信息光学第二章习题doc.docx
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信息光学第二章习题doc
第二章习题解答
2.1一列波长为久的单位振幅平面光波,波矢量k与x轴的夹角为45°,与y轴夹角为
60°,试写出其空间频率及z=©平面上的复振幅表达式。
答:
,fy,〃&,y,zJ=exp(jkZ|)expj2兀寻兀+寺丿"(0,0,0)
2.2尺寸为aXb的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明,求出紧靠屏后的平面
上的透射光场的角谱。
2.3波长为Q的单位振幅平面波垂宜入射到-•孔径平面上,在孔径平面上白一个足够人的
模板,其振幅透过率为心°)=0・5(1+2$"兀%^
答:
:
2.5图2・14所示的孔径由两个相同的矩形组成,它们的宽度为a,长度为b,屮心相距为d。
采用单位振幅的单色平而波垂直照明,求与它相距为Z的观察平而上夫琅和费衍射图样
的强度分布。
假定b=4a及d=1.5a,画出沿兀和y方向上强度分布的截而图。
如果
对其屮一个矩形引入位相差龙,上述结果有何变化?
图题2.5
(1)
答:
如图所示,双缝的振幅透射率是两个中心在(0,0)及(0,--)的矩形孔径振幅透射22
透射光场
〃0(兀0*0)=1,
利用傅立叶变换的相移定理,得到
=absinc(afx)sinc(bfy)X[exp(—归厶d)+exp(j兀匚d)]
2absinsinc(^-)xcos
AzAz
把它带入(3)式,则有
强度分布
不难看出,这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样和互调制的结果。
双缝的振幅透射率也可以写成下述形式:
它和
(1)式木质上是相同的。
由(4)式可以利用卷积定理肓接求出其傅立叶变换式,导出
与上述同样的结果。
代入所给条件b=4a,d=15a
沿x轴,此时fy=0
KfxJy)=Sa2smc2(afx)
中心光强:
I(0,0)=8a2
77
极小值位置为:
fx=-5二±1,±2,…)
a
图题2.5
(2)
图题2.5(3)
由于是单位振幅平血波垂肓照明,孔径平血上入射光场
"oCwJT,
透射光场,b=4a,d=l・5a时
由夫琅和费衍射方程,在夫琅和费区屮离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样
U(x,y),它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式(频率坐标人=罕,仁=务),即AZAz
利用傅立叶变换的相移定理,得到
F{U(x.,y())}=F[recti^]rect(};()~°'15a}exp[-j^]l+F|reel(匹]啦(丸±22丝”
1;1"丿I4a)1L7IUJI4a)\
=[&氏血(?
(妙2叱(4叭应卩(-1.5加人)旳(-丿力)]+%讪110(妙小皿(4叭咫卩(1.5〃7;)=8^/2sinc(q£Jsinc(4afy)x(exp(-1.5j7rfy一.pr)+exp(l.5力r/j)把它带入(3)式,则有
"(兀,y)=
exp(jfe)exp;^(x2+y2)
'-x8f/2sinc(afx)sinc(4afy)
X(exp(-1.5j7Tfy-j兀)+cxp(1.5j7Tfy))
2z
exp(yfe)expJ—(^2+)'2)
-xSa2sinc(^-)sinc(
强度分布
2.6图2・14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为/(x0)=step(x0)o采用单位振幅的单色平而波垂直照明,求相距为Z的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振幅分布。
画出在X方向上的振幅分布曲线。
振幅分布Illi线图从略。
2.9一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数
f112、
•
/、r
circ
—
(22)
心)=
(1)这个屏的作用在什么方面像一个透镜?
(2)给出此屏的焦距表达式。
(3)什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置(特别是对于彩色物体)?
答:
(1)解
(4)
衍射屏的复振幅投射率如图所示,也町以把它表示为直角坐标的形式:
(1)式大括号中笫一项仅仅是使直接透射光振幅衰减,其他两项指数项与透镜位相变换因
L
子exp-J—(x2+y2)比较,可见形式相同。
当平面波垂直照射时,这两项的作用是分别产牛会聚球而波和发散球而波。
因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似打透镜,因了circ&表明该屏具冇半径为/的I员【形孔径。
\丿
(2)解
把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较,得到相应的焦距,对于
,则有
—exp[-ja(x2+y2)]项,令a=
4
______
12aXa
焦距厶为负,其作用相当于发散透镜,对于“丄”这一项來说,平行光波直接透过,仅振
幅衰减,可看作是
厶=°°
(3)解
由于该衍射屏冇三重焦距,用作成像装置时,对同一物体它可以形成三个像,例如对于无穷远的点光源,分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像,另一个像在无穷远(肓接透射光)(参看图4.12)。
当观察者观察其中一•个像时,同时会看到另外的离焦像,无法分离开。
如用接收屏接收,在任何一个像而上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。
除此以外,对于多色物体来说,严重的色差也是一个重要的限制。
因为焦距都与波长兄成反比。
例如取
人cd=6900A,/U=4000A,贝ij有
-0・57仏
这样大的色差是无法用作成像装置的,若采用白光作光源,在像而上可以看到严重的色散现彖。
这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图,即伽柏全息图。
2.10用波氏为2=6328A的平面光波垂直照明半径为2mm的衍射孔,若观察范围是与衍射
孔共轴,半径为30加加的閲域,试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。
答:
山式(2.55)兰〉〉*(:
+耳)$及式(2-57)Z〉〉”氏+尤)有菲涅耳衍射和夫琅和费
衍射分别要求
2.11单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为。
的圆形孔径上,试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。
答:
圆形孔径的透过率叮表示为
根据式(2.53)有
轴上的振幅分布为
轴上的强度分布为
2.12余弦型振幅光栅的复振幅透过率为
/(%0)=a-^-hcos2
式中,d为光栅周期,a>h>0,a>h>0。
观察平而与光栅相距z。
当z分别収卜•列各数
222
值:
(1)Z=ZT=^-――i
(2)Z-—-^-―X(3)Z=—=—T(式中Z;•称作泰伯距离)
A2A42A
吋,确定单色平面波垂直照明光栅,在观察平面上产生的强度分布。
答:
根据式(2.31)单色平而波乖总照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为
强度分布为
角谱为
如;、
a
/
¥(%+刃o)]%〃儿
利用二项式近似有
期AJy,z)=exp[jkz^a5(/v,fy瓚§(人十人)+〈人#人))旳[
期fXJy^)=^Pj
与A)(A,人)仅相差一个常数位相因子,因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。
4nJ2
,^7"
⑵弋弓时
A(A>fy^)=exp丿亍一ps(/r,fy以斗人对丿、'、Z复振幅分布为
xx-d/2
U(x,y)=a-bcos2皿一=a+bcos2n
dd
因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平而波垂直照明卜•刚刚透过余弦烈
振幅光栅产生的强度分布。
(3)Z=^=—
42A
exlLj2_,
“fxJyQ=exp[jk7^a5(/v,fy肖(彳人弓人
对应复振幅分布为
(x,y\=exp^jkz)a-jbcos2n—
.d
强度分布为
/(x)=6f2+/?
2COS22JI—
d
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