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概率论与数理统计习题
第一章概率论的基本概念
一、填空题:
p(aUb)=
1.设AuB,P(A)=0.1,P(B)=0.5侧P(AB)=
P(AUB)=
2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为
3.设A,B,C为三事件且P(A)=P(B)=P(C)=丄,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=,则
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A,B,C中至少有一个发生的概率为
4.一批产品共有10个正品和2个次品,不放回的抽取两次,则第二次取到次品的概率
5.设A,B为两事件,P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,当A,B不相容时,P(B)=
当A,B相互独立时,P(B)=
2.、选择题
BUA,则下列式子正确的是(
(A)P(AUB)=P(A)
(B)P(AB)=P(A)
(C)P(BA)=P(B)
(D)P(B-A)=P(B)-P(A)
2.每次试验成功的概率为p(0
概率为(
)o
(A)Cwp4(1-p)6
(B)C;
4/”\6
p(1-p)
(C)C;p4(1-p)5
(D)C9
3"X6
P(1-P)
3.设A,B为两事件,则P(A-B)等于(
)o
(A)P(A)-P(B)
(B)P(A)-P(B)+P(AB)
(C)P(A)-P(AB)
(D)P(A)+P(B)-P(AB)
4.关于独立性,下列说法错误的是
)o
(A)若A,A2,川,An相互独立,则其中任意多个事件Ai,A2,川,Ak(k (B)若Ai,A2,川,An相互独立,则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相 互独立 (C)若A与B相互独立,B与C相互独立,A与C相互独立,则A,B,C相互独立; (D)若A,B,C相互独立,则AUB与C相互独立 5.n张奖券中含有m张有奖的,k个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率是 )。 m (B)Ck Cn Ck (A) Cn-m Ck Cn (C) C1Qk CmCn-m c: Cm c: 三、解答题 1.写出下列随机式验的样本空间及事件 A包含的样本点 (1)掷一颗骰子,设事件A={出现奇数点}; (2)—袋中有5只球,分别编号为1,2,3,4,5,从中任取3球。 A={取出了3只球的最小号码为2}。 2.设A,B, C为三个随机事件,用 A,B,C的运算关系表示下列各事件: (1)A发生, B,C都不发生; A与B都发生,而C不发生; (3)A,B, C中到少有一个发生; (4) C都发生; (5)A,B, C都不发生; (6) C中不多于一个发生。 3•已知P(A)=丄,P(B)=-,求下列三种情形下 3■ P(AB)的值 (1)A与B互不相容; (2)AUB; (3)A与B相互独立。 4•一批产品共40个,其中 5个次品,现从中任意取4个,求下列事件的概率。 A={取出的4个产品中恰有 1个次品};B={取出的4个产品中至少有1个次品} 5.已知在10件产品中有2只次品,在其中两次,每次取一只,作不放回抽样求下列 事件的概率 (1)两只都是正品; (2)两只都是次品; (3)—只是正品,一只是次品; (4)第二次取出的是次品。 6.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为 求: (1)三人中至少有一人能将此密码译出的概率; (2)三人全部将此密码译出的概率。 7.已知男性中有5%是色盲,女性中有0.25%是色盲,今从男女人数相等的人群中随机挑选一人,恰好是色盲,问此人是男性的概率是多? 8.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别 A生产的概率。 占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该产品是工厂 、填空题: 第二章 随机变量及其分布 1•一袋中装有5只球,编号分别为 1,2,3,4,5在袋中同时取3只,以X表示取 出的3只球中的最大号码,则随机变量 X的分布律为 C 2.设随机变量X的分布律为P{X=k}=,k=0,1,2,3,则常数C= k+1 3.若随机变量巴在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+©x+1=0有实根的概率 Xc0 4.设连续型随机变量X的分布函数为 0 X>1 P{"xq= 5.—射手对同一目标独立地进行四次射击 ,若至少命中一次的概率为80,则该射手的命 81 中率为 、选择题 1.常数b=()时, Pk b k(k+1) (k=1,2,川)为离散型随机变量的概率分布 1 (C)2 2.若要®(X)=COSX可以成为随机变量X的概率密度,则X的可能取值区间为( (A)2;(B)1; (D)3 兀 (A)[0,-] (C)[0,兀] 兀 (B)[-^] 3江7兀 (D)[― 2 4] 22 3.设随机变量X与丫均服从正态分布,X〜N(巴4),Y~N(巴5), 记Pi=P{X<4—4},P2=P{Y34中5},则( (A)对任何实数4,都有P1=P2 (B)对任何实数4,都有P1VP2 (C)只对4的个别值,才有P1=P2 (D)对任何实数 ,都有P1> P2 4.如下四个函数,哪个是分布函数( (A)F(x)=< 0, 1 2, 3 4, 1, X<0 0 1 X>2 (B) F(x)={ 0, sinX, X, 1, (C)F(x)才 兀 — 4 X>1 0, 2 X Xc0 0 3—X2 ——+2x-—— 2 0, 1ex<2 X》2 三、解答题 1.一批零件有 出的废品不再放回去, (D)F(x)={ 0, 1+x xcO 2 1, 9个合格品,3个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个 求在取得合格品以前已取出的废品数的分布律 2.设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)= [0, 1 8 1 4 5 一1 3.设随机变量X的分布律为 X-2 -1 0 xH1 ,若果每次取 0 2 6 Pk1 5 丄 15 11 30 2 求: (1)X的分布律 P{—1CX<1.5} ⑶X的分布函数F(X) 4.设连续型随机变量X的概率密度为 f(X)=Ae+x,-处cX€+处, 求: (1)常数A (2)P{0CXCl} (3)X的分布函数。 5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度 x j1 为fx={5e5,x》0,某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开他一个月要到 0,其它 Y的分布律,并求 银行5次,以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。 写出 P{Y刑。 6.由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数M=10.05,^0.06的正态分布。 规定 长度在范围10.05±0.12内为合格品,求一螺栓不合格的概率。 兀兀 7.设随机变量X在(--,-)上服从均匀分布,求Y=sinX的概率密度。 第三章多给随机变量及其分布 、填空题: 1.若(X,Y) 若X与丫 F(2,1)= 的分布律(下表)已知,则a,b应满足的条件是 独立,贝ya=,b= 1 2 3 1 1 6 1 9 1 18 2 1 3 a b 2.设(X,Y)在以原点为中心,r为半径的圆盘上服从均匀分布, f(x,y) L2.22 0,X,则c= 用(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)表述以下概率: (a,b,c,d忘R) P£ Ed}= P{a P{x>a,Y>b}= FZ/UZ),V"0为(X,Y)的联合分布函数,则它的 I0其匕 联合概率密度f(x,y)= 22 5.设随机变量X与丫的相互独立,且X~N(2,3),丫〜N(—1,,4), 二、选择题: 1.设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为: f(x,y)=* 1, 0, 0cXc1,0cyc1 其它则概 率P{X<0.5,Y<0.6}为( (A)0.5 (B)0.3 2.设随机变量X与丫相互独立,是()。 7 (C)8 其概率分布为下表 (1), (D)0.4 (2),则下列式子正确的 5 (C)P{X=Y}=—(D)P{X=Y}=0 9 3.下列四个二元函数,哪个不能作为二维随机变量(X,Y)的分布函数( (A)X=Y(B)P{X=Y}=1 (A) F(x,y)=p (1_6」)(1-e^),0cx 其它 (B) sinxsiny, "W。 , xx 0 22; 其它 (C) (D) F4(x,y)=1+2」一2^+2」t。 4.设 X,Y是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为 Fx(Z),Fy(Z), 则Z=max(X,Y)的分布函数为( )。 x+2y知 X+2ycl (A) (B) (C) Fz(z) =Fx(z)+Fy(z); (D) Fz(z) 二Fx(z),Fy(z); Fz(z)=max{Fx(z),Fy(z)}; FZ(z)=max{|Fx(z)|,|Fy(z)|}; 5.随机变量 X与丫相互独立,且X~N(0,1)和Y~N(1,1),则以下正确的是 1 (A)P{X+Y<1}=- 1 (C)P{X-Y<0}=- 1 (B)P{x+丫<0}=2 1 (D)P{X-Y<1}=2 三、计算题: 1.在一箱了中有12只开关,其中 2只是次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑 两种试验: (1)放回抽样: (2)不放回抽样。 定义随机变量如下: _;0,第一次取出正品_jo,第二次取出正品 x第一次取出次品丫=(1,第二次取出次品 0.2,0.5,以X和丫分别 试分别就 (1) (2)两种情况,写出X和丫的联合分布律和边缘分布律。 2.甲乙两人独立地进行两次射击,设甲乙的命中率分别为表示甲和乙的命中次数,试求X和丫的联合概率分布律和边缘分布律。 3.设X和丫是两个相互独立随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,丫的概率密 fee®,vaO孑 度为*(『){L亠,求 (1)(X,丫)的联合概率密度; (2)P{Y兰X}。 [0,其它 X>0V》0 心X,丫[的联合概率密度为: f(x,沪0,,其它求: (1) 常数 k; (2)(X,Y)的分布函数;(3)求P{0 ix+y,OcxctOcycl 5.设(X,Y),的联合概率密度为f(x,y^|0^其它求 (1) y, 关于 X,Y的边缘概率密度; (2)判别X与丫是否独立。 6.离散型随机变量(X,Y)的分布律如下图: 求丫=0时,X的条件概率分布。 0 1 2 -1 0.1 0.3 0.15 0 0.2 0.05 0 2 0 0.1 0.1 N(160,20Z)分布,随机地取 7.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从 4只,求其中没有一只寿命小于180小时的概率。 (① (1)=0.8413) 8已知X与丫的分布律为: (下表所求),且X和丫相互独立,求X+Y的分布律。 X 1 2 Pr 0.5 0.5 Y 1 2 Pr 0.5 0.5 1 9.设平面区域D由曲线y=—及直线y=0,X=1,x=ez所围成,二维随机变量(X,Y) X 在区域口上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在X=2处的值为 (1998年数学一) 10.已知随机变量X和丫的联合概率密度为f(X,y)= 0 其它 X和丫的联合分布函数F(x,y)o(1995年数学四)o 、填空: 第四章随机变量的数学特征 1.设X~兀仏),且P{x=1}=P{x=2},贝UE(x)= D(x)= 2.设随机变量 的概率密度为: 一*"1则 其它 E(x)= 3.若X~b(3,0.4), Y=1-2X所服从的 分布中E(X)= D(X)= 相互独立 E(X)=0,E(Y)=1,D(X)=1,则 E[X(X+Y-2)]= 5•设X1,X2,…Xn是一组两两独立的随机变量,且Xi~N(m,cj2),i=1,2,…n,令 XXj,贝yX服从的分布是 ny 二、选择题 设X和Y为两个随机变量,已知E(XY)=E(X)E(Y),则必有( (A)D(XY)=D(X)'D(Y)(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y) (C)X与丫相互独立 (D)X与丫相关 若随机变量X与丫满足D(X+Y)=D(X-Y),则下列式子正确的是( (A)D(Y)=0 (B)D(X)D(Y)=0 (C)X与不相关 (D)X与Y相互独立 若(X,Y)~N(U1,U2,时®;;P),则P=0当且仅当( 成立: (A)Pij=pi.Pj (B) f(x.y)=fx(x)fy(y) (C)D(XY)=D(X)D(Y) (D) X与Y相关 4.X与Y相互独立,且D(X)=6,D(Y)=3, 则Z=2X-3Y的D(Z)为( (A)51 (B)21 (C)-3 (D) 36 的联合概率密度函数为 『2—X—y,f(x,y)」y 0, 0VXC1,0VyV1 其它则X 与丫的相关系数 PxY=( )。 (A)-1 5 (C) 11 1 (D) 11 三、计算: 1.掷一骱子,X为其出现的点数,求 X的E(X),D(X)。 2•已知(X,Y)的联合分布律: (1) 判定X与丫是否独立; (2)求X与丫相关系数 PxY,并判定X与丫是否相关。 -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 3.设X~U[O,兀],试求: (1)X的概率密度f(x); (2)丫=sinx的数学期望;(3)若E(Y2)=1,求D(Y)。 2 4.设长方形的高(以m计)X~U(0,2),已知长方形的周长(以m计)为20,求长方形面积A的数学期望和方差。 a,0CX<1,0Cy 5.设(X,Y)~f(x,y)斗廿宀,则a=? E(XY)=? lO,其匕 6.已知X-N(1,32),Y-N(0,42),Pxy=-丄,设随机变量E-+丄Y,求 (1) 2 E(Z),D(Z); (2)X与Z的相关系数Pxz。 7.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量Y= 1, 0, -1, >0 =0,则方差 Xc0, D(Y)= 。 (2000年数学三) 8.设X的概率密度为: f(X)=1e卡1,二cxc畑 2 (3)X与|X|是 ⑴求E(X).D(X); (2)求X与|X|的协方差,并问X与|X|是否不相关; 否相互独立? 为什么? (1993年数学一) 第五、六章大数定理及中心极限定理和抽样分布 、选择题(以下各题选项中只有一个正确) 1、设丫1,丫2…Yn是一随机变量序列,a是常数,那么此序列依概率收敛于a的充要条 件是 (A)对任何实数 >0limP{|Yn-a|<£}=1h—^ (B) 对任何实数 (C) 对任何实数 >0P{|Yn-a|<科=1 (D) 对先分小的 hmRIYn—a|<舒纣 h_jiC 2.设各零件的重量都是随机变量,它们相互独立。 且服从同一分布, 数学期望为0.5kg, 均方差为0.1kg。 那么5000只零件的总重量超过2510kg的概率是 (A) 0.0787(B)0.0778 (C)0.0797 (D)0.0798 3.设 Xi,X2…Xn是来自总体 X的一个样本。 那么样本的标准差是 (A) 1丈(Xi-X)2 ny (B) 1n 疋(x2 _2 -X) (C) 1n ——SXi-nXn—1y _2 (D) 1n_2 ;112(Xi-X) 4.关于t分布的分位点的正确结论是 (A)tq(n)=—怙(n) (B)t^(n)=1-ta(n) (C)t』n)=—3n) (D)t(n)=他n) 1 2 5.设总体X的均值是 卩,方差是b2,X1,X2,…Xn是来自X 的一个样本,下列 结论正确的是 (A)E(X)=4 -c2 D(X)二一 n (B) E(X)=n4 _2 D(X)"2 (C) E(X)=卩 一c2 D(X)=— n (B) E(X)=卩 D(X)"2 二、填空: 1.X1,X2,…Xn 是来自总体X的一个样本,那么样本k阶中心矩 n 2 2.均值为U,方差是b>0的独立同分布随机变量X1,X2,…Xn之和2Xk的标准化 k三 n 送Xk-nu 分布; 变量——在n充分大时近似服从 JncT 3.若'Sm)72~72(n2),且叱工;独立,则叱7;服从 分布 2_2X—U 4•设X1,X2,…Xn是总体N(u,b2)的样本,X,S2分别是样本均值和样本方差。 则一戸 S/Vn 服从 三、解答下列各题 1.据以往经验,某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。 现随机地取 16只,设它们的寿命是相互独立的。 求这16只元件的寿命总和大于1920小时的概率,(注: ①(0.8)=0.78817)。 2.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m,现从中随机取出100根,问其中至少有这30根短于3m的概率。 (①(2.5)=0.9938)。 3.一复杂系统由n个相互独立作用的部件组成。 每个部件的可靠性为0.9且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作。 问n至少为多在才能使系统的可靠性不低于 0.95? ,随 4•某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望卩,方差62=400。 为了估计卩 机地取n只这种器件,在时刻大于t=0投入测试(设测试是相互独立的)直到失散,测得 其寿命为Xi,X2,…Xn以XXi,作为卩的估计,为了使P{X-片<1}>0.95。 至少为多少? 10 5.设Xi,X2,…Xi0为N(0,0.32)设一个样本,求P{SXi2》1.44} 2 6.已知X~t(n)求证X2~F(1,n) 7.设总体X〜b(1,P)Xi,X2,…Xn是来自X的样本 n (1)求SXi的分布律 (2)求(X1,X2,…Xn)的联合分布律 id: ⑶求E(X),D(X),E(S2) 8.设在总体N(Hcr2)中抽取容量, 16的样本。 (1)求P{S2/CT2<2.041} (2)求D(S2) 第七章参数估计 、选择题(以下各题选项中只有一个正确) 1.设总体X的均值 u及方差b都存在。 且有 ^2》0,但U,b2均未知。 X1,X2,…Xn 是来自X的样本,那么 2 U,cr的矩估计值是( (A) X,—送(Xi—X)2ny (B) n 2(Xi-X) i二 (C) X,-S ny (Xi2 -X2) (D) -nX) 1n X,-Z(Xi2 ny 的一个样本,那么参数p的最大的然估计 值是 (A)X (B)S2 (C)nX 1- (D)-X n 3.下列命题中不正确的是 (A) 样本均值 X是总体均值 ( u的无偏估计 (B) 样本方差 (Xj-X)2是总体方差b2的无偏估计 (C) (Xi—X)2 是b2的无偏估计 (D) 1n k阶样本矩Ak=-Z ni# _k —k Xi是k阶总体矩uk=E(X)的无偏估计 4.设已给X1,X2"■Xn是总体N(u,b2)的样本,X,S2分别是样本均值和样本方差, 当b2未知时,量倍水平为1-X的量倍区间是 (A)(X±〒Zx) Jn _c (B)(X土一Zx) n2 c2 (C)(X土——Zx) n2 _C (D)(X±〒Zx)Qn2 5.X1,X2/-Xn是总体 n 22 X的一个样本。 E(X)=u,D(X)=cr2当^(XF-Xj)2 iz4 是b2的无偏估计时 c的值是( 1 (A)- n 1 (B)—— n—1 1 (C) 2(n—1) n (D)—— n—1 二、填空题: 1、在X~兀仏)的条件下 p{X =0}的最大似然估计值是 2.Xi,X2,…Xn为总体 N(u^2)的一个样本。 X,s2分别是样本均值和样本方差, 当CT2未知时,u的置信水平是 1-a的量倍区间是 3.连续型随机变量X的密度函数MxJcZ) XACc 廿宀中日的矩估计量是 其匕 2 D(X)=cr2当 4.X1,X2"-Xn是总体X的一个样本,E(X)=u, _2 —22 c= 时X-cS是u的无偏估计 2.设x1,x2/-Xn为总体的一个样本,x1,x2/-Xn为相应的样本值。 若总体密度函数 0€xV1 其它一求日的矩估计量和
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