53简单的轴对称图形角平分线.docx
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53简单的轴对称图形角平分线
5.3 简单的轴对称图形
一、新课导入
复习提问:
1、如果一个平面图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
2、两点之间线段最短。
3、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短垂线段最短。
4、三角形三条中线交于一点,三条高所在的直线交于一点,三条角平分线交于一点。
5、角平分线和三角形的角平分线有何不同。
如果我们画三角形角平分线,需要画几条就够?
课前小测公式定理
1.角是轴对称图形,则对称轴是角平分线所在的直线
2.角的平分线的性质:
角平分线上的点到角的两边距离相等
你是如何发现角平分线这些性质的?
如何运用这些性质解决实际问题?
这就是这节课要解决的问题
5.3生活中的轴对称(三)角平分线
二、认定目标
1.初步掌握角是轴对称图形
2.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。
3.会证明角平分线的性质定理,并能够利用其解决相应的问题.
重点:
掌握角的平分线的性质定理及其运用,作已知角的平分线的尺规作图方法
难点:
能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题
教学方法:
引导发现、启发猜想,逻辑推理
三、探究新知
1:
角是轴对称图形,你是如何发现的?
如图5-14,将∠AOB对折,你发现了什么?
体验角平分线的简易作法,并为角平分线的性质定理的引出做铺垫,为下一步设置问题墙。
结论1:
角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.
2:
角平分线性质定理的探究
(1)在一张纸上任意画∠AOB,沿角的两边将角剪下,将这个角对折,使角的两边重合;
(2)在折痕(即角平分线)上任意取一点C,过点P分别向∠AOB的两边折垂线,垂足分别为D,E,将∠AOB再次对折,折痕PD与PE能重合吗?
改变点P的位置,PD和PE还相等吗?
结论2:
角平分线的性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3验证猜想:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已知:
如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E
求证:
PD=PE
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∠PDO=∠PEO
∠1=∠2
∴△PDO≌△PEO()
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
4角平分线的性质定理的应用三个条件缺一不可。
你知道是哪些条件吗?
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,
又PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.不必再证全等
练一练
判断对错:
(1)∵AD平分∠BAC(已知)
∴BD=CD
(2)∵如图,DC⊥AC,DB⊥AB(已知)
∴BD=CD
(3)∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DB⊥AB(已知)
∴BD=CD
归纳总结:
角平分线的性质定理的应用三个条件
缺一不可。
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,
(或者∠AOC=∠BOC)
又PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
直接运用不必再证明全等
如图,AD是∠BAC的平分线,PB⊥AB,PC⊥AC,垂足
分别是B、C,BD=4cm,则BE=__4________cm.
问题2:
往哪条路走更近呢?
5用尺规如何做角平分线
对这种可以折叠的角可以用折叠方法做角平分线,对不能折叠
的角怎样得到其角平分线?
数学书100页问题解决3给我们什么启示呢?
有一个简易平分角的仪器ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的A点与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们落在角的两边上,沿AC画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线,为什么?
理由:
在△ACD和△ACB中
AD=AB(已知)
DC=BC(已知)
CA=CA(公共边)
∴△ACD≌△ACB(SSS)
∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等)
∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线?
(不用角平分仪或量角器)
例2利用尺规,作∠AOB的平分线.
已知:
∠AOB.
求作:
射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以D,E为圆心.大于
DE的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.
3.作射线OC.
OC就是∠AOB的平分线.
问题:
为什么OC就是∠AOB的平分线,你能说出理由吗?
如果一个图形需要做两条或者是两条以上角平分线,如何描述做法呢?
明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功。
书中126页随堂练习
1.先任意画一个角,然后将它四等分.
作法:
画出已知角∠AOB.
1.作∠AOB的平分线OC.
2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE,即将∠AOB四等分.
2、利用尺规,作三角形三个内角的角平分线
问题:
角平分线的作法,会因为这个角是锐角,直角,钝角,有所不同吗?
找学生到黑板上演示。
书中127页.习题5.5
3.校园一角的形状如图所示,AB.BC.CD表示围墙,小亮通过作角平分线在图中找到了一点P。
使得点P到三面墙的距离相等,你能解释他这样做的道理吗?
五巩固发展:
角平分线的性质与三角形面积的综合运用
如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( )
A.6B.5C.4D.3
解析:
过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DF=DE=2,∴S△ABC=
×4×2+
AC×2=7,解得AC=3.故选D.
方法总结:
利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法.
六、课堂小结
这节课我们学习了哪些知识
1.角是:
轴对称图形。
则对称轴是:
角平分线所在的直线
2.角的平分线的性质:
角平分线上的点到角的两边距离相等
∵OC是∠AOB的平分线,
(或者∠AOC=∠BOC)
又PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
3.尺规作图:
作已知角的平分线。
四等分已知角。
作三角形角平分线
4.运用角平分线性质证明线段相等。
角平分线性质,三角形全等,面积的综合运用
数学作业:
能力培养5至10题
七、达标测试
书中127页知识技能1:
2、利用尺规,作三角形三个内角的角平分线
问题:
角平分线的作法,会因为这个角是锐角,直角,钝角,有所不同吗?
我们已经知道三角形三条角平分线交于一点,我们画三角形角平分线,最少画几条?
交点到三角形三边的距离相等。
你能说明理由吗?
教学反思
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程,遵循学生的认知规律,体现了数学学习的必然性.教学始终围绕着问题而展开,先从出示问题开始,鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识,而后设计了第一个学生活动——折纸,让学生体验角的轴对称性,为角平分线性质做好铺垫。
紧接着引出简易角平分仪推出了第二个学生活动——尺规作图,以达到复习全等和再次验证猜想的目的,猜想是否正确?
还得进行证明,从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣,使教学目标顺利达成.整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终,在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间,由学生自己去发现结论,学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中,对角平分线性质有了更深刻的认识,培养了学生动手、合作、概括能力,同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识.
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- 关 键 词:
- 53 简单 轴对称 图形 平分线