高考数学二轮复习 专题7 概率与统计 第1讲 概 率 文.docx
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高考数学二轮复习专题7概率与统计第1讲概率文
2019-2020年高考数学二轮复习专题7概率与统计第1讲概率文
古典概型
1.第17届亚运会于2014年9月19日在韩国仁川举行.运动会期间有来自A大学2名和B大学4名共计6名大学生志愿者,现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务,至少有一名A大学志愿者的概率是( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:
记2名来自A大学的志愿者为A1,A2,4名来自B大学的志愿者为B1,B2,B3,B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),
(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),
(B2,B4),(B3,B4),共15种.
其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种.
故所求概率P==.
故选C.
2.三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为 .
解析:
将三张卡片随机地排成一行,共有EEB,EBE,BEE三种排法,而排成BEE的情况只有一种,故所求概率为.
答案:
3.甲、乙、丙三人站成一排,则甲乙相邻的概率为 .
解析:
甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲),共6种,甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲),共4种,由概率公式得甲、乙两人相邻而站的概率为=.
答案:
4.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .
解析:
从四条线段中任取三条有4种取法:
(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),
其中能构成三角形的取法有3种:
(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),
故所求的概率为.
答案:
5.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有实根的概率为 .
解析:
将一枚骰子抛掷两次共有36种结果,方程x2+bx+c=0有实根,则Δ=b2-4c
≥0,
即b≥2,
则A包含的结果有(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),
(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6),共19种,
由古典概型概率计算公式可得P(A)=.
答案:
6.(xx河南模拟)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:
万元)之间有如下对应数据:
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若广告费支出x与销售额y的回归直线方程为=6.5x+(∈R).
(1)试预测当广告费支出为12万元时,销售额是多少?
(2)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.
解:
(1)由题意得==5,
==50,
因为点(5,50)在回归直线上,
代入回归直线方程求得=17.5,
所求回归直线方程为=6.5x+17.5,当广告支出为12万元时,销售额=6.5×12+17.5=95.5(万元).
(2)实际值和预测值对应表为
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
30.5
43.5
50
56.5
69.5
在已有的五组数据中任意抽取两组的基本事件为(30,40),(30,60),(30,50),(30,70),(40,60),(40,50),(40,70),(60,50),(60,70),(50,70),共10个,
其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的有(60,50),共1个,
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为P=1-=.
几何概型
7.函数f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任取一点x0∈[-5,5],使f(x0)≤0的概率为( C )
(A)1(B)(C)(D)
解析:
令x2-x-2≤0,得-1≤x≤2,
则使f(x0)≤0的x0的取值范围为[-1,2],
所求概率P==.
8.(xx河南模拟)在平面区域内随机取一点,则所取的点恰好满足x+y≤的概率是( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:
不等式组表示的平面区域的面积为22=4,不等式组表示的平面区域的面积为×()2=1,
因此所求的概率是,
故选C.
9.在区间[0,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点的概率为( B )
(A)(B)(C)(D)
解析:
由f(x)有零点,
得Δ=4a2-4(-b2+π)≥0,
得a2+b2≥π,
又因为{(a,b)|0≤a≤π,0≤b≤π},
所以函数f(x)有零点的概率为1-=1-=.
10.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 .
解析:
由已知条件,可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型,可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P==.
答案:
11.如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为 .
解析:
在∠DAB内任作射线AP是等可能的,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,
所以射线AP与线段BC有公共点的概率为
==.
答案:
12.(xx福建卷)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 .
解析:
依题意,得=,
所以=,解得S阴影=0.18.
答案:
0.18
一、选择题
1.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:
甲、乙两人都有3种选择,共有3×3=9种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况,
所以甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P==,
故选A.
2.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( A )
(A)互斥但非对立事件(B)对立事件
(C)相互独立事件(D)以上都不对
解析:
由于每人一个方向,
故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,
故是互斥事件,但不是对立事件.
故选A.
3.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( A )
(A)1-(B)-1(C)2-(D)
解析:
依题意,有信号的区域面积为×2=,矩形的面积为2,
所求概率为P==1-.
4.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:
设AC=xcm,0 则CB=(12-x)cm,要使矩形面积大于20cm2, 只要x(12-x)>20, 则x2-12x+20<0, 解得2 所求概率为P==. 5.从2名男生和2名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( A ) (A)(B)(C)(D) 解析: 两名男生分别记为A1,A2,两名女生分别记为B1,B2;从2名男生2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加活动共有(A1,A2),(A2,A1),(A1,B1), (B1,A1),(A1,B2),(B2,A1),(A2,B1),(B1,A2),(A2,B2),(B2,A2),(B1,B2),(B2,B1)12种情况,其中星期六安排一名男生,星期日安排一名女生共有4种情况,故所求概率 为. 6.在区间[-,]上随机取一个数x,使cosx的值介于0到之间的概率为( A ) (A)(B)(C)(D) 解析: 若cosx∈[0,],x∈[-,],利用三角函数性质解得x∈[-,-]∪[,].在[-,]上随机取一个数是等可能的,结合几何概型的概率公式可得所求概率为P==. 7.(xx河北模拟)已知菱形ABCD的边长为4,∠ABC=150°,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( D ) (A)(B)1-(C)(D)1- 解析: 如图,当点P落在图中阴影部分时,P到菱形的四个顶点A,B,C,D的距离都大于1, 所以P==1-. 8.我国某地区出现旱灾,某基金会计划给予援助,6家矿泉水企业参与了竞标.其中A企业来自浙江省,B、C两家企业来自福建省,D、E、F三家企业来自广东省.此项援助计划从两家企业购水,假设每家企业中标的概率相同.则在中标的企业中,至少有一家来自广东省的概率是( A ) (A)(B)(C)(D) 解析: 设事件A: 至少有一家来自广东省,则事件: 两家企业均来自浙江省或福建省.在6家企业中选取两家共有15种取法: AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,则事件中包含的事件有3种: AB,AC,BC,故P()==,由对立事件知P(A)=1-P()=, 故选A. 9.(xx湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,p2为事件“xy≤”的概率,则( D ) (A)p1 (C) 解析: 如图所示,事件“x+y≤”的概率p1===<,事件“xy≤”的概率p2==>, 所以p1< 10.在平面直角坐标系xOy中,不等式组表示的平面区域为W,从W中随机取点M(x,y).若x∈Z,y∈Z,则点M位于第二象限的概率为( A ) (A)(B)(C)1-(D)1- 解析: 平面区域W中的整数点有(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2), (1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共12个,其中位于第二象限的有(-1,1),(-1,2)2个, 所以所求概率P=. 11.(xx威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为( A ) (A)(B)(C)(D) 解析: 由题意可知m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1), (4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况. 因为m⊥n, 即m·n=0, 所以a×1+b×(-1)=0, 即a=b,满足条件的有(3,3),(5,5)共2个, 故所求的概率为. 12.(xx福建卷)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( B ) (A)(B)(C)(D) 解析: 依题意得,点C的坐标为(1,2),所以点D的坐标为(-2,2),所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD=3×2=6,阴影部分的面积S阴影=×3×1=,根据几何概型的概率求解公式,得所求的概率P===,故选B. 二、填空题 13.采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数,用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下20组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为 . 解析: 根据随机模拟试验产生的数据,这三天中恰有两天下雨的有: 191,271,932,812,393,则这三天中恰有两天下雨的概率近似为=0.25. 答案: 0.25 14.甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示.如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学,则这两名同学的成绩相同的概率是 . 解析: 由题意知甲组三名同学的成绩为88,92,93,乙组三名同学的成绩为90,91, 92,则两组中各任取一名共有9种结果,成绩相同时只有一种结果,所以概率为. 答案: 15.在面积为S的△ABC内部任取一点P,△PBC的面积大于的概率为 . 解析: 如图,假设当点P落在EF上时(EF∥BC),恰好满足△PBC的面积等于,作PG⊥BC,AH⊥BC, 则易知=. 符合要求的点P落在△AEF内,其概率为P==()2=. 答案: 16.在区间[-2,3]上任取一个数a,则函数f(x)=x3-ax2+(a+2)x有极值的概率为 . 解析: 在区间[-2,3]上任取一个数a, 则-2≤a≤3,对应的区间长度为3-(-2)=5, 若f(x)=x3-ax2+(a+2)x有极值, 则f′(x)=x2-2ax+(a+2)=0有两个不同的根, 即判别式Δ=4a2-4(a+2)>0, 解得a>2或a<-1,
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