齐次和非齐次线性方程组的解法整理.docx
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齐次和非齐次线性方程组的解法整理
线性方程组解的结构(解法)
一、齐次线性方程组的解法
【定义】r(A)=r (1)看岛宀雋円线性无关; ⑵AX=0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称刍易,…,蔦-为的二0的基础解系. 称X=镯刍+k為+…+为AX=0的通解。 其中人,虬…,A-,为任意常数). 齐次线性方程组的关键问题就是求通解,而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】若齐次线性方程组衣二0有解,则 (1)若齐次线性方程组AT二0(A为〃7"矩阵)满足r(A)=n,则只有零解; ⑵齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) (注: 当山=/? 时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式\A\=0.) 注: 1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于n-r(A). 2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组 AX=O所对应的同解方程组。 由上述定理可知,若加是系数矩阵的行数(也即方程的个数),"是未知量的个数,则有: (1)当加<"时,r(A) 大于方程的个数就一定有非零解; (2)当/;/=//时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式卜|=0; (3)当m=八且HA)="时,若系数矩阵的行列式则齐次线性方程组只有零解; (4)当川>”时,若r(A) 若r(A)>n,则齐次线性方程组无解。 1、求AT=0(A为mx//矩阵)通解的三步骤 (1)A^-^C(行最简形);写出同解方程组6T=0. (2)求出6T=0的基础解系 ⑶写出通解*=人刍+心金+•・・+/-总t其中7也为任意常数. 所以,原方程组的通解为X=k^+k2^2+k^(人,町,2R). 二、非齐次线性方程组的解法 求AX-b的解(Amxnr(A)=r) 用初等行变换求解,不妨设前r列线性无关 (1)<+1工0时,原方程组无解. ⑵=0”=”时,原方程组有唯一解. ⑶〃冲=0”S时,原方程组有无穷多解. 其通解为焉爲+•••+&・《“,也,…,咕为任意常数。 其中: 备,盒,…疋”-r为AX=b导出组AX=0的基础解系,弘为AX=b的特解, 【定理1】如果〃是非齐次线性方程组AX=b的解,a是其导出组AXR的一个解,则a+〃是非齐次线性方程组AX=b的解。 【定理2】如果%是非齐次线性方程组的一个特解,a是其导出组的全部解,则是非齐次线性方 程组的全部解。 由此可知: 如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其导出组一定有非零解,且非齐次线性方程组的全部解 可表示为: +Ga+C2a2+…+Cn_ran_r 其中: 久是非齐次线性方程组的一个特解,一是导出组的一个基础解系。 【例题3】判断下列命题是否正确,兔为妙Qi矩阵. ⑴若砖0只有零解,则AYR有唯--解.答: 错,因r(A)=n,rC4)=n=r(A⑻? (2)若松0有非零解,则g有无穷多解.答: 错,因r(4)Sr(J)=㈤? ⑶若如>有唯一解,则傑0只有零解.答: 对,rC4)=r(A|6)% ⑷若A¥=0有非零解,则才更也有非零解. 答: 错M为妙Qi,r(A)=a C4)=3<4,r(jf)=3=za ⑸若r(J)=r%,则AX=b必有解.答: 对,r(J)=r=a=r(A\b)・ ⑹若rC4)=r=n,则必力必有唯一解.答: 错M为少刀,当妙刀时,可以rC4丨6)=卅1・⑴唯一解: r(A)=r(A)=nO线性方程组有唯一解 +2兀=1, +2占=-4. +4x,=-2 ⑵无解: r(A)^r(A)<=>线性方程组无解(或若阶梯形方程组出现0=心/0,则原方程组无解) 可见r(A)=3^r(A)=2,所以原方程组无解. ⑶无穷多解: r(A)=r(A) x}+x2-x3+2x4=3, 【例题6】解线性方程组2册+x2-3x4=1, 一2州一2七+10x4=4. Dx2+勺 护(一1) 1 1 -1 2 3" '1 1 -1 2 3" 2 1 0 一3 1 /jX(-2)+? 2 0 -1 2 -7 -5 qx2+q _-2 0 -2 10 4 0 2 -4 14 10 0 1 -5 -2 1 -2 7 5 0 0 0 0 解: A=(A\B)= 则方程组有无穷多解,其同解方程组为 1 0 0 可见r(A)=r(A)=2<4, '一~A: (其中占,兀为自由未知量) x2=5+2x3一7兀・ 所以,原方程组的通解为“二“+斤点+心冬. "2 1 -1 1 f /)x(-2)+A "1 2 1 -1 2' 1 2 1 -1 2 斤x(-l)+八、 0 -3 -3 3 -3 J 1 2 1 3 0 -1 1 2 1_ 解: A=(A\B)= j 2 1 -1 2" jx(-2)+斤 '1 0 3 3 4" 0 -1 1 2 1 訥-l)> 0 1 -1 -2 -1 0 _3 -3 3 —3- .0 0 -6 -3 _6. 可见厂(A)=r(A)=3<4, 所以方程组有无穷多解,其同解方程组为 3 令.v4=0,可得原方程组的一个特解〃= 令.v4=-2(注: 这里取・2为了消去分母取单位向量的倍数),得召=3入=-3心=1,于是得到导出组的一个基础解系为一; -2 所以,原方程组的通解为X=q+kg(keR)• X|+3x2+3x3一2x4+x5=3 2xl+6x2+x3-3x4=2 Xj+3x^—2a\——=—[ 3%j+9x2+4x3一5x4+x5=5 解: (\ 3 3 -2 1 3、 2 6 1 -3 0 2 —> 1 3 -2 -1 -1 -1 <3 9 4 -5 1 5> 1 0 0 0 3 0 0 0 -2 1 3、 <1 3 3 -2 1 3、 1 -2 -4 0 0 -5 1 -2 -4 1 -2 -4 0 0 0 0 0 0 1 -2 一4丿 <0 0 0 0 0 0丿 因为r(A)=r(A)=2<5, 所以非齐次线性方程组有无穷多组解,取自由未知量为x2,x4,抵, x.+3x.+3x.一2兀+x. 同解 原方程组与方程组1-345 —5%3+兀4—2兀5=~~ (°)z (34 取自由未知量孔,小,花为0,得原方程组的一个特解: 7;0=-A-AO (0丿 x.+3心+3x.一2xa+Xc=0再求其导出组的基础解系,其导出组与方程组)|: ;同解 一5些+R一2心=0 则原方程组的全部解为: x=Cq+C2a2+C.a.+;7o 3.证明与判断 【例题9】己知%〃L73是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明+6+773也是齐 次线性方程组AX=0的一个基础解系。 证: 由已知可得: 齐次线性方程组AX=0的基础解系含有3个解向量,并且由齐次线性方程组解的性质可 知771"】+〃2+卩都是AX=0的解;因此只要证明“I,7+〃2+7线性无关即可。 设存在数匕出出使 kg+爲(7+〃2)+忍(〃1+〃2+〃3)=0成立。 整理得: 伙]+k2+心)〃1+伙2+心)〃2+k3rh=0 (1)已知〃切2"是齐次线性方程组AX=O的一个基础解系,即得meg线性无关,则由⑴得 +k2+k3=0 k2+k3=0,解得: ki=k2=k3=O所以q,〃】+〃2‘〃i+〃2+〃3线性无关。 ■心=0即Z/|,71+〃2,71+J11+%也是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系o 【例题10】己知$疋2,負,爲是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,若 7=+劣2卯2=*? 2+応3,帀3=疋3+G»“4=§4+時1° 讨论十满足什么条件时,小是齐次线性方程组ax=o的一个基础解系 解: 首先,rhmmm是齐次线性方程组AX=0的解,只须证“1・“2,弘・久线性无关. 100/ 由已知有: (7,%,"3皿)=(刍'盒境,灯)olio 1oor即鳥黑Z" oor1 00tb 100/ 因为: Th、7h、7h、rh线性无关o: JJg^0 00/1 所以当t#±1时,rjSE是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系 【例题11】已知力阶矩阵A的各行元素之和均为零,且rC4)=n-l,求线性方程组侶0的通解. 解: 由r(J)=7r-l知A^O的基础解系有一个非零解向量. 又41+。 2+…+ain=097=1,2,…9»即afi-1+ai2・! ■+•••+ain-1=0・・・X=R(1,1,・・・J)T,(&为任意常数)为所求通解. 【例题12】设&&•••,X是非齐次线性方程组AX=M的解向量, 证明: 对于X=AX^kz盼•••+上X 当人+沧+“・+圧=1时,兀是AX=b的解;当怡+民+…+民丸时,兀是侶0的解. 证: AZ=A(hX+JhA5+-+^eX)=厶為+匕似決匕快…+丘尿(人+匕+…+匕)6 故: 当厶+匕+•••+心=1时,AZ二b 当厶+匕+・・・+厶二0时.AK=0 由此可见,非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的 线性组合才是非齐次方程组的解! 【例题13】已知7刀2为AX=fl的两个不同解,是AX=0的一个基础解系・«人为任意常数 答案B 则AX=p的通解为() 【例题14】设小mm是四元非齐次线性方程组丛6的三个解向量,且矩阵A的秩为3, 〃严(1,2,3,4)\〃2+〃3=(0,1,2,3)7,求曲“的通解。 解: 因为A的秩为3,则AX=O的基础解系含有4一3=1个解向量。 由线性方程组解的性质得: %+%-2〃广(%-U)+(%-4)是AX=O的解,则解得AX=O的一个非零解为: 〃2+〃3-2口=(一2,-3,-4,-5)\由此可得AX=b的通解为: (1,2,3,4)'+。 (2,3,4,5)'。 【例题15】设川是4阶方阵,0(工0)是4X1矩阵,《4)=24,7舟申是AX=卩的解, 且满足7+处= '2 4 0 ,2处+仏= 了 0 3 现+仏= 1 0 8 3 1 试求方程组AX=J3的通解. j 17解: 先求AX=fl的一个特解rf=勺(几十心)=Q 4 再求AX=fi的一个基础解系 因为4-/? (A)=2,匚爲线性无关,所以是AX=O的一个基础解系. 故方程组AX=fi的通解是 【例题16】设矩阵A=(心,灿h 证明: AB=O的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=O的解。 证: 把矩阵B按列分块: 3=個4,…,其中侏是矩阵B的第i列向量(212…小 零矩阵也按列分块=(Q,Ow・・,Oj 贝⑷=(的应,…申) 必要性: AB=O可得: AB,=O,.,Q=l,2,…,s),即5是齐次方程组AX=0的解。 充分性: 矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解, 即有ABj=O「(7=12…⑶ 得: AB=(AB{.AB29'.ABs)=(O^O29-.Os)9即证。
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