初中三角形有关知识点总结及习题大全带答案.docx
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初中三角形有关知识点总结及习题大全带答案
.
A一、三角形内角和定理
一、选择题
40°120°
BCD1.如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A等于()
A.60°B.70°C.80°D.90°
2.将一副三角板按图中的方式叠放,则角等于()A.75B.60C.45D.30
3.如图,直线m∥n,∠1=55,∠2=45,则∠3的度数为()
A.80B.90C.100D.110
【解析】选C.如图,由三角形的外角性质得
000
4125545100,
由m∥n,得
34
0
100
5.(2009·新疆中考)如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,130°,250°,
则3的度数等于()
A.50°B.30°C.20°D.15°
【解析】选C在原图上标注角4,所以∠4=∠2,因为∠2=50°,所以∠4=50°,又因为∠1=30°,
所以∠3=20°;
6.(2009·朝阳中考)如图,已知AB∥CD,若∠A=20°,∠E=35°,则∠C等于().
A.20°B.35°C.45°D.55°
【解析】选D因为∠A=20°,∠E=35°,所以∠EFB=55o,又因为AB∥CD,所以∠C=∠EFB=55o;
7.(2009·呼和浩特中考)已知△ABC的一个外角为50°,则△ABC一定是()
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.钝角三角形或锐角三角形
.
.
【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°,所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°,所以此三角形为钝角三角形.
4.(2008·聊城中考)如图,1100,2145,那么3()
6
A.55°B.65°C.75°D.85°
答案:
选B
二、填空题
oo
5.(2009·常德中考)如图,已知AE//BD,∠1=130,∠2=30,则∠C=.
【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o,∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130
o,∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130
o-30o=20o
o答案:
20
6.(2009·邵阳中考)如图,AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点,EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P,若∠PEF=30
0,
则∠PFC=__________。
0
【解析】由EP平分∠AEF,∠PEF=30
0
得∠AEF=60
0
,由AB//CD得∠EFC=120
0
,由FP⊥EP得∠P=90
,
∴∠PFE=180
0-900-300=600,∴∠PFC=1200-600=600.
答案:
60°
7.(2008·长沙中考)△ABC中,∠A=55,∠B=25,则∠C=.
答案:
100°
8.(2008·赤峰中考)如图,是一块三角形木板的残余部分,量得A100,B40,这块三角形木板另外一个角是度.
.
.
答案:
40
9.(2008·内江中考)在如图所示的四边形中,若去掉一个50的角得到一个五边形,则∠1∠2度.
答案:
230
三、解答题
10.(2010·黄冈中考)如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线
于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由。
【解析】提示:
由∠H=∠FCE,AH=CE,∠HAE=∠FEC可证△HAE≌△CEF,从而得到AE=EF.
11.(2009·淄博中考)如图,AB∥CD,AE交CD于点C,DE⊥AE,垂足为E,∠A=37o,求∠D的度数.
【解析】∵AB∥CD,∠A=37o,∴∠ECD=∠A=37o.
∵DE⊥AE,∴∠D=180o–90o–∠ECD=180o–90o–37o=53o.
12.(2009·嘉兴中考)在四边形ABCD中,∠D=60°,∠B比∠A大20°,∠C是∠A的2倍,求∠A,∠B,∠C的大小.
【解析】设Ax(度),则Bx20,C2x
.根据四边形内角和定理得,x(x20)2x60360.
.
.
解得,x70.
∴A70,B90,C140
二、特殊三角形
1.△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=4:
5:
9,则△ABC是(c)
A.直角三角形,且∠A=90°B.直角三角形,且∠B=90°
C.直角三角形,且∠C=90°D.锐角三角形
2.在等腰△ABC中,如果AB的长是BC的2倍,且周长为40,那么AB等于(b)
A.20B.16C.20或16D.以上都不对
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是
分析:
本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况.
解答:
解:
此题要分情况讨论:
当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+20°=110°;
当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,
故顶角是90°﹣20°=70°.
综上,三角形的顶角度数为110°或70°.
4.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠BCA的平分线AD、CD交于点D,若∠B=70°,则∠ADC=125度.
考点:
三角形内角和定理;角平分线的定义。
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5.如图,△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线DE交AB于E,交BC于D,若AB=13,AC=5,则△ACD的周长为
考点:
线段垂直平分线的性质。
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分析:
根据线段垂直平分线定理,△ACD的周长=AC+BC.
解答:
解:
在Rt△ABC中,AB=13,AC=5
由勾股定理得BC=12.
.
.
∵DE垂直且平分AB
∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
∴BD+CD=AD+CD=.12
∴AC+CD+AD=1.7
即△ACD的周长为17
6.如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,DE∥AB,交AC于点E,判断△ADE是不是等腰三角形,并说明理由.
考点:
等腰三角形的判定;平行线的性质。
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分析:
利用等腰三角形的三线合一的性质:
底边上的高与顶角的平分线、底边上的中线重合.得到∠BAD=∠CAD,两直线平行,内错
角相等,则∠BAD=∠ADE,即∠CAD=∠ADE,即可证得△ADE是等腰三角形.
解答:
解:
△ADE是等腰三角形.
理由如下:
∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,
∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形三线合一),
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE(两直线平行,内错角相等),
∴∠CAD=∠ADE,
∴AE=DE(等角对等比),
∴△ADE是等腰三角形.
点评:
本题利用了等腰三角形的判定及性质和平行线的性质;进行角的等量代换是正确解答本题的关键.
7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D,过C作BD垂线交BD的延长线于E,交BA的延长线于F,求证:
BD=2CE.
考点:
等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质。
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分析:
根据已知条件,易证△BFE≌△BCE,所以BF=BC,所以∠F=∠BCE,根据等腰三角形三线合一这一性质,CE=FE,再证明△ABD≌△AC
BD=2CE.
解答:
证明:
∵∠ABC的平分线交AC于D,
∴∠FBE=∠CBE,
∵BE⊥CF,
∴∠BEF=∠BEC=90°,
在△BFE和△BCE中
.
.
,
∴△BFE≌△BCE(ASA),
∴CE=EF,
∴CF=2CE,
∵∠BAC=90°,且AB=AC,
∴∠FAC=∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠FBE=∠CBE=22.5°,
∴∠F=∠ADB=67.5°,
又AB=AC,
在△ABD和△ACF中,
,
∴△ABD≌△ACF(AAS),
∴BD=CF,
∴BD=2CE.
三:
三角形全等的判定及其应用
一、选择题
13.(2009·江西中考)如图,已知ABAD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的
是()
A.CBCDB.∠BAC∠DAC
C.∠BCA∠DCAD.∠B∠D90
【解析】选C.根据SSS可知添加A正确,根据SAS可知添加B正确,根据HL可知添加D正确.
14.(2009·江苏中考)如图,给出下列四组条件:
①ABDE,BCEF,ACDF;
②ABDE,BE,BCEF;
③BE,BCEF,CF;
④ABDE,ACDF,BE.
.
.
其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()
A.1组B.2组C.3组D.4组
【解析】选C.①②③均可.
15.(2009·太原中考)如图,△ACB≌△ACB,BCB=30°,则ACA的度数为()
A.20°B.30°C.35°D.40°
【解析】选B.由△ACB≌△ACB得BCABCA,
∴ACABCABCAACBBCABCB30.
16.(2010·温州中考)如图,AC、BD是矩形ABCD的对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长
线于E,则图中与△ABC全等的三角形共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
D
A
BCE
【解析】选D.在矩形ABCD中,△CDA、△BAD、△DCB都和△ABC全等,由题意不难得出
四边形ACED为平行四边形,得出△DCE也和△ABC全等.
17.(2009·黄冈中考)在△ABC和ABC中,∠C=C,且b-a=ba,b+a=ba,则这两个三角
形()
A.不一定全等B.不全等C.全等,根据“ASA”D.全等,根据“SAS”
【解析】选D.由b-a=ba,b+a=ba可得aa,bb,又∠C=C,根据“SAS”,可得这两个三角形全等.
18.(2010·凉山中考)如图所示,EF90,BC,AEAF,结论:
①EMFN;
②CDDN;③FANEAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
.
.
C
E
M
D
AB
N
F
【解析】选C
∵EF90,BC,AEAF,∴△ABE≌△ACF,
∴∠EAB=∠FAC,∴FANEAM
∴△EAM≌△FAN,∴EMFN.易证△ACN≌△ABM.
19.(2007·诸暨中考)如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的
图形是()
A.甲乙B.甲丙C.乙丙D.乙
答案:
选C.
二、填空题
△ABC≌△ABC,且A110°,B40°,则C1=8.(2009·清远中考)如图,若
111
【解析】C180AB1801104030,由△ABC≌△A1B1C1得C1=C30
答案:
30
9、(2009·怀化中考)如图,已知ABAD,BAEDAC,要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是(写
出一个即可).
A
C
EDB
.
.
【解析】如AE=AC或∠B=∠D.
答案:
AE=AC(答案不唯一);
10、(2009·龙岩中考)如图,点B、E、F、C在同一直线上.已知∠A=∠D,∠B=∠C,要使
△ABF≌△DCE,需要补充的一个条件是(写出一个即可).
答案:
AB=DC(填AF=DE或BF=CE或BE=CF也对)
20.(2010·兰州中考)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE,连接AE、CE,
△ADE的面积为3,则BC的长为.
【解析】过点E作EF⊥AF交AD的延长线于点F,过点D作DM⊥BC交BC于点M,因此四边形ABMD是矩形,则BM=AD=2且,∠EFD=∠DMC=9°0,
根据题意可知DE=DC∠,EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,又因为∠CDM∠+CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM,从而△EDF≌△MCD,CM=EF因,为△ADE
的面积为3,AD=2,所以EF=3,所以BC=BM+CM=5.
答案:
5
12.(2008·黑河中考)如图,BACABD,请你添加一个条件:
,使OCOD(只添一个即可).
答案:
CD或ABCBAD或ACBD或OADOBC
三、解答题
8.(2009·宜宾中考)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD.
求证:
∠C=∠A.
.
.
【证明】因为AB=CB,AD=C,D
又因为BD=BD,
所以△ABD≌△CBD,
所以∠C=∠A.
14.(2010·黄冈中考)如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线
于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由。
【解析】提示:
由∠H=∠FCE,AH=CE,∠HAE=∠CEF可证△HAE≌△CEF,从而得到AE=EF.
15.(2009·武汉中考)如图,已知点E,C在线段BF上,BECF,AB∥DE,ACBF.
求证:
△ABC≌△DEF.
【证明】AB∥DE,BDEF.
BECF,BCEF.
ACBF,△ABC≌△DEF
16.(2009·洛江中考)如图,点C、E、B、F在同一直线上,
AC∥DF,AC=DF,BC=EF,
.
.
求证:
AB=DE.
【证明】∵AC∥DF,∴CF
在ACB和DFE中
ACDF
CFAACCBB和和≌DDFFEE中,∴AB=DE.
BCEF
17.(2010·潼南中考)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、
F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)证明:
△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.
AD
1
3
E
4
F
2
B
CG
【解析】
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
在△ABE和△DAF中,
21
ABDA,
43
∴△ABE≌△DAF.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
o∴∠1+∠4=90
∵∠3=∠4,
o∴∠1+∠3=90
o∴∠AFD=90
.
.
在正方形ABCD中,AD∥BC,
o∴∠1=∠AGB=30
oAD=2,在Rt△ADF中,∠AFD=90
∴AF=3,DF=1,
由
(1)得△ABE≌△ADF,
∴AE=DF=1,
∴EF=AF-AE=31.
18、(2009·福州中考)如图,已知AC平分∠BAD,∠1=∠2,求证:
AB=AD.
【证明】∵AC平分∠BAD
∴∠BAC=∠DAC.
∵∠1=∠2
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中
BACDAC,
ABCADC,
ACAC
∴△ABC≌△ADC(AAS).
∴AB=AD.
19.(2009·吉林中考)如图,ABAC,ADBC于点D,ADAE,AB平分DAE交DE于点F,请你写出图中三对..全等三角形,
并选取其中一对加以证明.
.
.
【解析】
(1)△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE、
△≌△(写出其中的三对即可).
ABEACD
(2)以△ADB≌ADC为例证明.
证明:
ADBC,ADBADC90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中,
ABAC,ADAD,
Rt△ADB≌Rt△ADC.
二、已知,如图,AB、CD相交于点O,△ACO≌△BDO,CE∥DF。
求证:
CE=DF。
C
F
AB
EO
D
三、已知,如图,AB⊥AC,AB=AC,AD⊥AE,AD=AE。
求证:
BE=CD。
B
A
C
DE
7、已知,如图,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=C,FG是CD与EF的交点,求证:
△BCF≌△DCE
AD
F
G
E
B
C
8、如图,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题。
①AB=AC②BD=CD③BE=CF
A
.
E
F
.
9、如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。
①AB=AC②DE=DF③BE=CF
A
E
C
BG
D
F
10、如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD,图中有没有和△ABE全等的三角形?
请说明理由。
F
A
D
B
┐
E
C
10、如图,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCE,F连接
DE交BG的延长线于H。
求证:
①△BCG≌△DCE
D②BH⊥DE
A
H
G
F
E
B
C
11、如图,△ABC中,AB=AC,过A作GE∥BC,角平分线BD、CF交于点H,它们的延长线分别交GE于E、G,试在图中找出三对全等三角
形,并对其中一对给出证明。
A
EG
D
F
H
.
C
B
.
12、如图所示,己知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形,并选其中一对给出证明。
E
F
AD
C
B
13、如图,AB=AD,BC=CD,AC、BD交于E,由这些条件可以得出若干结论。
请你写出其中三个正确的结论(不要添加字母和辅助线)。
D
C
A
E
四、多边形及其内角和
B一、选择题:
(每小题3分,共24分)
21.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
22.不能作为正多边形的内角的度数的是()
4
A.120°B.(128)°C.144°D.145°
7
23.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是()
A.2:
1B.1:
1C.5:
2D.5:
4
24.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有()
A.3个B.4个C.5个D.6个
25.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能()
A.都是钝角;B.都是锐角
C.是一个锐角、一个钝角D.是一个锐角、一个直角
26.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是()
A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形
27.若一个多边形共有十四条对角线,则它是()
A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形
28.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为()
A.90°B.105°C.130°D.120°
二、填空题:
(每小题3分,共15分)
9.多边形的内角中,最多有________个直角.
10.从n边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线,这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形.
11.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°,那么这个多边形的边数最少为________.
12.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:
2,则这个多边形的边数为_________.
13.每个内角都为144°的多边形为_________边形.
.
.
三、基础训练:
(每小题12分,共24分)
29.如图所示,用火柴杆摆出一系列
三角形图案,按这种方式摆下去,
当摆到20层(n=20)时,需要多少
根火柴?
30.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.
四、一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:
n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表
示)及n的值.
五、从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?
请你总结一下n边形共有多少条对角线.
六、(2002·湖南)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是()
A.9B.8C.7D.6
答案:
一、1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.C
二、1.42.(n-3)(n-2)3.94.115.十
三、1.630根2.15
2(mn)
四、边数为,n=1或2.
n
n(n3)
五、(n-3)条六、B.
2
.
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