人教版九年级上册圆专题复习2切线证明及计算.docx
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人教版九年级上册圆专题复习2切线证明及计算
人教版九年级上册圆专题复习2切线证明及计算
圆的切线证明及计算
一、知识回顾
1、切线证明的两种主要类型:
(1)已知直线经过圆上某一点,辅助性的作法是连接圆心和这一点,判定方法是:
经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。
(2)未知直线是否经过圆上的某一点,辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段,判定方法是:
到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
2、圆的有关计算:
经常用到垂径定理、勾股定理等。
二、例题讲解:
例1:
如图1,在Rt△ABC中,
BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,
.
(1)
求证:
AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)若
,求EC的长.
注:
(1)角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中,任意两个作为条件都可以推导出第三个。
(2)直角三角形中的特殊边角关系的应用。
例2:
如图2,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,E为AB上一点,DE=DC,以D为圆心,以DB的长为半径画圆。
求证:
(1)AC是⊙D的切线;
(2)AB+EB=AC。
证明:
(1)过点D作DF⊥AC于F.
∵AB为⊙D的切线,AD平分∠BAC,∴BD=DF.
∴AC为⊙D的切线.
(2)在△BDE和△DCF中,∵BD=DF,DE=DC,
∴△BDE≌△DCF(HL),∴EB=FC.
又AB=AF,∴AB+EB=AF+FC,即AB+EB=AC.
三、课堂练习:
1、如图3,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,在∠ACD的外部作∠ACE=∠ACD,CE的反向延长线交AB的延长线于点P.
(1)求证:
PE是⊙O的切线;
(2)若PC=4,PA=8,求sinP的值.
2、如图4,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作⊙D,AB=5,EB=3.
求证:
⑴AC是⊙O的切线;
⑵求线段AC的长.
3、如图5,已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠B的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F.
(1)求证:
EF是⊙O切线;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的长.
4、已知:
如图6,∠ACB=60°,CE为∠ACB的角平分线,O为射线CE上的一点,⊙O切AC于点D.
(1)求证:
BC与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为6,P为⊙O上一点,且使得∠DPC=90°,求DP的长.
5、(2009年元月调考试题)如图7,在边长为4的正方形
中,以
为直径作⊙
,以
为圆心,
长为半径作⊙
,两圆交于正方形内一点
,连
并延长交
于
.
(1)求证:
与⊙
相切;
(2)求△
和直角梯形
周长之比.
四、课后作业:
1、如图8,AB为⊙O的直径,D是⊙O外一点,AD交⊙O于C,AE平分∠BAD交⊙O于E,AD⊥ED于D。
(1)求证:
DE为⊙O的切线。
(2)若CE∥AB,AB=10,求CD的长
2、如图9,已知点C是线段BD上一点,分别以线段BC和线段DC为边在同侧做等边三角形ABC和等边三角形CDE,⊙O是△ABC的外接圆.
⑴求证:
CE是⊙O的切线;
⑵若△CDE的边DE所在直线恰好与⊙O相切,线段BD=4,求⊙O的半径.
3、如图10,AB是⊙O的直径,AC是弦,弦AE平分∠CAB,ED⊥AC于D,
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AB=10,DE=4,求AC的长。
4、如图11,
中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于D,OE∥AB交BC于E,连DE.
(1)求证:
DE为⊙O切线;
(2)若⊙O的半径为3,DE=4,求AD之长.
5、已知:
如图12,△ABC中,AB=AC,点O在AB上,⊙O过点B且分别与边AB、BC交于D、E两点,过D作DF⊥AC,垂足为F。
(1)判断DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AC与⊙O相切于点G,⊙O的半径为3,CF=1,求AG的长。
6、如图13,Rt△ABC,以AB为直径作⊙O交AC于点D,弧BD=弧DE,过D作AE的垂线,F为垂足.
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
(2)若DF=12,⊙O的半径为13,求EF.
7、如图14,△ABC中,∠B=90°,O为AC上一点,以OA为半径的⊙O经过BC上一点D,交AB于F,交AC于E,且
.
(1)求证:
BC为⊙O切线;
(2)若BF=2,BD=4,求AF的长.
8、如图15,AB是半圆O的直径,AD为弦,∠DBC=∠A.
(1)求证:
BC是半圆O的切线.
(2)若OC∥AD,OC交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的长.
9、如图16,已知等边△ABC,以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)判断DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论.
(2)过点F作FH⊥BC,垂足为点H,若等边△ABC的边长为4,求FH的长.
10、如图17,⊙O为四边形ABCD的外接圆,圆心O在AD上,OC∥AB.
(1)求证:
AC平分∠DAB;
(2)若AC=8,AD∶BC=5,试求⊙O的半径.
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