(3)二面角:
关键为找出二面角地平面角;方法有:
①定义法;②三垂线定理
法;③垂面法;
0o
180o;
二面角地平面角地范畴:
五,距离地求法:
(1)点点,点线,点面距离:
点与点之间地距离就为两点之间线段地长,点与
线,面间地距离为点到线,面垂足间线段地长;求它们第一要找到表示距离地线
段,然后再运算;
留意:
求点到面地距离地方法:
①直接法:
直接确定点到平面地垂线段长
(垂线段一般在二面角所在地平面上)
;
②转移法:
转化为另一点到该平面地距离(利用线面平行地性质)
;
③体积法:
利用三棱锥体积公式;
(2)线线距离:
关于异面直线地距离,常用方法有:
9
第9页,共11页
①定义法,关键为确定出
a,b地公垂线段;
②转化为线面距离,即转化为
a与过b而平行于a地平面之间地距离,关键为找
出或构造出这个平面;③转化为面面距离;
(3)线面,面面距离:
线面间距离面面间距离与线线间,点线间距离常常相互
转化;
六,常用地结论:
(1)如直线l在平面
内地射影为直线l,直线m为平面
内经过l地斜足地一
条直线,l与l
所成地角为
1,l与m所成地角为
l与m所成地角为
,就
2
这三个角之间地关系为
coscos;
cos
1
2
(2)如何确定点在平面地射影位置:
①Ⅰ,假如一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那么这点在平面上地射影在这个角地平分线上;
Ⅱ,经过一个角地顶角引这个角所在平面地斜线,假如斜线与这个角地两边夹角相等,那么斜线上地点在平面上地射影在这个角地平分线所在地直线上;
Ⅲ,假如平面外一点到平面上两点地距离相等,就这一点在平面上地射影在以这两点为端点地线段地垂直平分线上;
②垂线法:
假如过平面外一点地斜线与平面内地一条直线垂直,那么这一点
在这平面上地射影在过斜足且垂直于平面内直线地直线上
线定理与逆定理);
③垂面法:
假如两平面相互垂直,那么一个平面内任一点在另一平面上地射影在这两面地交线上(面面垂直地性质定理);
④整体法:
确定点在平面地射影,可先确定过一点地斜线这一整体在平面内
地射影;
(三垂
(3)在四周体
ABCD中:
①如
AB
CD,BC
AD
,就AC
BD;且A在平面BCD上地射影为
BCD
地垂心;
②如
③如
AB
AC
AD,就A在平面BCD上地射影为
BCD地外心;
A到BC,CD,BD边地距离相等,就
A在平面BCD上地射影为
BCD地
内心;
(4)异面直线上两点间地距离公式:
如异面直线所成地角为
,它
a
E
A’
们公垂线段
AA'地长为d,在
a,b上分别取一点
E,F
,
设A'E
m,AF
n;
E’
A
b
2
d
2
m
2
n
F
就EF
2mncos
10
第10页,共11页
(假如
E'AF为锐角,公式中取负号,假如
E'AF为钝,公式中取
正号)
11
第11页,共11页
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