导数公式的证明最全版.docx
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导数公式的证明最全版
导数的定义:
f'(x)=lim△y/△x
△XT0(下面就不再标明△XT0了)
用定义求导数公式
(1)f(x)=xAn
证法一:
(n为自然数)
f'(x)
=lim[(x+Ax)An-xAn]/△x
=lim(x+Ax-x)[(x+Ax)a(n-1)+x*(x+Ax)a(n-2)+…+xA(n-2)*(x+△x)+xA(n-1)]/△x
=lim[(x+Ax)A(n-1)+x*(x+Ax)A(n-2)+…+xA(n-2)*(x+Ax)+xA(n-1)]
=xA(n-1)+x*xA(n-2)+xA2*xA(n-3)+...xA(n-2)*x+xA(n-1)
=nxA(n-1)
证法二:
(n为任意实数)
f(x)=xAn
lnf(x)=nlnx
(lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)/f(x)=n/x
f'(x)=n/x*f(x)
f'(x)=n/x*xAn
f'(x)=nxA(n-1)
(2)f(x)=sinx
f'(x)
=lim(sin(x+Ax)-sinx)/△x
=lim(sinxcos^x+cosxsin^x-sinx)/△x
=lim(sinx+cosxsinAx-sinx)/△x
=limcosxs也x/△x
=cosx
(3)f(x)=cosxf'(x)=lim(cos(x+Ax)-cosx)/△x
=lim(cosxcosAx-sinxsinAx-cosx)/^x
-cos)/△x=lim(cosxsinxsinAx=lim-sinxsinAx/△x=-sinxf(x)=aAx)(4证法一:
f'(x)
-aAx)/△x=lim(aA(x+Ax)1)/△x=limaAx*(aA△x-92/
(设aA^x-1=口,贝卩4x=logaA(m+1))
=limaAx*m/logaA(m+1)
=limaAx*m/[ln(m+1)/lna]
=limaAx*lna*m/ln(m+1)
=limaAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)]
=limaAx*lna/ln[(m+1)A(1/m)]
=limaAx*lna/lne
=aAx*lna
证法二:
f(x)=aAx
lnf(x)=xlna
[lnf(x)]'=[xlna]'
f'(x)/f(x)=lna
f'(x)=f(x)lna
f'(x)=aAxlna
若a=e,原函数f(x)=eAx
则f'(x)=eAx*lne=eAx
(5)f(x)=logaAx
f'(x)
3/9
=lim(logaA(x+Ax)-logaAx)/△x
=limlogaA[(x+Ax)/x]/△x
=limlogaA(1+△x/x)/△x
=limIn(〔+△x/x)/(lna*△x)
=limx*ln(1+△x/x)/(x*Ina*△x)
=lim(x/△x)*In(1+△x/x)/(x*lna)
=limln[(1+△x/x)A(x/△x)]/(x*Ina)
=limlne/(x*lna)
=1/(x*lna)
若a=e,原函数f(x)=logeAx=lnx
则f'(x)=1/(x*lne)=1/x
(6)f(x)=tanx
f'(x)
=lim(tan(x+Ax)-tanx)/△x
=lim(sin(x+Ax)/cos(x+Ax)-sinx/cosx)/Ax
=lim(sin(x+Ax)cosxsinxcos(x+Ax)/(△xcosxcos(x+Xx))
=lim
(sinxcosAxcosx+sinAxcosxcosxsinxcosxcosXx+sinxsinxsinAx)/(△xcosxcos(x+Xx))
=limsinAx/(△xcosxcos(x+Xx))
=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A2
7)f(x)=cotxf'(x)
=lim(cot(x+Ax)-cotx)/△x
=lim(cos(x+Ax)/sin(x+Ax)-cosx/sinx)/Ax
=lim(cos(x+Ax)sinx~cosxsin(x+Ax))/(Axsinxsin(x+Ax))
=lim
(cosxcosAxsinx-sinxsinxsinAx-cosxsinxcosAx-cosxsinAxcosx)/(A
xsinxsin(x+Ax))
=lim-sinAx/(Axsinxsin(x+Ax))
=-1/(sinx)八2二-cscx/sinx二(secx)八2=1-(cotx)八2
(8)f(x)=secx
f'(x)
=lim(sec(x+Ax)-secx)/Ax
=lim(1/cos(x+Ax)-1/cosx)/Ax
=lim(cosx-cos(x+Ax)/(AxcosxcosAx)
=lim(cosx-cosxcosAx+sinxsinAx)/(Axcosxcos(x+Ax))
=limsinxsinAx/(Axcosxcos(x+Ax))
=sinx/(cosx)八2二tanx*secx
9)f(x)=cscx
f'(x)=lim(csc(x+Ax)-cscx)/Ax
5/9
=lim(1/sin(x+Ax)-1/sinx)/△x
=lim(sin*sin(x+Ax))/(△xsinxsin(x+Ax))
=lim(sin*sinxcos^x-sinAxcosx)/(Axsinxsin(x+Ax))
=lim-sin△xcosx/(Axsinxsin(x+Ax))
=-cosx/(sinx)八2二cotx*cscx
(10)f(x)=xAx
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'=(xlnx)'
f'(x)/f(x)=lnx+1
f'(x)=(lnx+1)*f(x)
f'(x)=(lnx+1)*xAx
(12)h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim(f(x+△x)g(x+Ax)-f(x)g(x))/Ax
=lim[(f(x+△x)-f(x)+f(x))*g(x+Ax)+(g(x+Ax)-g(x)-g(x+Ax))*f(x)]/△x
=lim[(f(x+△x)-f(x))*g(x+△x)+(g(x+Ax)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+△x)-f(x)*g(x+
△x)]/△x
=lim(f(x+Ax)-f(x))*g(x+△x)/△x+(g(x+Ax)-g(x))*f(x)/△x
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(13)h(x)=f(x)/g(x)
6/9
h'(x)
=lim(f(x+Ax)/g(x+Ax)-f(x)g(x))/Ax
=lim(f(x+Ax)g(x)-f(x)g(x+Ax))/(Axg(x)g(x+Ax))
=lim[(f(x+Ax)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Ax)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Axg(x)g(x+Ax))
=lim[(f(x+Ax)-f(x))*g(x)-(g(x+Ax)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Axg(x)g(x+Ax))
=lim(f(x+Ax)-f(x))*g(x)/(Axg(x)g(x+Ax))-(g(x+Ax)-g(x))*f(x)/(Axg(x)g(x+Ax))
=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))
=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x
(14)h(x)=f(g(x))
h'(x)
=lim[f(g(x+Ax))-f(g(x))]/Ax
=lim[f(g(x+Ax)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Ax(另g(x)=u,g(x+Ax)-g(x)=Au)
=lim(f(u+Au)-f(u))/△x
=lim(f(u+Au)-f(u))*Au/(Ax*Au)
=limf(u)*Au/Ax
=limf'(u)*(g(x+Ax)-g(x))/Ax
=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)
(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1,因为函数与反函数
关于y=x对称,所以导数也关于y=x对称,所以导数的乘积为1)
(15)y=f(x)=arcsinx
7/9
siny二x贝U(siny)'=cosy
所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy
-(siny)八2=1/V1(siny=x)
-xA2=1/V1-xA2f(x)=1/V1即(16)y=f(x)=arctanx
tany=x
贝(tany)'=1+(tany)A2=1+xA2
所以(arctanx)'=1/1+xA2
f(x)=1/1+xA2即总结一下'二nxA(n-1)xAn)('=cosxsin)('=-sinx)(cosx'=aAxlna)(aAx'=eAxeAx)('=1/(xlna)
)(logaAx8/9
lnx)'=1/x
(tanx)'=(secx)八2=1+(tanx)八2(cotx)'=-(cscx)八2二1-(cotx)八2(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(xAx)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/V1/2(arctanx)'=1/1+xA2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
9/9
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