数学教学教什么?.ppt
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数学教学教什么?
数学教学教什么?
何何小小亚亚华南师范大学数学科学学院华南师范大学数学科学学院教授教授教育部教育部国培计划国培计划专家库首批专家库首批专家专家全国数学教育研究会常务理事副秘书长全国数学教育研究会常务理事副秘书长广东省中小学继续教育专家组成员广东省中小学继续教育专家组成员数学教育学报数学教育学报杂杂志志编编委委中学数学研究中学数学研究杂志杂志副主编副主编2012-03-162012-03-162012-03-162012-03-16廉江廉江廉江廉江内内容容提提要要A.“.“考教悖论考教悖论”的破解的破解B.教概念本质的理解教概念本质的理解C.教数学原理的本质教数学原理的本质D.积累问题解决经验积累问题解决经验E.重新审视重新审视解题教学解题教学F.结束语结束语A.“.“考教悖论考教悖论”的破解的破解1.1.什么是什么是“考教悖论考教悖论”?
2.2.数学玩什么?
数学玩什么?
3.“3.“考教悖论考教悖论”的破解的破解1.什么是什么是“考教悖论考教悖论”?
考教悖论:
考教悖论:
一线教师:
一线教师:
“考什么就教什么考什么就教什么!
”!
”命题专家:
命题专家:
“教什么就考什么教什么就考什么!
”!
”2.数学玩什么?
数学玩什么?
音乐玩音乐玩声音、节奏,关注旋律声音、节奏,关注旋律美术玩美术玩色彩、线条,讲究搭配色彩、线条,讲究搭配体育玩体育玩肌肉、运动,追求更高、更快、更强肌肉、运动,追求更高、更快、更强语文语文言语、文字,关注人性、情感言语、文字,关注人性、情感物理、化学、生物物理、化学、生物科学实验,关注自然、物质现象科学实验,关注自然、物质现象2.数学玩什么?
数学玩什么?
数学玩数学玩数量关系、空间形式、模型结构数量关系、空间形式、模型结构数学追求的是数学追求的是精确!
精确!
逻辑!
逻辑!
简洁!
简洁!
和谐!
和谐!
统一!
统一!
数学所玩的数学所玩的数量关系、空间形式、模型结构数量关系、空间形式、模型结构是虚的是虚的看不见,摸不着!
看不见,摸不着!
数量关系数量关系-代数的根基:
代数的根基:
复数复数-实数实数-无理数无理数-有理数有理数-分数分数-整数整数-自然数自然数-11空间形式空间形式-几何的根基:
几何的根基:
三维空间三维空间-体体二维空间二维空间-面面一维空间一维空间-线线-点点点动成线,线动成面,面动成体!
点动成线,线动成面,面动成体!
在现实世界中,在现实世界中,“11”和和“点点”是不存在的,它是不存在的,它们是抽象的思维形式,是虚的,看不见,摸不着们是抽象的思维形式,是虚的,看不见,摸不着.因此,因此,对普罗大众而言,对普罗大众而言,数学最不好玩!
数学最不好玩!
但是,但是,十七世纪文艺复兴时期,英国思想家十七世纪文艺复兴时期,英国思想家FrancisBacon(1561156116261626):
):
*“读史使人明智,读诗使人灵秀,演算使人精密读史使人明智,读诗使人灵秀,演算使人精密”*“一个思维不集中的人,他可以研习数学,因一个思维不集中的人,他可以研习数学,因为数学稍不仔细就会出错为数学稍不仔细就会出错.”.”*“数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙.”.”意大利天文学家、力学家意大利天文学家、力学家GalileoGalilei(1564(15641642)1642):
*“数学是上帝用来书写宇宙的文字数学是上帝用来书写宇宙的文字.”毕达哥拉斯学派主张:
毕达哥拉斯学派主张:
万物皆数!
万物皆数!
德国著名的天体物理学家德国著名的天体物理学家JohannesKepler(1571157116301630):
):
“几何学在上帝创造万物前就已存在,为上帝创世几何学在上帝创造万物前就已存在,为上帝创世提供了模型。
提供了模型。
”我认为,数学模型结构的概括性、统一性、我认为,数学模型结构的概括性、统一性、精确性使得精确性使得数学成为驾驭众多学科的数学成为驾驭众多学科的“上帝上帝”!
数数学学社会科学社会科学自然科学自然科学因此,因此,我们不能不玩数学!
我们不能不玩数学!
如何让学生和我们玩如何让学生和我们玩最不好玩的数学最不好玩的数学呢?
呢?
1.1.数学教师本身要数学教师本身要“好玩好玩”良好的形象魅力良好的形象魅力(比英语老师更(比英语老师更“洋气洋气”、比、比语文老师更激情、比音乐老师更感性语文老师更激情、比音乐老师更感性););让人钦佩的人格魅力让人钦佩的人格魅力(乐观、阳光、风趣、(乐观、阳光、风趣、幽默、宽容、与众不同幽默、宽容、与众不同)孔子曾说孔子曾说,“,“能行五者于天下为仁矣能行五者于天下为仁矣”五行:
恭、宽、信、敏、惠。
五行:
恭、宽、信、敏、惠。
2.2.数学考试要简单,让学生有成就感!
数学考试要简单,让学生有成就感!
如何使学生玩转数学呢?
如何使学生玩转数学呢?
3.“.“考教悖论考教悖论”的破解的破解我的我的葵花宝典葵花宝典:
教会学生教会学生以不变应万变!
以不变应万变!
如何做到以不变应万变如何做到以不变应万变?
1.1.理解数学概念本质理解数学概念本质2.2.抓住数学原理结构抓住数学原理结构3.3.学会数学问题解决学会数学问题解决BB.教教概念本质的理解概念本质的理解1.1.概念教学的本质概念教学的本质不是低水平的概念言语连不是低水平的概念言语连锁学习,而是要帮助学生获得概念的心理意义,锁学习,而是要帮助学生获得概念的心理意义,即形成概念内涵的心理表象,最终建构起良好的即形成概念内涵的心理表象,最终建构起良好的概念图式。
概念图式。
概念图式主要由一些反映概念属性的观念组成概念图式主要由一些反映概念属性的观念组成.概念图式结构的内容(何小亚,概念图式结构的内容(何小亚,20112011):
):
反映概念属性的观念、具体的概念例证、反映概念属性的观念、具体的概念例证、概念的的言语编码,以及与其它概念的联系概念的的言语编码,以及与其它概念的联系.2.2.如何评价概念图式的优与劣?
如何评价概念图式的优与劣?
评价的标准:
评价的标准:
1.1.概念图式中观念的多少;概念图式中观念的多少;2.2.观念的准确与否;观念的准确与否;3.3.观念的深刻程度观念的深刻程度良好的概念图式是由一系列反映概念本质属良好的概念图式是由一系列反映概念本质属性的观念组成。
性的观念组成。
概念图式中观念的多少;观念的准确与否;概念图式中观念的多少;观念的准确与否;观念的深刻程度这三个维度反映了学生概念理解的观念的深刻程度这三个维度反映了学生概念理解的水平。
水平。
比比如如,的的教教学学本本质质是是帮帮助助学学生生建建构构起起认认知知图图式式:
“是是一一个个数数;它它不不会会是是负负的的;它它的的平平方方等等于于;在在数数轴轴上上它它可可能能是是原原点点也也可可能能在在原原点点的的右右边边;和和都都是是表表示示一一个个数数的的符符号号,他他们们没没有有什什么么不不同同;”又比如,又比如,的教学本质是帮助学生建构的教学本质是帮助学生建构起认知图式:
起认知图式:
“是一个数;它可正可负;是一个数;它可正可负;”字母字母a的良好的认知图式是:
的良好的认知图式是:
1.1.作为结果,它是作为结果,它是;2.2.作为过程,它是作为过程,它是;3.3.a的四种几何意义是的四种几何意义是.良好的代数式概念图式是:
良好的代数式概念图式是:
1.1.作为结果,它是作为结果,它是;2.2.作为过程,它是作为过程,它是;3.3.代数式的现实意义、代数式的现实意义、几何意义几何意义;4.4.作为函数的代数式作为函数的代数式;5.5.代数式样例代数式样例;6.6.代数式的言语编码代数式的言语编码.3.3.会解题,考试成绩好的学生,并不保证会解题,考试成绩好的学生,并不保证他有好的概念图式。
他有好的概念图式。
例如,例如,20092009年广州一摸理科第年广州一摸理科第1010题题:
学学生生会会做做此此题题,但但不不会会做做20092009年年高高考考广广东东卷卷理科第理科第88题题20092009年高考年高考广东卷理科第广东卷理科第88题题4.4.数学概念学习的几种水平数学概念学习的几种水平(何小亚,何小亚,2003)2003)了解;理解;掌握;综合运用了解;理解;掌握;综合运用.(11)了解)了解能回忆出概念的言语信息;能辨认出概念能回忆出概念的言语信息;能辨认出概念的常见例证;会举例说明概念的相关属性的常见例证;会举例说明概念的相关属性.许多教师对于许多教师对于标准标准没有介绍反函数的定没有介绍反函数的定义,仅要求知道指数函数与对数函数互为反函数义,仅要求知道指数函数与对数函数互为反函数这一变化十分困惑,不知如何把握深浅度。
这一变化十分困惑,不知如何把握深浅度。
(2009年广东高考理科第3题)强化函数概念的好例子强化函数概念的好例子反函数反函数事事实实上上,反反函函数数不不是是什什么么新新玩玩意意,它它就就是是一一种种与与原原函函数数联联系系紧紧密密的的一一种种函函数数。
反反函函数数之之所所以以难难教教,并并不不是是它它本本身身难难,而而是是它它的的上上位位概概念念函函数数概概念念的的教教学学出出了了问问题题,即即没没有有真真正正帮帮助助学学生生建建构构起起良良好好的的函函数数概概念念认认知图式知图式。
良好的函数概念图式:
良好的函数概念图式:
“函数是两个非空数集之间的一种对应关系;函数是两个非空数集之间的一种对应关系;在一个集合中任意取定一个数,总可以在另一在一个集合中任意取定一个数,总可以在另一个集合里找到唯一确定的数与它对应;前面的个集合里找到唯一确定的数与它对应;前面的集合叫定义域,那些被唯一确定的所有数组成集合叫定义域,那些被唯一确定的所有数组成了叫做值域的集合;函数概念的关键是由谁唯了叫做值域的集合;函数概念的关键是由谁唯一确定了谁;函数概念与函数所用的符号没有一确定了谁;函数概念与函数所用的符号没有什么关系,就像人的名字一样;什么关系,就像人的名字一样;”这一心理图式含有具体的函数实例(解析式、图这一心理图式含有具体的函数实例(解析式、图像、表格、映射图)、抽象的对应过程、定义像、表格、映射图)、抽象的对应过程、定义的言语编码,以及与其它概念的联系(方程、的言语编码,以及与其它概念的联系(方程、曲线、不等式、代数式等)。
曲线、不等式、代数式等)。
(22)理解)理解能能把把握握概概念念的的本本质质属属性性;能能与与相相关关概概念建立联系;能区别概念的例证与反例念建立联系;能区别概念的例证与反例.教概念就要教会学生做什么呢?
教概念就要教会学生做什么呢?
A.A.以概念为标准去判断一个对象是否是概念以概念为标准去判断一个对象是否是概念B.B.学会对上位概念重新分类学会对上位概念重新分类.矩形:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.(33)掌握)掌握在理解的基础上,能直接把概念运用于新在理解的基础上,能直接把概念运用于新的情境的情境.例如,例如,20092009年高考年高考广东卷理科第广东卷理科第1313题:
题:
综合运用:
能综合运用概念解决问题综合运用:
能综合运用概念解决问题.例如,例如,20102010年高考年高考广东卷理科第广东卷理科第2121题:
题:
“综合运用综合运用综合运用综合运用”则强调综合运用各种知识来解决问题则强调综合运用各种知识来解决问题则强调综合运用各种知识来解决问题则强调综合运用各种知识来解决问题.而这里所说的而这里所说的而这里所说的而这里所说的“问题问题问题问题”则包括纯数学问题和实际问题,则包括纯数学问题和实际问题,则包括纯数学问题和实际问题,则包括纯数学问题和实际问题,以及介于这两者之间的应用题(部分理想化了的实际以及介于这两者之间的应用题(部分理想化了的实际以及介于这两者之间的应用题(部分理想化了的实际以及介于这两者之间的应用题(部分理想化了的实际问题)问题)问题)问题).综合运用的难度主要取决于知识点的数量与由已知通向综合运用的难度主要取决于知识点的数量与由已知通向综合运用的难度
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