中考数学二次函数分类汇编试题.docx
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中考数学二次函数分类汇编试题
选择题
中考数学二次函数分类汇编试题含答案
2
1、(2007天津市)已知二次函数y=ax•bx•c(a=0)的图象如图所示
有下列5个结论
abc0:
②b:
:
ac:
③4a2bc0
2c:
:
3b;⑤ab-m(amb),(m=1的实数)其中正确的结论有(
2、
0)
vb
(A)
A.2个B.3个C.4个D.5个
(2007南充)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点
对称轴为x=—1.给出四个结论:
①b2>4ac;②2a+b=0;③a—b+c=0其中正确结论是()
②④(B)①④
(C)②③
(D)①③
3、(2007广州市)二次函数
2x1与x轴的交点个数是
C.2
4、(2007云南双柏县)在同一坐标系中一次函数y二ax•b和二次函数
y=ax2bx的图象可能为
A(-3,
④5a
5、(2007四川资阳)列结论正确的是(
A.当x>0时,I
B.当x>0时C
大而增大
D.存在一个正数大而增大
已知二次函数
)D
函数值
函数值
存在一个负数
xo
xo
2,-,
y=axbxc(a丰0)的图象开口向上,并经过点(-1,2),(1,0).下
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
使得当x x>x0时,函数值y随x的增 使得当 x x>x。 时,函数值y随x的增 6、(2007山东日照)已知二次 下列结论中正确的是( (A)m-1的函数值小于0 (C)m-1的函数值等于0 二、填空题 2 y=x-x+a(a>0),当自变量x取m时,其相应的函数值小于0,那么 B (B)m-1的函数值大于 (D)m-1的函数值与 0 0的大小关系不确定 1、(2007湖北孝感)二次函数 y=ax : 2+bx+c的图象如图 8所示 且P=|a—b+c|+|2a+b|,Q=|a+b+c|+|2a—b| 则P、Q的大小关系为 PvQ 2、(2007四川成都)如图9所示的抛物线是 次函数 则关于 1、(2007天津市)知一抛物线与 x轴的交点是 B(1,0), A(-2,0)、 且经过点C(2,8)。 (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标。 解: (1)设这个抛物线的解析式为y=ax2•bx•c 由已知,抛物线过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,得 4a-2bc=0 ab^0(3分)解这个方程组,得a=2,b=2,c 4a2bc=8 •••所求抛物线的解析式为y=2x2・2x-4(6分) 22129 (2)y=2x22x-4=2(x2x-2)=2(x-)2- A(1,-4),且过点B(3,0). .••该抛物线的顶点坐标为w 2、(2007上海市)在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为 (1)求该二次函数的解析式; (2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点? 并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标. 解: (1)设二次函数解析式为y=a(x-1)2「4, : 二次函数图象过点B(3,0),.0=4a-4,得a=1. -二次函数解析式为y=(xT)2-4,即y=x2-2x-3. (2)令y=0,得x2-2x-3=0,解方程,得为=3,X2--1. ■二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点.平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0) 3、(2007广东梅州)已知二次函数图象的顶点是(—1,2), (1)求二次函数的表达式,并在图10中画出它的图象; (2)求证: 对任意实数m,点M(m,-m2)都不在这个 二次函数的图象上. 解: (1)依题意可设此二次函数的表达式为y=a(xT)2 ( 3 3 占 八、、 1 1 0,- / -1 2 -J\ 图10 又点0,|在它的图象上,可得|。 2,解得 12 所求为y(x1)2.令y=0,得为 画出其图象如右. (2)证明: 若点M在此二次函数的图象上, 则—m2--^(m1)22.得m2-2m3=0. 方程的判别式: 4-12=-8: : : 0,该方程无解.所以原结论成立. =1, X2=-3 4、 (2007贵州省贵阳)二次函数y二axbxc(a=0)的图象如图 9所示 (1) 写出方程ax2bx,c=0的两个根.(2分) (2) 写出不等式ax2bxc0的解集.(2分) (3) 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.(2分) (4) 若方程ax2bx有两个不相等的实数根,求k的取值范围. by 3 ¥ 2 … 1 -\ _/_11_1 -1O A2A4 -1 -\ 4分)2 .丨\ ,根据 图象解答 F列问题: x 图9 解: (1)捲=1,x2=3 图13 (3)x2 (4)k: : : 2 5、(2007河北省)如图13,已知二次函数y=ax2-4x上的图像经过点A和点B. (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; ■/2 厂1=ax(j)_4x(_1)*c,解得[—9=a疋32—4汉3+c. a=1,c=—6. •••二次函数的表达式为 y=x2-4x-6. (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离. 解: (1)将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代入y=ax2_4xc得 ACO的大小(不必证明),并写出此时点 P的横坐标Xp的取值范围. D的坐标; PCO与 解: (1);二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(-3,-12), 4-1, 2a 由4a2bc=3, 9a—3b+2=—12. a=-1, 解得b=2, c=3. 此二次函数的表达式为 2 y=-X2x3. (2)假设存在直线l: y=kx(k=0)与线段BC交于点D (不与点B,C重合) 一,使得以B,O,D为 (2)对称轴为x=2;顶点坐标为(2,-10) (3)将(m,m)代入y=x2-4x-6,得m=m2-4m-6, 解得mi--1,m2=6.Tm>0,—mi--1不合题意,舍去. •••m=6.t点p与点Q关于对称轴x=2对称,二点Q到x轴的距离为6. _2_ 6、(2007四川成都)在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=axbxc(^-0)的图象与x轴交 于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(-3,-12). (1)求此二次函数的表达式; (2)若直线l: y=kx(k=0)与线段BC交于点D(不与点B,C重合),则是否存在这样的直线 使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似? 若存在,求出该直线的函数表达式及点若不存在,请说明理由; (3)若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角 顶点的三角形与△BAC相似. 在y=-x2•2x3中,令y=0,则由-x2•2x•3=0, ■A(-1,0)B(3,0).令x=0,得y=3.-C(0,3). 设过点O的直线 l交BC于点D,过点D作DE丄x轴于点E. (3,0),点C的坐标为(0,3),点A的坐标为(-1,0). 二AB=4,OB =OC=3,NOBCVBC =3232=32. 要使△BODBAC或厶BDOBAC, x C E O 已有.B二.B,则只需 BD BC BO BA BO BC BD BA ②成立. 若是①, 则有BD boLbc BA 9-2•而OBC =45BE= .在Rt△BDE中,由勾股定理, 解得 BE BE =|DE|=9(负值舍去)•,-.|OE 2 =2BE =OB—BE BD "I4/ .点D的坐标为3,9•将点D的坐标代入y二kx(k=0)中,求得k=3• 44 .满足条件的直线I的函数表达式为y=3x• [或求出直线AC的函数表达式为y=3x•3,则与直线AC平行的直线I的函数表达式为y=3x•此 时易知△BODBAC,再求出直线BC的函数表达式为y=-x•3•联立y=3x,-x3求得 了39\ 点D的坐标为一,一.] 144丿若是②,则有BD」BOMBA=苇! =272•而NOBC=45[,|BE=DE• |BC|W21 二在Rt△BDE中,由勾股定理,得BE+DE=2BE=BD=(2J2)2. 解得BE=DE=2(负值舍去)•二OE=OB—BE=3—2=1•,•.点D的坐标为(1,2)•将点D的坐标代入y二kx(k=0)中,求得k=2•二满足条件的直线I的函数表达式为y=2x•-存在直线l: y=3x或y=2x与线段BC交于点D(不与点B,C重合),使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似,且点D的坐标分别为3,或(1,2)• 44 (3) 设过点C(0,3),E(1,0)的直线y二kx•3(k=0)与该二次函数的图象交于点P• 将点 E(1,0)的坐标代入y二kx•3中,求得k二 设点 P的坐标为(x,-3x3),并代入y--x2 解得Xj=5,X2=0(不合题意,舍去)..x=5,y=-12. .点P的坐标为(5,-12).此时,锐角.PCO=.ACO. 又;二次函数的对称轴为x=1, .点C关于对称轴对称的点C•的坐标为(2,3). ■当Xp5时,锐角•PCO: : : .ACO;当Xp=5时,锐角•PCO=•ACO; 当2: : xp: : : 5时,锐角.PCOACO. 7、(2007四川眉山)如图,矩形A'BC'O'是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上,边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的.O'点在x轴的正半轴上,B点的坐标为(1,3). (1)如果二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象经过O、O'两点且图象顶点M的纵坐标为 —1.求这个二次函数的解析式; ⑵在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得△POM为直角三角形? 若存在,请求 出P点的坐标和△POM的面积;若不存在,请说明理由; ⑶求边C'O'所在直线的解析式. B1 \ ¥ f 執⑴ 连结妙BO=B(r a所求二次函数的解析式= (2)设存在涌足題设条件的点P(*.? ) 连结OM.PMyOF、过尸作尸用丄怎轴手艸则^POM^9/W(1.-I),A(I,0)t\AM\=j04|AzLW^=45°/,XPO^V=45\A10/V|\NP\即x=y VP(ac^y)在二次rS数y=『-2ic的图象上”"=,「工解得—0或“3丁尸(斗y)在对称抽的右支上U •一±3“3即P(3,3)是所滾的点违结显然为等順宜角三角形. "为購足条件的点”(2,0) 二满足条件的点是尸(2.0)或P(3J)民OM^JZ ;•Srkm=*OP•QM=+胚sSL5iHW=yOW 茎J4m 辭得 (3)设与G"的交点为D(1,y)显然皿ZUDOy剜 在&AADtF中 k+6=y AOa即i+/=(3-y)1 设边c”所在亢线的解析式为厂b*b 解得k--器―号 t=叫筑面积,为充分 S用地面积 -•-所求直线解折式为y=-y*+3 8(2007山东日照)容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比,即 利用土地资源,更好地解决人们的住房需求,并适当的控制建筑物的高度,一般地容积率t不小于1且 不大于8.一房地产开发商在开发某小区时,结合往年开发经验知,建筑面积M(m2)与容积率t的关系 可近似地用如图 (1)中的线段I来表示;1m2建筑面积上的资金投入Q(万元)与容积率t的关系可近 (I)试求图 (1)中线段I的函数关系式,并求出开发该小区的用地面积; (n)求出图 (2)中抛物线段c的函数关系式. 解: (I)设线段I函数关系式为M=kt+b,由图象得 去+b=2800°解之,得」 6k+b=80000 k=13000,b=2000. 由上=M建筑面积知,当t=i时, S用地面积 S用地面积=M建筑面积, 把t=1代入M=13000t+2000中,得M=15000m2即开发该小区的用地面积是15000m2. 1 100 9 100 (H)根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q=a(t-4)2+k,把点(4,0.09),(1,0.18)代入, k=0.09, a(1—4)2+k=0.18. a 解之,得《 k 19121 •••抛物线段c的函数关系式为Q=丄(t-4)2+—匕,即Q=丄『-上t+-,1Wtw8. 100100100254 9、(2006四川资阳)如图10,已知抛物线P: y=ax2+bx+c(a丰0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: x -3 -2 1 2 y -5 2 -4 -5 2 0 (1)求A、B、C三点的坐标; (2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围; (3)当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延长至点M,使FM=k•DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因,经过探索、思考仍无法圆满解答本题,请不要轻易放弃,试试将上述 (2)、(3)小题换为下列问 题解答(已知条件及第 (1)小题与上相同,完全正确解答只能得到5 分): ⑵若点D的坐标为(1,0),求矩形DEFG的面积. 解: ⑴解法一: 设y=ax2+bx+c(a? 0), 任取x,y的三组值代入,求出解析式y=1x2+x-4,1分 2 令y=0,求出为=-4,冷=2;令x=0,得y=-4, •A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).3分 解法二: 由抛物线P过点(1,-5),(-3,--)可知, 22 抛物线P的对称轴方程为x=-1,1分 又•••抛物线P过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知, 点A、B、C的坐标分别为A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).3分 ⑵由题意,如=匹,而AO=2,OC=4,AD=2-m,故DG=4-2m,-4分 AOOC BEef 又=,EF=DG,得BE=4-2m,•DE=3m,5分 BOOC 二Sdefg=DGDE=(4-2m)3m=12m-6m(0vmv2).6分 注: 也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC,或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解 ⑶TSDEFG=12m-6m2(0vmv2),二m=1时,矩形的面积最大,且最大面积是 当矩形面积最大时,其顶点为D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0), 设直线DF的解析式为y=kx+b,易知,k=? b=--,「.y=? x--, 3333 12 y=x+x-4, 2 x=-1? 61.设射线DF与抛物线P相交于点N,则N的横坐标为丄一61, 3 又可求得抛物线P的解析式为: 令2x-2=1x2+x-4,可求出 332 过N作x轴的垂线交x轴于H,有 2-1-陌 FN=HE=-3=- DF=DE39 点M不在抛物线P上,即点M不与N重合时,此时k的取值范围是k/5+、''61且k>0.…… 9 说明: 若以上两条件错漏一个, 5+61 10分 本步不得分 若选择另一问题: ADDG ⑵-=,而AD=1, AOOC pFGCP工 又.=,而AB=6,ABOC --sdefg=DGFG=6. AO=2,OC=4,贝UDG=2, CP=2,OC=4,贝UFG=3, 10、 (2007山东威海)如图①,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(31),二次 函数 y=x2的图象记为抛物线h. (1)平移抛物线h,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: (任写一个即可). (2)平移抛物线h,使平移后的抛物线过A,B两点,记为抛物线J,如图②,求抛物线J的函数表达 式. (3)设抛物线12的顶点为C,K为y轴上一点•若Saabk=Saabc,求点K的坐标. (4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线 12上是否存在点P,使△ABP为等腰三角形•若存在, 请说明师. 请判断点P共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在, 图① 图② 图③ 解: (1)有多种答案,符合条件即可.例如y=x2・1, 222 y=xx,y=(x-1)2或y=x-2x3, y=(x•1)2,y=(x—1—._2)2. (2)设抛物线l2的函数表达式为y=x2•bx•c, v点A(1,2),B(31)在抛物线l2上, 1b^2,解得 93bc=1 .9 b= 2 11 c. 2 x 12 2 .抛物线l2的函数表达式为y=x ⑶y/_9x—x一二 22 —,.C点的坐标为i9,—. 16416 过A,B,C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为D,E,F, 753 则AD=2,CF耳,BE,,DE=2,DFq,fe=4 ABC=S梯形ADEB1S弟形ADFC1S梯形CFEB• =1(21)2-12Z 22.1642.16416 延长BA交y轴于点G,设直线AB的函数表达式为y=mx•n,;点A(1,2),B(31)在直线AB上,^mn'解得 5 2 5 2. 15 二直线AB的函数表达式为.: G 点的坐标为 1=3mn. 设K点坐标为(0,h),分两种情况: 若K点位于G点的上方, 5 则KG=h•连结 2 AK, Saabk-Sabkg-S^akg -11h .-K点的坐标为 55 0 y 图③ 525 若K点位于G点的下方,贝UKGh.同理可得,h= 216 .K点的坐标为 (4)作图痕迹如图③所示. 由图③可知,点P共有3个可能的位置. 2 11、(2007浙江省)如图,抛物线y=x-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线I与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2。 (1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大 值; (3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由。 7+ 解: (1)令y=0,解得论=-1或x2=3(1分) •••A(-1,0)B(3,0);(1分) 将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3,•C(2,-3)(1分) •直线AC的函数解析式是y=—x-1 (2)设P点的横坐标为x(-Kxw2)(注: x的范围不写不扣分) 贝UP、E的坐标分别为: P(X,—x-1),(1分) 2 E((x,x「2x「3)(1分) •••P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-X2*X*2(2分) 19 •••当X时,PE的最大值二一(1分) 24 (3)存在4个这样的点F,分别是^(1,0),F2(—3,0),F3(4+J7),F4(4—J7)
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