奥数中的和差问题教学内容.docx

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奥数中的和差问题教学内容

在上海，随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要的商业圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。

在人民广场地下“的美”购物中心，有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。

9、如果你亲戚朋友送你一件DIY手工艺制品你是否会喜欢？

（三）DIY手工艺品的“自助化”

服饰□学习用品□食品□休闲娱乐□小饰品□

与此同时，上海市工商行政管理局也对大学生创业采取了政策倾斜：

凡高校毕业生从事个体经营的，自批准经营日起，１年内免交登记注册费、个体户管理费、集贸市场管理费、经济合同鉴证费、经济合同示范文本工本费等，但此项优惠不适用于建筑、娱乐和广告等行业。

关于DIY手工艺制品的消费调查

Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。

5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受？

在大学生对DIY手工艺品价位调查中，发现有46%的女生认为在十元以下的价位是可以接受；48%的认为在10-15元；6%的则认为50-100元能接受。

如图1-2所示

图1-1大学生月生活费分布和差问题、和倍问题、差倍问题

一、和差问题：

已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题。

基本数量关系是：

（和＋差）÷2＝大数

（和－差）÷2＝小数

解答和差应用题的关键是选择合适的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。

例1：

有甲乙两堆煤，共重52吨，已知甲比乙多4吨，两堆煤各重多少吨？

分析：

根据公式，我们要找出两个数的和与差，就能解决问题。

由题意：

堆煤共重52吨知：

两数和是52；甲比乙多4吨知：

两数差是4。

甲的煤多，甲是大数，乙是小数。

故解法如下：

甲：

（52+4）÷2=28（吨）

乙：

28-4=24（吨）

例2：

两只笼子里共有15只鸡，从甲笼提出3只后，甲笼比乙笼还多2只，两只笼子原来各有多少只鸡？

分析：

从题意知：

甲比乙多5只，所以，两数和是15，两数差是5.甲是大数。

甲：

（15+5）÷2=10（只）

乙：

15-10=5（只）

练习：

1、两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨，两堆石子各有多少吨？

2、黄茜和胡敏两人今年的年龄是23岁，4年后，黄茜比胡敏大3岁，问黄茜和胡敏今年各是多少岁？

3、把长84厘米的铁丝围成一个使长比宽多6厘米的长方形。

长和宽各是多少厘米？

二、和倍问题

已知两个数的和，又知两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少，这类问题称为和倍问题。

解决和倍问题的基本方法：

将小数看成1份，大数是小数的n倍，大数就是n份，两个数一共是n+1份。

基本数量关系：

小数=和÷（n+1）

大数=小数×倍数或和-小数=大数

例1：

甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书是乙班的3倍，甲乙两班各有图书多少本？

分析：

从题目中知，乙班的图书数较少，故乙是小数，占1份，甲占（3+1）份。

乙：

160÷（3+1）=40（本）

甲：

160-40=120（本）

例2：

果园里有梨树和桃树共165棵，桃树棵数比梨树棵数的2倍少6棵，梨树和桃树各多少棵？

分析：

由题意，桃树增加6棵，桃树正好是梨树的2倍，这时总数就是：

165+6=171，这样就转化成标准和倍问题，将梨树看成1份，一共是3份。

梨树的棵数：

171÷3=57，求桃树的棵数时要减去6棵。

桃树：

171-57-6=108

梨树：

（165）÷（2+1）=57（棵）

桃树：

171-57-6=108（棵）

练习：

1、小明和小强共有图书120本，小明的图书是小强的2倍，他们两人各有图书多少本？

2、果园里一共有桃树和杏树340棵，其中桃树比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？

3、甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使仓库的存粮是乙仓库的3倍，那么必须人乙仓库运出多少吨放入甲仓库？

4、一个长方形的周长是是30厘米，长是宽的2倍，求长方形的面积是多少？

三、差倍问题

已知两个数的差，并且知道两个数倍数关系，求这两个数，这样的问题称为差倍问题。

解决差倍问题的基本方法：

设小是1份，如果大数是小数的n倍，根据数量关系知道大数是n份，又知道大数与小数的差，即知道n-1份是几，就可以求出1份是多少。

基本数量关系：

小数=差÷（n-1）

大数=小数×n或大数=差+小数

例1：

一张桌子的价格是一把椅子的3倍，购买一张桌子比一把椅子贵60元。

问桌椅各多少元？

分析：

桌子的价格与椅子的价格的差是60，将椅子看成小数占1份，桌子占3份，份数差为3-1，根据数量关系：

椅子的价格：

60÷（3-1）=30（元）

桌子的价格：

30+60=90（元）

例2：

两筐重量相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐剩余的苹果是乙筐的3倍，原来两筐各有苹果多少千克？

分析：

两筐苹果的重量相同，故两筐卖出的数量差即是原来苹果的数量差。

两筐苹果的差为19-7=12（千克），将乙筐看成1份，甲筐为3份，份数差为2.

乙筐现有苹果：

（19-7）÷（3-1）=6（千克）

乙筐原来有：

6+19=25（千克）

甲筐原来有25千克。

练习：

1、甲桶酒是乙桶酒重量的5倍，如从甲桶中取出20千克到入乙桶，那么两桶酒重量相等。

两桶酒原来各多少千克？

2、六、一班有花盆的数量是六、二班的3倍，如果六、一班再购买20个花盆后，两班花盆数相等，两班原有花盆多少个？

作业：

1、甲、乙两桶油共重100千克，从甲桶中取出5千克放入乙桶中，此时两桶油正好相等。

求两桶油原来各有多少千克？

2、甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放入乙箱中，则两箱中洗衣粉的袋数相等。

求原来两箱洗衣粉各有多少袋？

3、刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步，每天跑6圈，共跑2400米，问这个操场的面积是多少平方米？

4、小强今年15岁，小亮今年9岁。

几年前小强的年龄是小亮的3倍？

5、有两段一样长的绳子，第一根剪去21米，第二根剪去13米后是第一根剩下的3倍，两根绳子原来有多长？

6、老猫和小猫去钓雨，老猫钓的鱼是小猫的3倍，如果老猫给小猫3条后，小猫比老猫还少2条。

两只猫各钓了多少条鱼？

7、学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人，今年人数比去年的3倍少35人，今年有多少人？

和倍问题

　　和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

　　分析设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：

　　解：

乙班：

160÷（3+1）=40（本）

　　甲班：

40×3=120（本）

　　或160-40=120（本）

　　答：

甲班有图书120本，乙班有图书40本。

　　这道应用题解答完了，怎样验算呢？

　　可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。

　　验算：

120＋40=160（本）

　　120÷40=3（倍）。

例2甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？

　　分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。

　　解：

①甲、乙两班共有图书的本数是：

　　30＋120=150（本）

　　②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：

　　2＋1＝3（倍）

　　③乙班现有的图书本数是：

150÷3=50（本）

　　④甲班给乙班图书本数是：

50-30=20（本）

　　综合算式：

　　（30＋120）÷（2+1）=50（本）

　　50-30=20（本）

　　答：

甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。

　　验算：

（120-20）÷（30+20）＝2（倍）

　　（120-20）+（30+20）＝150（本）。

例3光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

　　分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。

解：

①女生人数：

（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

　　②男生人数：

200×3-40=560（人）

　　或760-200=560（人）

　　答：

男生有560人，女生有200人。

　　验算：

560＋200=760（人）

　　（560+40）÷200=3（倍）。

例4果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

　　分析下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。

解：

①梨树的棵数：

　　（552＋20-12）÷（1＋1＋2）

　　=560÷4=140（棵）

　　②桃树的棵数：

140×2＋12=292（棵）

　　③苹果树的棵数：

140-20=120（棵）

　　答：

桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。

例5549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？

　　分析上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。

　　解：

①丙数是：

（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）

　=549÷9

　　=61

　　②甲数是：

61×2-2=120

　　③乙数是：

61×2＋2=124

　　④丁数是：

61×4=244

　　验算：

120+124＋61+244=549

　　120＋2=122124-2=122

　　61×2＝122244÷2＝122

　　答：

甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.

差倍问题

　　前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。

　　“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

　　差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

例1甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

　　分析上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。

　　解：

①乙班的本数：

80÷（3-1）=40（本）

②甲班的本数：

40×3=120（本）

　　或40＋80=120（本）。

　　验算：

120-40＝80（本）

　　120÷40=3（倍）

　　答：

甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？

　　分析这样想：

根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。

　　解：

①运来萝卜：

（1800-300）÷（3-1）=750（千克）

　　②运来白菜：

750×3=2250（千克）

　　验算：

　　2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）

　　750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）

　　答：

菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。

例3有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

　　分析上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

解：

①第一根截去12米剩下的长度：

　　（12+14）÷（3-1）＝13（米）

　　②两根绳子原来的长度：

13＋12＝25（米）

　　答：

两根绳子原来各长25米。

　　自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.

　　小结：

解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数。

解题规律：

　　差÷倍数的差=1倍数（较小数）

　1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）

　　或：

较小的数+差=较大的数。

例4三

（1）班与三

（2）班原有图书数一样多.后来，三

（1）班又买来新书74本，三

（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三

（1）班图书是三

（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？

　　分析两个班原有图书一样多.后来三

（1）班又买新书74本，即增加了74本；三

（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三

（1）班比三

（2）班多了170本图书.又知三

（1）班现有图书是三

（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三

（2）班所剩图书的3-1=2倍，三

（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。

解：

①后来三

（1）班比三

（2）班图书多多少本？

　　74＋96=170（本）

　②三

（2）班剩下的图书是多少本？

　　170÷（3-1）=85（本）

　　③三

（2）班原有图书多少本？

　　85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）

　　综合算式：

　　（74＋96）÷（3-1）＋96

　　＝170÷2+96

　　＝85＋96

　　=181（本）

　　验算：

181+74=255（本）

　　181-96=85（本）

　　255÷85=3（倍）

　　答：

两班原来各有图书181本。

例5两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？

　　分析已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。

　解：

①第二块布比第一块布多剩多少米？

　　31-19＝12（米）

　　②第一块布剩下多少米？

　　12÷（4-1）=4（米）

　　③第一块布原有多少米？

　　4+31=35（米）（两块布原有长度相等）

　　综合列式：

　　（31-19）÷（4-1）+31

　　=12÷3+31

　　=4＋31

　　=35（米）

　　验算：

35-31=4（米）

　　35-19＝16（米）

　　16÷4＝4（倍）

　　答：

每块布原有35米长。

和差问题

　　和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

　　为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

　　例：

“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。

　　再例：

“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下3支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里3×2=6支，就是暗差。

　　“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

例1两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？

　　分析这样想：

假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.

解法1：

①第二筐重多少千克？

　　（150-8）÷2=71（千克）

　　②第一筐重多少千克？

　　71＋8=79（千克）

　　或150-71=79（千克）

　　解法2：

①第一筐重多少千克？

　　（150+8）÷2＝79（千克）

　　②第二筐重多少千克？

　　79-8=71（千克）

或150-79=71（克）

　　答：

第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

　　分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。

解：

①爸爸的年龄：

　　[58＋（35-7）]÷2

　　=[58＋28]÷2

　　=86÷2

　　=43（岁）

　　②小强的年龄：

　　58-43＝15（岁）

　　答：

当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

例3小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？

　　分析解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.

　　解：

①语文和数学成绩之和是多少分？

94×2＝188（分）

　　②数学得多少分？

　　（188+8）÷2＝196÷2=98（分）

　　③语文得多少分？

　　（188-8）÷2=180÷2=90（分）

　　或98-8=90（分）

　　答：

小明期末考试语文得90分，数学得98分.

例4甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？

　　分析这样想：

甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多32×2+48＝112（人）.112是两校人数差。

解：

①乙校原有的学生：

　　（864-32×2-48）÷2＝376（人）

　　②甲校原有学生：

　　864-376=488（人）

　　答：

甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。

　　小结：

从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：

　　（和+差）÷2=较大数较大数-差=较小数

　　或（和-差）÷2=较小数较小数+差=较大数

　　也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.

　　下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。

例5在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。

　　123456789=5

　　分析这样想：

从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一部分数字相加再减去一部分字后差是5，也就是说1到9的和是45，而两部分的差是5，先要求出这两部分数字，利用和差问题的方法便可以求出。

　　（45-5）÷2=20，20+5=25

　　可求出其中几个数的和是25，而另外几个数的和是20.在组成和是25的几个数前面添上“+”号，而在组成和是20的几个数前面添上“-”号，此题就算出来了。

例如：

5+6+9=20可得到。

　　1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

　　又如：

5+7+8=20可得到。

　　1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

　　又如：

3+4+6+7=20可得到。

　　1+2-3-4+5-6-7+8+9=5

和差问题

教学目标

1.会判断什么样的应用题属于和差问题．已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备．

2.总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题．

知识点拨：

和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：

方法一：

（和+差）÷2=大数和-大数=小数

方法二：

（和-差）÷2=小数和-小数=大数

【例1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？

1.甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？

2.果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？

3.有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？

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4.陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？

【例2】文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高，每天他们总是有使不完的劲儿．同学们！

你能根据下面的图，算出点点和跳跳各有多长吗？

1.二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．