高等数学函数极限练习题.docx
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高等数学函数极限练习题.docx
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高等数学函数极限练习题
设f(x)
2x
,求f(x)的定义域及值域。
1
x
设f(x)对一切实数
x1,x2成立f(x1x2)
f(x1)f(x2),且f(0)
0,f
(1)
a,
求f(0)及f(n).(n为正整数)
定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数,若f(x)表示将x之值保留二
位小数,小数第3位起以后所有数全部舍去,试用
表示
f(x)
。
I(x)
定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数,若g(x)
表示将x依4舍5入
法则保留2位小数,试用I(x)表示g(x)。
在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元,而零售价为0.40
元,并且如果报纸当天未售
出不能退给报社,只好亏本。
若每天进报纸t份,而销售量为x份,试将报摊的利润y表示为
x的函数。
定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数,试判定
(x)xI(x)的周期性。
判定函数
x
x
ln(1
xx)的奇偶性。
f(x)(e
1)
设f(x)
ex
sinx,问在0
,
上f(x)是否有界?
函数y
f(x)的图形是图中所示的折线OBA,写出y
f(x)的表达式。
x
2,
0
x
;
x
,
x
;
设f(x)
2
(x)
0
4
求f
(x)及f(x).
x
x
4
x
x
,
.
,
.
22
24
6
设f(x)
1,x
0
;
(x)
2x
1,求f
(x)
及
f(x).
1
,x
0
.
e
x
,
x
;
0
,
x
0
;
设f(x)
0
求f(x)的反函数
g(x)及f(x).
x
x
(x)
x
2,
x
0
,
.
.
0
1
x),
(x)
x,x
0
;
求f
(x)
.
设f(x)(x
x2,x
2
0.
2
x,x
0
;
求f
f(x)
设f(x)
x
0.
.
2
,
0
,
x
;
x
,
x
;
0
(x)
1
1
求f(x)
(x).
设f(x)
x
,
x
0
.
x
,
x
.
1
e
x,
x
0;
设f(x)
x1,0
x
4;
求f(x)的反函数(x).
x
1,
4
x
.
x
,
x
;
1
设f(x)
x2,1
x
4;求f(x)的反函数(x).
2
x
,
4
x
.
1
x
2,x
0;
设f
(x)
求:
x,x
0.
(1)f(x)的定义域;
(2)f
(2)
及
2
.为常数
)
。
f(a)(a
1
,
x
;
1
设f(x)
x,
x
1;求f(x2
3)
f(sin
x)
5f(4x
x2
6).
1,
x
1.
设f(x)
2x
1,x
0
;
求f(x
1).
x2
4,x
0.
设f(x)
x2,x
1;
,求f
(cos
)及f
(sec
).
log2x,x
1
.
4
4
x
2
,
1
x
0;
设f
(x)
0
,
x
0;试作出下列函数的图形
:
x
2
,
x
0
.
(1)y
;
;
f(x)
f
(x)
.
f(x)
(2)y
f(x)(3)y
2
x
,
2
x
;
0
设
f
(x)
,
x
0
试作出下列函数的图形
:
1
x
,
x
2
20
(1)y
;
;
f(x)
f(
x).
f(x)
(2)y
f(x)(3)y
2
2
;
1
x
x
设f(x)
1
试画出y
f(x),y
f(x),y
f(x).的图形。
x
x
,
.
11
2
设
f(x)
(x),1
x
0,
(
x
)
(
)
11
求
在
2
,使f
x
,上是偶函数。
x
,
x
.
x
0
1
(x),当x0时,
设f(x)
0,
x
(1)求f(2
cos
(2)求
(x),使
0,
当x0时,
1,当x0时.
x
x);
f(x)在(,)是奇函数。
1x0;
设
f(x)x
,
0
x
;
F
(
x
)
f
(1
2
x
),
1
2
x,1
x
2
.
(1)求F(x)的表达式和定义域;
(2)画出F(x)的图形。
0,
1
x
0;
设f(x)
x
1,
0
x
1;求f(x)的定义域及值域。
2
x,
1
x
2.
设f(x)
1
x,x
0;
2x,x
0.
求f
(2)、f(0)及f
(2)的值。
设f(x)
x2
x
1
,x
1;
f(1a),其中a0.
2x
x2,x
1
求f(1a)
求函数y
lnx
1的反函数,并作出这两个函数的图形。
求函数y
sin(
x
4
)的反函数y
(x),并作出这两个函数的图形(草图)。
求函数y
tan(
x
1)的反函数y
(x),并作出这两个函数的图形(草图)。
利用图形的叠加作出函数y
x
sinx的图形。
利用图形的叠加作出函数y
x
1的图形。
x
作函数y
1
的图形(草图)。
x
1
作函数y
ln(
x
1)的图形(草图)。
作函数y
arcsin(
x
1)的图形。
(草图)
作出下列函数的图形:
(草图)
(1)y
x2
1;
(2)y
x
2;
(3)y
(x
1)
2.
设函数y
lgax,就a
1和a
2时,分别作出其草图。
利用y
2
x的图形(如图)作出下
列函数的图形(草图)
:
(1)y
2x
1;
(2)y
1
2
x.
3
利用y
sin
x的图形(如图)作出下
列函数的图形:
(草图
)
(1)y
sin2x;
(2)y
sin(x
)。
4
利用y
sinx的图形(如图)作出下列函数的图形:
(草图)
(1)y
1
sinx;
2
(2)y
1
sinx1
2
ππ
2
求函数y
ln
x
(
,
)的反函数,并指出其定
义域。
3
求函数y
ch
x
(
x
)的反函数,并指出其定
义域。
3
求函数y
Sh
x
(
x
)的反函数,并指出其定
义域。
3
2x
1的反函数,并指出其定
求函数,
y
e
义域。
e2x
1
验证1
cth2x
1
。
2
x
sh
验证1
th
2
1
x
ch
2
。
x
验证Ch(
)
Ch
Ch
Sh
Sh
。
验证Ch(
)
Ch
Ch
Sh
Sh
。
验证Sh(
)
Sh
Ch
Ch
Sh
。
验证Sh(
)
Sh
Ch
Ch
Sh
。
验证2Shx
Chx
Sh2x。
证明Sh2xCh2xCh2x。
设f(x)
arctanx
(
x
),(x)
x
a,
1
ax
(a
1,x
1),验证:
f
(x)
f(x)
f(a)。
设f(x)
1
lnx,(x)
x
1,求f
(x)。
设f(x)
x
,
(x)
1,求f
(x)。
1
2
x
x
设f(x)
sinx,
(x)
2x
,求f
(x)、
f
(x)及f
f(x)。
设f(x)
x1,(x)2
1
,求f
(x)及f(x)。
x
1
设f(x)
x
(x
0,x
1
及fffx。
x
1
1),求f
f(x)
1
x
2
1,求f
设f(x)
,
(x)
(x)及其定义域。
x
1
x2
1
已知f(x)
2
(x)
(x)0,求(x),并指出其定义域。
ex,f
1
x,且
设f(x)
lnx,(x)
1x2,求f
(x)及f
(0)。
设f(x)
arcsin
x,
(x)
lgx,求f
(x)及其定义域。
求函数y
x2
1(x
1)的反函数,并指出反函数的定义域。
求函数y
lgarccos
x3(
1
x)的反函数,并指出其定义域。
1
求函数y
arctg
1
x
的反函数
。
1
x
求函数y
求函数y
求函数y
1(ex
ex)的反函数,并指出其定义域。
2
a
x
ln
(a0)的反函数的形式。
a
x
x
e
的反函数,并指出其定义域。
1ex
求函数y
xx
4x的反函数
。
求函数f(x)
1
1
x
1)的反函数
(x),并指出
(x)的定义域。
(x
1
1
x
求函数f(x)
loga
(x
1
x2)的反函数
(x)(式中a
0,a1)。
x
x
e
e
,求f(x)的反函数(x),并指出其定义域.
设f(x)
ex
ex
x
(0
x
),试讨论f(x)的单调性和有界性。
设f(x)
1x
讨论函数f(x)
x
1
在区间(0,1)和(1,
)内的单调性。
x
讨论函数f(x)
x
的有界性。
1
2
x
讨论函数f(x)
1
,当x(
,0)
(0,
)时的有界性。
1
3
2x
讨论函数f(x)
2x在(
,
讨论函数f(x)
x
a
x(a1)在
讨论函数f(x)
1
lnx在(0
)上的单调性。
(,)上的单调性。
,)内的单调性。
x
2,
1
x1
设f(x)
,(x)f(ax)b
x
,
x
3
11
试求a,b的值,使
(x)(x0除外)为奇函数。
3
1sin3x的最小正周期。
判断f(x)
ex
1
1
x
x
1
ln
x
(1
x
1)的奇偶性。
e
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