完整版浅谈数形结合在中学数学解题中的应用毕业论文.docx
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完整版浅谈数形结合在中学数学解题中的应用毕业论文
本科生毕业论文(设计)
题目:
浅谈数形结合在中学数学解题中的应用
****************
学号:
系别:
数学与计算机科学系
年级:
2007
专业:
数学与应用数学
指导教师庄中文职称:
副教授
指导教师武慧虹职称:
讲师
2011年3月10日
安顺学院毕业论文任务书
数学与计算机科学系数学与应用数学专业2007年级学生姓名任城勇
毕业论文题目:
浅析数形结合在中学数学解题中的应用
任务下达日期:
2010年9月18日
毕业论文写作日期:
2010年9月18日至2011年4月20日
学生签字:
指导教师签字:
摘要
数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。
利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。
数形结合是解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中极为重要的基本方法之一,通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,缩短了思维链,简化了思维过程。
数形结合中的数应广义地理解为解析式、函数、复数等;其中的形,可以是点集空间图形,进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力,使应用的范围不断拓宽和深化。
因此,由此可见,数形结合对发展学生由抽象到直观,再由直观到抽象的思维是非常重要。
本文重点阐述了如何在具体的问题中进行形与数、数与形的转化,以及在数学例题中去培养学生数形结合的解题能力。
从而达到锻炼学生思维的灵活性与广泛性,提高学生解决问题的能力。
关键词:
数形结合;参数方程;复数;不等式
Abstract
TheCombinationofthinkingthathelptoclarifytheaccuracyofafewgraphicsasanattribute.Clarifytheuseofintuitivegraphicalrelationshipbetweenthenumberandthenumber,whichisthenumberofcommunicationlinksbetweenformandproducedthroughthislinkorcognitiveperception,theformationofmathematicalconceptstosolvemathematicalproblemsortofindwaysofthinking.TheCombinationofmathematicalproblemstosolveapowerfultool,isalsoextremelyimportantinmiddleschoolmathematicsoneofthebasicmethods,byTheCombinationofmathematicallanguagecanbeabstractandintuitivegraphicscombinetomaketheabstractthinkingandthinkinginimagescombinetoshortenthethethoughtchain,simplifyingtheprocessofthinking.TheCombinationofthenumbershouldbebroadlyunderstoodasanalytic,functions,complexnumbers,etc.;oneoftheform,canbeapointofspacegraphics,andthenradiatethewayofthinkingShuxingjiegevigorandvitality,sothatapplicationscontinuetobroadenthescopeanddeepened.Therefore,wecansee,TheCombinationofstudentsfromtheabstracttothedevelopmentofintuitive,thentotheabstractvisualthinkingisveryimportant.Thisarticlefocusesonhowspecificissuesintheshapeandnumber,numberandshapeofthetransformation,andexamplesinmathematicstostudentsinproblem-solvingabilityShuxingjiege.Trainingstudentstoachievetheflexibilityandbreadthofthinkingtoimprovetheirabilitytosolveproblems.
Keywords:
theCombinationofMath-image;parameter-equation;
complexnumber;inequality;
第一章绪论………………………………………………………………………6
第二章浅析数形结合在中学数学解题中的应用…………………………………8
2.1以形助数…………………………………………………………8
2.2以数助形…………………………………………………………9
2.3“数”、“形”结合………………………………………………11
总结及进一步工作……………………………………………………………13
参考文献……………………………………………………………………………15
致谢…………………………………………………………………………………16
第一章绪论
随着社会的发展,教学研究的重心已由过去的偏重内容,转向于传授知识和能力并重的研究。
强调人的潜能开发,心理品质培养和社会文化素质的训练。
在全面提高全体学生的基本素质的基础上,使各种能力在学生身上得到不同程度的协调发展。
作为教育者必须自觉地、科学地、有针对地培养出适合新时代需求的人才[3]。
就数学而言,我们又应该如何做到实现素质教育呢?
数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。
“数”和“形”是数学中最基本的两个概念。
数量关系借用了图形的性质,可以使许多抽象的概念,关系直观化、形象化,并使一些关系简单化[7]。
而图形问题在运用了数量关系的公式、法则后,可以使较艰辛的问题归结为较容易处理的数量关系式的研究。
中学数学作为学习高等数学的基础,应当把这种关系体现出来,也就是把代数、三角、几何知识之间的联系体现出来[5]。
因此,数形结合是中学数学重要的思想方法,要把数形结合作为一种数学思想来培养,形成学生的数学意识,从而提高学生的解题能力。
通过研究本次课题,使老师能深刻理解和重视数学结合,提高学生的解题能力[8]。
合理地引导数与形的相互变换,使问题化难为易,化繁为简,达到开拓思维视野,提高解题能力,提升数学素养的作用。
可以让我更深一步地了解数学结合的重要性,同时为新世纪的老师在以后教学中能够更加重视教学设计,让老师理解数学结合与学生解题能力的提高是很密切[6]。
恩格斯曾说过:
“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
华罗庚先生说过:
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休[9]。
新课标下数学教育的主要目的、任务早已不再是简单的知识传授和方法指导,而是培养学生的各种能力。
学习数学的核心是解题,而解题的价值不是答案,而在于它的过程。
解题经验告诉我们:
当寻找解题思路发生困难的时候,不妨借助图形去探索;当解题过程中的繁杂运算使人望而生畏的时候,不妨借助图形去开辟新路;当需要检验结论的正确性的时候,不妨借助图形去验证,加强数学结合的训练,全面提高分析问题、解决问题的能力[10]。
通过本次研究,能让我们明白作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:
或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面:
第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单,直接观察却看不出什么规律来,这时就需要给图形赋值,如边长、角度等等。
第二章浅析数形结合在中学数学解题中的应用
“数缺形,少直观;形缺数,难入微”,数形结合的思想,就是研究数学的一种重要的思想方法,所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,是数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法。
我国著名的数学家华罗庚曾说过:
“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离。
”几何图形的形象直观,便于理解;代数方法的一般性,解题过程的机械化,可操作性强,便于把握,因此数形结合思想是数学中重要的思想方法,把握、运用好数形结合,能激发学生兴趣,促进学生情感、态度、价值观的发展,能提高课堂教学效果,有利于数学知识的推广[2]。
下面从以数助形、以形助数、数形结合三个方面进行进一步阐述。
2.1以形助数
根据解决问题的需要,常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论,即把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来,化抽象为直观,通过对图形的研究,常能发现问题的隐含条件,诱发解题线索,使求解过程变得简捷直观.
以形助数即运用图形的性质使“数”的问题直观化、形象化。
例1[6]:
设直线的参数方程
椭圆的参数方程是
问、应满足什么条件使得对于任意m值来说,直线与椭圆总有公共点。
解:
先消去参数得普通方程:
两式消去并整理得:
和有交点的条件是上式的判别式
即
化简整理得:
这个不等式要对任何值都成立的条件是:
整理解得:
上面的解法基本上是代数解法。
但如果我们来考察一下本题的几何意义,就会发现:
就是以为参数且过公共点的直线系。
题目的要求就是要使这个直线系的所有直线和椭圆有交点。
通过进一步观察间的图形关系,就可以发现只要在椭圆内或椭圆上,就可以满足要求。
而点在椭圆上或在椭圆内的充要条件是:
即
即
又
也即
比较这两种解法,很明显看出后一种解法要比前一种解法简捷得多。
为什么后一种解法能比较简单?
这就是第一种解法把两曲线相交问题转化为求方程组解的问题后,完全抛开了它的几何性质,仅仅从代数的方面去考虑问题,而第二种解法把数量关系和图形性质结合起来思考,一方面从图形关系上揭示出题目的实质,又同时用数量关系来表示这种实质,两者结合就使解题过程大为简化。
下面再从复数、三角、不等式的实例说明数转形的必要性和优越性。
例2:
已知求使最大的复数。
这是求最大值问题。
可以设代入已知不等式中,把它转化为一般求极值的问题去解。
但这样解答的过程就比较繁。
若我们结合复数的几何意义去考察,则满足
条件的在复平面
就是以为圆心,为半径
的点。
题目是求这些中模最大的一个。
即到
原点距离最远的一个。
很明显,过原点和圆
心作直线交圆于,两点,离原点较远的
交点表示的复数模最大。
则复数就是所要求的答案,通过简单的计算就有:
这个方法同时还可得到另一个结论:
使最小的复数是
例3:
已知中,,
求角、和边、。
这是解三角形的问题。
一般利用正弦定理和余弦定理去解;但过程较繁琐。
若从几何图形上考虑,延长至使。
则
则
则或
所以或
然后即可求出和、。
例4:
已知,且,,求使取
最小值的,和最小值。
从解析几何知识可知满足,的点在直线:
和直线:
它的右上方。
加上,满足这四个条件的点在如图的阴影部分内。
其中点坐标就是方程组:
的解:
研究方程,
对于不同的Z,它表示一组互相
平行的直线。
本题就是要求这
些平行线中与阴影部分有公共点,
且使Z最小的一条。
从图中可看出
过点的直线:
满足这个条件。
因如则直线在的左下方,与阴影部分就无公共点了;若,虽有公共点,Z但不是最小值。
这样,可得到本题的答案:
;最小值是。
这种解法常用在“线性规划”中。
从上面几个例子可看出,一些三角和代数的问题,若运用了数和形相结合的观点去考虑,就能较容易地找到解决问题的方法,解题过程也就较简单。
2.2以数助形
数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学.数和形是客观事物不可分离的两个数学表象,两者既是对立的又是统一的.数学家华罗庚曾说过:
“数缺形时少直观,形少数时难入微.”数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上[4]。
以数助形的方法贯穿初等数学的实例很多。
特别是平面几何中许多难证的问题,在引入坐标法,三角法,复数法后,变得简单明了。
一些几何问题,如果运用数与形结合的观点去考虑“形向数”的转化,通过数的运算和变式,求出相应的结果,则解题方法容易寻找.如采用代数方法、三角方法、解析方法、复数方法、向量方法去解决几何问题,解题思路比较明确,规律性强,不像几何证法须要特殊技巧,因此也就容易找到解题途径。
例5:
过不在椭圆上的任一点引两条直线,分别交椭圆于,和,,若,的倾斜角,,满足。
求证:
,,,四点共圆。
证明:
设,,的两方程分别为及
代入椭圆方程。
及
、、、四点共圆
此例通过直线参数方程的几何意义和三角知识,运用相交弦定理证明了四点共圆。
例6:
在平行四边形中,比大,求证四边形各内角度数分别为,。
此题可设,由题意及平行四边形的性质可得二元一次方程组
来解决。
2.3“数”、“形”结合
数学解题历来是数学教育界关心的问题,数形结合又对数学解题具有一定的指导作用[7]。
数与形虽然是变来变去,但如能充分运用“数”和“形”将开拓思维,发展数学知识结构的横向联系。
提交综合解题能力。
例7[9]:
证明:
证明:
(如图)作,依次在上取,在上取异于的,使;在上取异于的,
使;在上取异于的,使。
可得:
,
从而
但
此例运用等腰三角形,利用外角等于不相邻两内角之和,得到角的关系,又利用边相等的关系,转化为三角式,从而得证。
例8:
求的值域
解析:
此题如果利用解析法解决
比较繁琐,如果考虑数形结合的
方法则比较容易。
考虑到单位圆上
的点可以写成的形式,而的值域可看作过点(2,2)的直线与圆相交时斜率的变化范围。
因单位圆的解析式为:
,设直线为:
。
由
(1)
(2)可得。
考虑两图形有交点,得,由于直线过点(2,2),有,所以易得,即值域为
总结及进一步工作
数学思想是人们对数学科学的本质及规律研究时的深刻认识,它的具体任务是指导学习数学,解决关于数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则等[10]。
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。
在中学数学应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化:
(1)集合的运算及韦恩图
(2)函数及其图象(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线。
以形助数常用的有:
借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法.
以数助形常用的有:
借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合。
通过学习数形结合思想提高学生的数学素养,这是学习数学重要的内容,只有真正掌握了数学思想方法,学生身上的数学价值才能真正展现出来。
高中必修课程(新教材)几乎每一章均渗透了数形结合思想,走上工作岗位后,我将结合实践教学,对这种思想方法进一步总结,找到其内在规律和注意点,应用于教学中,不仅有利于创造思维的培养,创新人才的培养,同时有利于自己数学素养的提高。
参考文献
[1]叶立军数学方法论[M]浙江大学出版社.200
[2]陈喜娥,尹雪峰.浅谈数学思想方法的培养[J].山西煤炭管理干部学院学报,2006,5(02):
58-59
[3]赵玲.数形结合思想及其应用[J].山西煤炭管理干部学院学报.2004,9(03):
22-23.
[4]王银篷.浅谈数形结合的方法[J].中学数学,2004,4(12):
21-25.
[5]朱文俊.浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].新课程:
教研版-2010.No.10.
[6]耿敏.在数形结合教学中训练学生思维[J].考试周刊-2010.No.51.
[7]郑颖芳.数形结合提高解题能力教学策略研究[J].中国科教创新导刊-2010.No.28.
[8]金凤明.数形结合思想在初中教学中的渗透[J].上海师范大学学报:
基础教育版2010.No.5.
[9]冯艳丽.浅谈学生数形结合思想的培养[J].教学研究2007.No.12.
[10]申俊.素质教育与数学思想的关系[J].教育精论2006.No.6.
致谢
经过半年的忙碌和工作,本次毕业设计已经接近尾声,作为一个本科生的毕业设计,由于经验的匮乏,难免有许多考虑不周全的地方,如果没有导师的督促指导,以及一起工作的同学们的支持,想要完成这个设计是难以想象的。
在这里首先要感谢我的导师庄中文、武慧虹老师。
庄书记平日里工作繁多,但在我做毕业设计的每个阶段,从外出实习到查阅资料,设计草案的确定和修改,中期检查,后期详细设计,装配草图等整个过程中都给予了我悉心的指导。
特别是在我们实习回来的阶段,庄书记先探讨了我们实习的成果,其次对我们的实习做一次总评,并且告诫我们如果以后作为老师应该怎样去做?
应该做一个什么样的老师?
最后强调开题报告的要求及论文的写作时间,并且对我们第一次写开题报告做了更深入的交谈,对我们选题、写作意图做了更详细的论述。
武老师在庄书记之后又对我们的开题报告做了进一步修改,并且在开题报告的格式、参考文献、字体大小都做了相应安排,使我受益匪浅。
虽然我的设计较为复杂烦琐,但是武老师仍然细心地纠正图纸中的错误。
除了敬佩庄书记、武老师的专业水平外,他们的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作。
然后还要感谢大学四年来所有的老师,为我们打下数学专业知识的基础;同时还要感谢所有的同学们,正是因为有了你们的支持和鼓励。
此次毕业设计才会顺利完成。
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