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实验一arima模型建立与应用
实验一ARIMA模型建立与应用
一、实验项目:
ARIMA模型建立与预测。
二、实验目的
1、准确掌握ARIMA(p,d,q)模型各种形式和基本原理;
2、熟练识别ARIMA(p,d,q)模型中的阶数p,d,q的方法;
3、学会建立及检验ARIMA(p,d,q)模型的方法;
4、熟练掌握运用ARIMA(p,d,q)模型对样本序列进行拟合和预测;
三、预备知识
(一)模型
1、AR(p)(p阶自回归模型)
xt1xt12xt2pxtput
其中ut白噪声序列,3是常数(表示序列数据没有0均值化)
AR(p)等价于(1丄2L2丄p)Xtut
AR(p)的特征方程是:
(L)1丄2L2pLp0
AR(p)平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。
2、MA(q)(q阶移动平均模型)
Xtut1ut12ut2qutq
Xt(11L2L2qLq)ut(L)ut
其中{ut}是白噪声过程。
MA(q)平稳性
MA(q)是由ut本身和q个ut的滞后项加权平均构造出来的,因此它是平稳的。
MA(q)可逆性(用自回归序列表示ut)
ut[(L)]1Xt
可逆条件:
即[(L)]1收敛的条件。
即3(L)每个特征根绝对值大于1,即
全部特征根在单位圆之外。
3、ARMA(p,q)(自回归移动平均过程)
(L)Xt(L)ut
L)=0的根都在单位圆外;可逆性
ARMA(p,q)平稳性的条件是方程◎(条件是方程3(L)=0的根全部在单位圆外。
4、ARIMA(p,d,q)(单整自回归移动平均模型)差分算子:
xtxtxt1xtLxt(1L)xt
22
XtXtXt1(1L)Xt(1L)Xt1(1L)Xt
dd
Xt(1L)Xt
对d阶单整序列Xt~I(d)
wtdXt(1L)dXt
则wt是平稳序列,于是可对wt建立ARMA(p,q)模型,所得到的模型称为Xt~ARIMA(p,d,q),模型形式是
Wt1Wt12Wt2pWtpUt1Ut12Ut2qUtq
(L)dXt(L)ut
由此可转化为ARMA模型。
(2)模型识别
要建立模型ARIMA(p,d,q),首先要确定p,d,q,步骤是:
一是用单位根检验法,确定Xt~I(d)的d;二是确定Xt~AR(p)中的p;三是确定Xt~MA
(q)中的q。
平稳序列自相关函数
COV(Xt,Xtk)COV(Xo,Xk)「k
Jvar(XjJvar(XtQJvar(x°)Jvar(x0)
p0=1,p-k=pk(对称)
1、平稳AR(p)的自相关系数和偏自相关系数
(1)平稳AR(p)的自相关系数
Xt
1Xt12Xt2
pXtpUt
1i
1<1,i=1,2,…
•,p,E(ut)=0
XtkXt
1xtkxt1
2XtkXt2
pXtkXtpXtkUt,k>0
k
1k12k2
pkp,
k>0
平稳AR(p)的自相关系数是
k
1k12k2
pkp,
k>0
(2)
k阶平稳自回归过程AR(k)的偏自相关系数
Xt
k1Xt1k2Xt2
kkxtk
Ut
XtXtj
k1Xt1xtj
k2Xt2Xtj
kkXtkXtjutxtj
两边同除以丫0
1
k1
k2
1
kk
k1
2
k1
1
k2
kk
k2
k
k1
k1
k2k2
kk
对于给定的k,p1,p2,…,pk已知,每个方程组最后一个解就是相应的偏自相关系数:
©11,©22的,…,©kko
p3是k=3的自相关系数,意义:
度量平稳序列xt与xt-3的相关系数,至
于中间xt-1,xt-2起什么作用无法顾及。
©33的k=3的偏自相关系数。
意义:
易9除中间变量xt-1,xt-2的影响后,度
量xt与xt-3的相关程度。
2、平稳MA(q)的自相关系数和偏自相关系数
(1)MA(q)自相关系数
xtUt1Ut12Ut2
qutq
2(1
22
12
q2),k0
2
kE(XtXtk)(k
1k1k
qq),0kq
0,kq
1,k
0
土(
kk1k1
kqq)/(1
222、
12q),0kq
r。
0,k
q
当k>q时,pk=0,xt与xt+k不相关,这种现象称为截尾,因此可根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶数q。
(2)MA(q)偏自相关系数
MA(q)模型对应一个AR(%),通过AR(^)来解决
3、ARMA(p,q)有拖尾特征,p和q的识别通过从低阶逐步试探直到合适的模型为止。
(3)模型估计
用Eviews软件进行估计
(4)模型检验
1、用t统计量检验模型参数显著性;
2、为保证ARMA(p,q)的平稳性和可逆性,模型特征根皆应在单位圆以外,或倒数在单位圆内;
3、用Q统计量对残差进行白噪声检验。
原假设和备择假设
H1:
12K0(序列不存在自相关,是白噪声)
Ho:
1,2,,K不全为0(序列存在自相关,不是白噪声)
统计量
Kr2
QT(T1)k"2(K)
其中上述r是样本相关系数,T是样本容量,分布是极限分布。
K是自相关系数的个数,即最大滞后期。
若样本较大,则K=[T/10]或T的平方根;若样本较小,贝UK=[T/4]。
判别规则是:
2
Q(K)接受原假设,
Q2(K)拒绝原假设。
(五)模型外推预测
已有ARMA(p,q)模型
Xt1Xt12Xt2pXtpUt1Ut12Ut2qUtq
和观察值Xt,Xt-1,Xt-2,…,X1。
把观察值代入,在t+1时刻有
Xt11Xt2Xt1pXtp1ut11ut2ut1qutq1
上式中,观察值已知,只有误差处理问题。
下标大于t的误差项,由于未来的误差未知,因此用期望值0代替未来的误
差。
下标从1到t的误差项,可用残差估计值(要建模时可找到)代替。
于是
1步预测公式:
Xt
(1)1Xt2Xt1pXtp101ut2ut1qUtq1
类似地,2步预测公式和I步预测公式分别是:
Xt⑵
1Xt
(1)2Xt2
pXtp2
00
2Ut3Ut1qUtq2
Xt(h)
1Xt(h1)2Xt(h
2)
pXt(h
p)hUth1Ut1qUtqh
其中,h-p<=0时,Xt(hp)Xthp
h-q>0时,utqh0
四、实验内容
1、ARIMA(p,d,q)模型阶数识别;
2、ARIMA(p,d,q)模型估计与检验;
3、ARIMA(p,d,q)模型外推预测。
五、实验软件环景:
Eviews软件。
六、实验步骤:
按、以美元对欧元汇率1993.1到2007.12的月均价数据为例进行实验。
(一)创建Eviews工作文件(Workfile)
从Eviews主选单中选“File/New\Workfile”,选择“monthly”选项,输入“Startdate:
1993:
01Enddate:
2007:
12。
DisplayFilter.
F?
ange:
1993M012007M12“180obs空叩怎1993M川2007M12-1切此s
園c
Seuro
0reeid
(二)录入数据,并对序列进行初步分析
1、导入数据
Quick/EmptyGroup
在SerOI输入数据;改变量名:
点击SerOI全选第一列,在命令栏输入EURO将文件保存命名,注意存放地址。
鸞EView5-[Series:
EUROWorkHle:
UNTITL
口FileEditObject4iewPro;£uckO^tior卡酒训|Pfe10厲色吐|PFop.Ftiw|PFinfc|Naw色Ff*ea色]|
EURO
Lastupdate
1393M01
Rsmoi
0.824020
1993M02
1S93M02
□S4J490
1993M03
1993M03
0.048870
1993M04
1S93Mt)4
0.819070
1993MQ5
1S93M05
0821690
1993IVI06
1593M06
□.046110
1993M07
1993lVia7
0.9S1790
1993M08
1S93M0B
□SB3440
1993MOS
1993M09
0.053070
1993M10
1993M10
0.063170
1993M11
1993M11
□065240
19S3M1*2
1993M12
0.885880
1994IV101
1994M01
0.897920
1994M02
1594M02
QB94420
1994M03
1994M03
0875990
1994MO4
1994M04
0.070510
1994M05
1S94M05
□359600
1994IV106
1994M06
□.846120
1994MD7
W94M07
0.919590
1994M08
阳別閘闻
Q.S20470
2、序列初步分析
选定变量EURO,双击它,View\Graph\Line,输出EURO的曲线
从图形看到美元对欧元汇率在2001年左右处于高位,2002年以后一直处于下跌态势。
数据总体上类似于随机游走过程形式,应该是非平稳的。
(三)ARIMA(p,d,q)模型阶数识别
1、确定单整阶数d
(1)用不含时间趋势项、解释变量中不含差分项的模型,即对模型
euroteurot1t进行单位检验(UnitRootTest)。
假设H0:
0;备择
假设H!
:
0。
在工作文件窗口,选定变量EURO,双击它,在EURO页面上,点击View\UnitRoot
Test\ADF,表示已经进入扩展的DF检验。
选择Level(对水平变量进行单位根检验,检验系数对应的项EUROt-1)\|ntercept(不含时间趋势变量)\Automaticselecttion(解释变量不含EUROt-1的差分),并且在maximum中选择0(表示差分滞后项数取0,即不含EUROt-1的差分)
NullHypothesis:
EUROhasaunitroot
Exogenous:
Constant
LagLength:
0(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=0)
t-Statistic
Prob.*
AugmentedDickey-Fullerteststatistic
-0.583908
0.8699
Testcriticalvalues:
1%level
-3.466994
5%level
-2.877544
10%level
-2.575381
*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.
AugmentedDickey-FullerTestEquation
DependentVariable:
D(EURO)
Method:
LeastSquares
Date:
04/11/11Time:
08:
24
Sample(adjusted):
1993M022007M12
Includedobservations:
179afteradjustments
Variable
Coefficient
Std.Errort-Statistic
Prob.
EURO(-1)
-0.007496
0.012838-0.583908
0.5600
C
0.005875
0.0114750.511990
0.6093
R-squared
0.001923
Meandependentvar
-0.000766
AdjustedR-squared
-0.003716
S.D.dependentvar
0.020297
S.E.ofregression
0.020334
Akaikeinfocriterion
-4.941907
得到结果
eurot0.0058750.007496eurot1
t=(0.511990)(-0.583908)
p=(0.6093)(0.5600)
要确定差分方程的样本容量T,原有的样本容量是180,差分后样本容量是T=179;取a=5%查附表2,得临界值T=-2.88;统计量观察值为t=-0.583908>t=-2.88,所以接受假设(从概率值大于0.05也得到接受的结论),即认为汇率序列(EURO)是非平稳的。
H1:
0。
在工作文件窗口,选定变量euro,双击,在euro页面上,点击View\UnitRootTest\ADF,表示已经进入扩展的DF检验。
选择1stdifferent(对1阶差分进行单位根检验,检验系数对应的项是厶eurot-1)\Intercept(不含时间趋势变量)\User
specifi取0(解释变量不含厶eurot-1的差分)。
得到结果
NullHypothesis:
D(EURO)hasaunitroot
Exogenous:
Constant
LagLength:
0(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=0)
t-Statistic
Prob.*
AugmentedDickey-Fullerteststatistic
-9.676555
0.0000
Testcriticalvalues:
1%level
-3.467205
*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.
AugmentedDickey-FullerTestEquation
DependentVariable:
D(EURO,2)
Method:
LeastSquares
Date:
04/11/11Time:
08:
36
Sample(adjusted):
1993M032007M12
Includedobservations:
178afteradjustments
Variable
Coefficient
Std.Errort-Statistic
Prob.
D(EURO(-1))
-0.691721
0.071484-9.676555
0.0000
C
-0.000638
0.001452-0.439553
0.6608
R-squared
0.347267
Meandependentvar
-8.27E-05
AdjustedR-squared
0.343559
S.D.dependentvar
0.023885
S.E.ofregression
0.019352
Akaikeinfocriterion
-5.040911
Sumsquaredresid
0.065909
Schwarzcriterion
-5.005160
Loglikelihood
450.6411
F-statistic
93.63572
Durbin-Watsonstat
1.871573
Prob(F-statistic)
0.000000
由软件输出结果得到回归模型
2
eurot0.0006380.691721eurot1
t=(-0.439553)(-9.676555)
p=(0.6608)(0.0000)
取a=5%求样本容量T,原来样本容量是180,2阶差分分后T=178,查附表2,得DF检验的临界值为t=-2.88,
对厶euro平稳性检验的统计量观察值为t=-9.676555 设,即认为个人可支配收入一阶差分时间序列(4euro)是平稳的。 即厶euro~I(0),因此euro~I (1),即euro是一阶单整的,从而d=1。 2、确定自回归阶数p和移动平均阶数q 因为d=1,所以用euro1阶差分△euro的自相关函数(ACF和偏自相关函数(PACF判断p和q值。 生成△euro GENRdeuro=euro-euro(-1) (也可以在1stdifferent实现) Workfile: 实整一-(c: UacuniEntfand祀Tlin申ladmhii*… ¥ie枷|Pro匚|Obiect|Pfint|Saye|Detafc+J-1Show|Fetch|Store|Delete| Range: 1993M012007M12-130cbs=5 Sample: 1993M012007IVI12-190cb£ c deuro euroresid 在deuro页面上,选View\Correlogram\Level P「oc|ObjectP「operties|PrintIhbinelFtceEE[Default -— 聽EVicwj-|SeriE5TDEUROWorkFilc;实营—lUnthlc町 QFileEdit空tj販tVievjProcgj*CgtiansWTidowjHelp ”直卅|Pfmi|objB: qP忙pBitiesIPrint|Ma耐|Free细京mplm|石叭|巨haet|抽匕|Id朗t|Lire CorrelogniniofDEURO Date: 04/12/11Time: 1044 Sample: 1993MQ12007M12 Includedobservations: 179 Autocorrelation PartialCorrelation AC FAC Q-Stat Prob i =□ i =□ 1 0.310 0.310 17.4B5 o.ra 1 □ 1 2 -0.U89 -0,205 18.951 0.001 '□ 1 i| 1 3 -0.115 -0.020 21,374 □.00( i 1 i 1 4 *0.021 0.D11 21.459 0.M i 了 i ]i 5 0.077 0.065 22E o.oot 1 1 Il1 1 0037 0.021 22.B33 0.00 1 ]l 1 l< 0.062 0.006 23.559 0.00- 1 11 II 工 0.126 0.105 2B546 0.00- 1 ]i 1 1 0.071 0.011 27.515 DE 1 丁 1 □ 10 0.113 0.139 29.979 0.00 1 II 1 1 11 0.049 -0.005 30446 □w 1 1 1 1 12 *0.016 -0.003 30.496 □.□0: 1 1 1 1 13-0.D10 0,007 30.514 0.00* 1 1 l[ 1 14-0032 -0.043 30713 0.00F 1 1 11 1 15 -0.004 -0.015 30716 0.Q1E 1 1 11 1 16 0.007 -0.023 30.726 □.OV 1 □ 1 □ 17 0.141 0.149 34.729 000; 1 □ 1 ]l 16 0.173 0.052 40730 0.00: V ! ll □ W 」F|F日tti=匸吐docwnEnts冃ndsettings询dininistr^ta~VnydoerriGnts|DEi=no呛 Deuro的偏自相关函数(PACF)系数在1为0.310,2处为期不远0.205,但是从3以后明显接近0,所以取p=2。 Deuro的自相关函数(ACF)在1为0.310,但是从2以后明显接近0,所以取q=1。 至于p和q的最终确定还要从低开始试探,直到定出合适的模型为止。 初步适合EURO的模型有: ARIMA(1,1,0)、ARIMA(2,1,0)、ARIMA(0,1,1)、ARIMA(1,1,1)、ARIMA(2,1,1)。 (四)ARIMA(p,d,q)模型估计与检验 (1)ARIMA(1,1,0)模型估计与检验 Quick\Estimate\LS(NLSandARMA) 在对话框输入d(euro)car (1) EquationE5timdtion SpecicttianQptioftS fiiiti JepemderLtvariablefollftwedbyListofregrcsErtrsuidFELtermORan电找pliuilequationlik« d^urccar (1)| 「Estimationsvttm.w MaLhod: 刁 Sample1993N01200TNH2 确定|取消| 潘EVWW5-[Equation: UNTITLEDWorkfile: 实耋一UJrmU… QFileEditQjjjectView QuickOetionsVVindov? Help _o'X VlevjProcObjectPrint|N
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