排列组合分类精选试题.docx
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排列组合分类精选试题
排列组合分类精选试题1
常考点一:
与几何图形结合
1.如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6,直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个( )
A.116B.128C.215D.98
2.在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点,边OB上有异于顶点O的4个点,加上点O,以这11个点为顶点共可以组成 个三角形(用数字作答).
2.在平面直角坐标系中,x轴正半轴上有5个点,y轴正半轴上有3个点,将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有( )
A.30个B.35个C.20个D.15个
3.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.6B.32C.33D.34
4.用1,3,5,7,9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,若A、B、C的值互不相同,则不同的直线共有( )
A.25条B.60条C.80条D.181条
5.已知直线
(θ是非零常数)与圆x2+y2=100有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( )
A.60条B.66条C.72条D.78条
5.从集合{1,2,3,…,11}中任选两个元素作为椭圆方程
+
=1中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)||x|<11,且|y|<9}内的椭圆个数为( )
A.43B.72C.86D.90
6.方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣3,﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A.60条B.62条C.71条D.80条
7.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有( )
A.24对B.30对C.48对D.60对
8.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )
A.70个B.64个C.58个D.52个
21.由正方体的八个顶点中的任意两个所确定的所有直线中取出两条,这两条直线是异面直线的概率是 .
20.以长方体ABCD﹣A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形共面的概率是 (用数字作答).
总结
常考点二:
多排问题
10.将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有( )
A.6种B.12种C.24种D.48种
12.将1、2、3、…9这九个数字填在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每一列从上到下依次增大,当6在图中的位置时,则填写空格的方法有( )
A.8种B.18种C.12种D.24种
11.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为( )
A.6种B.12种C.18种D.24种
23.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排正中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 .
22.大小形状完全相同的8张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中任意抽取6张卡片排成3行2列,则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为 .
17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?
9.16人排成4×4方阵,从中选出3人,要求其中任意2人既不同行也不同列,则不同的选法有( )
A.600种B.192种C.216种D.96种
14.甲乙和其他4名同学合影留念,站成两排三列,且甲乙两人不在同一排也不在同一列,则这6名同学的站队方法有( )
A.144种B.180种C.288种D.360种
16.某次活动中,有30个人排成6行5列,现要从中选出3人进行礼仪表演,要求这3人任意2人不同行也不同列,则不同的选法种数为 (用数字作答).
18.在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一格,共有 种停放方法.(用数字作答)
总结
常考点三:
正难则反
三个男生,四个女生排成一排,甲不在最左,乙不在最右,有几种不同方法?
用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复数字的三位数,其中1不在个位的数共有_______种。
从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种?
15.有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机地摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( )
A.
B.
C.
D.
24.随机抽取的9位同学中,至少有2位同学在同一月份出生的概率为 (默认每个月的天数相同,结果精确到0.001)
(2005·福建·理)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有()
A.300种B.240种C.144种D.96种
总结
常考点四:
整除问题
25.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有 个.
26.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中能被3整除的四位数有 个.
总结
(一)能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
能被2 (或5)整除的数,末位数字能被2(或5)整除;
能被4 (或25)整除的数,末两位数字能被4(或25)整除;
能被8 (或125)整除的数,末三位数字能被8(或125)整除;
(二)能被3、9整除的数的数字特性
能被3(或9)整除的数,各位数字和能被3(或9)整除。
(三)能被7整除的数的数字特性
能被7整除的数,其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7整除的数,其末三位数与剩下的数之差,能被7整除。
(四)能被11整除的数的数字特性
能被11整除的数,奇数位的和与偶数位的和之差,能被11整除。
能被11整除的数,其末三位数与剩下的数之差,能被11整除。
(五)能被13整除的数的数字特性
能被13整除的数,其末三位数与剩下的数之差,能被13整除。
排列组合分类精选试题1
参考答案与试题解析
一.选择题(共15小题)
1.(2014春•雨城区校级期中)如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6,直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个( )
A.116B.128C.215D.98
【解答】解:
由题意需要分三类,第一类,3个点全在半圆周上有
=20个,
第二类,二个点在半圆周上,有
=60个,
第三类,一个点在半圆周上,有
=36个,
根据分类计数原理可得,20+60+36=116个.
故选:
A.
2.(2015春•齐齐哈尔校级月考)在平面直角坐标系中,x轴正半轴上有5个点,y轴正半轴上有3个点,将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有( )
A.30个B.35个C.20个D.15个
【解答】解:
根据题意,x轴的正半轴上有4个点,y轴的正半轴上有5个点,
可以利用这8个点,构造凸四边形,每一个凸四边形的对角线的交点必在凸四边形的内部,即必在第一象限;
最多有C52C32=30个交点落在第一象限;
故选:
A.
3.(2010•杭州模拟)用1,3,5,7,9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,若A、B、C的值互不相同,则不同的直线共有( )
A.25条B.60条C.80条D.181条
【解答】解:
用1,3,5,7,9五个数字中的三个来替换A、B、C;A、B、C的值互不相同,
是分步乘法计数原理,直线条数是5×4×3=60
故选B
4.(2007•湖北)已知直线
(θ是非零常数)与圆x2+y2=100有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( )
A.60条B.66条C.72条D.78条
【解答】解:
可知直线的横、纵截距都不为零,即与坐标轴不垂直,不过坐标原点,而圆x2+y2=100上的整数点共有12个,分别为(6,±8),(﹣6,±8),(8,±6),(﹣8,±6),(±10,0),(0,±10),前8个点中,过任意一点的圆的切线满足,有8条;12个点中过任意两点,构成C122=66条直线,其中有4条直线垂直x轴,有4条直线垂直y轴,还有6条过原点(圆上点的对称性),故满足题设的直线有52条.综上可知满足题设的直线共有52+8=60条,
故选A
5.(2005•天津)从集合{1,2,3,…,11}中任选两个元素作为椭圆方程
+
=1中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)||x|<11,且|y|<9}内的椭圆个数为( )
A.43B.72C.86D.90
【解答】解:
椭圆落在矩形内,满足题意必须有,m≠n,所以有两类,
一类是m,n从{1,2,3,…6,7,8}任选两个不同数字,方法有A82=56
令一类是m从9,10,两个数字中选一个,n从{1,2,3,…6,7,8}中选一个
方法是:
2×8=16
所以满足题意的椭圆个数是:
56+16=72
故选B.
6.(2012•四川)方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{﹣3,﹣2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A.60条B.62条C.71条D.80条
【解答】解:
方程变形得
,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,所以分b=﹣3,﹣2,1,2,3五种情况:
(1)当b=﹣3时,a=﹣2,c=0,1,2,3或a=1,c=﹣2,0,2,3或a=2,c=﹣2,0,1,3或a=3,c=﹣2,0,1,2;
(2)当b=3时,a=﹣2,c=0,1,2,﹣3或a=1,c=﹣2,0,2,﹣3或a=2,c=﹣2,0,1,﹣3或a=﹣3,c=﹣2,0,1,2;
以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;
(3)同理当b=﹣2或b=2时,共有16+7=23条;
(4)当b=1时,a=﹣3,c=﹣2,0,2,3或a=﹣2,c=﹣3,0,2,3或a=2,c=﹣3,﹣2,0,3或a=3,c=﹣3,﹣2,0,2;
共有16条.
综上,共有23+23+16=62种
故选B.
7.(2014•安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有( )
A.24对B.30对C.48对D.60对
【解答】解:
正方体的面对角线共有12条,两条为一对,共有
=66条,
同一面上的对角线不满足题意,对面的面对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数,
不满足题意的共有:
3×6=18.
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60°的共有:
66﹣18=48.
故选:
C.
8.(1990•全国)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( )
A.70个B.64个C.58个D.52个
【解答】解:
正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个
不能组成四面体的4个顶点有,已有的6个面,对角面有6个
所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有:
70﹣12=58个
故选C.
9.(2015春•松原校级期末)16人排成4×4方阵,从中选出3人,要求其中任意2人既不同行也不同列,则不同的选法有( )
A.600种B.192种C.216种D.96种
【解答】解:
由题意知本题是一个计数原理的应用,
从4列中选择三列C43=4;
从某一列中任选一个人甲有4种结果;
从另一列中选一个与甲不同行的人乙有3种结果;
从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有2种结果
根据分步计数原理知共有4×4×3×2=96,
故选:
D.
10.(2008•全国卷Ⅰ)将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有( )
A.6种B.12种C.24种D.48种
【解答】解:
填好第一行和第一列,
其他的行和列就确定,
∴A33A22=12,
故选B
11.(2012•济南三模)将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为( )
A.6种B.12种C.18种D.24种
【解答】解:
∵每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,
1、2、9只有一种填法,5只能填右上角或左下角,
5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个;
余下两个数字按从小到大只有一种方法.
共有2×3=6种结果,
故选A.
12.(2015春•河池期末)将1、2、3、…9这九个数字填在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每一列从上到下依次增大,当6在图中的位置时,则填写空格的方法有( )
A.8种B.18种C.12种D.24种
【解答】解:
如图所示,中间数为4,其他数从左到右依次增大,从上到下依次增大,故左上角必须填数字1,右下角必须填数字9.
设未填的方格中应填的数字依次是a、b、c、d、e、f,
其中d,f只能是7和8,有A22种填法,
当a,c排定后b,e随之排定,故只要排好a,c即可,
在2,3,4,5中按a小c大来选排,有C24种排法,
因此,一共有A22•C24=12种不同的填法,
故选:
C.
13.(2017•自贡模拟)已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.6B.32C.33D.34
【解答】解:
不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33=36,
但集合B、C中有相同元素1,
由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,
故所求的个数为36﹣3=33个,
故选C.
14.(2017•洛阳模拟)甲乙和其他4名同学合影留念,站成两排三列,且甲乙两人不在同一排也不在同一列,则这6名同学的站队方法有( )
A.144种B.180种C.288种D.360种
【解答】解:
根据题意,分3步进行讨论:
1、先安排甲,在6个位置中任选一个即可,有C61=6种选法;
2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中,任选一个,安排乙,有C21=2种选法;
3、将剩余的4个人,安排在其余的4个位置,有A44=24种安排方法;
则这6名同学的站队方法有6×2×24=288种;
故选:
C.
15.(2011•浙江)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机地摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
由题意知本题是一个等可能事件的概率,
试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上,共有A55=120种结果,
下分类研究同类书不相邻的排法种数
假设第一本是语文书(或数学书),第二本是数学书(或语文书)则有4×2×2×2×1=32种可能;
假设第一本是语文书(或数学书),第二本是物理书,则有4×1×2×1×1=8种可能;
假设第一本是物理书,则有1×4×2×1×1=8种可能.
∴同一科目的书都不相邻的概率P=
,
故选B.
二.选择题(共1小题)
16.(2010•鹤城区校级二模)某次活动中,有30个人排成6行5列,现要从中选出3人进行礼仪表演,要求这3人任意2人不同行也不同列,则不同的选法种数为 1200 (用数字作答).
【解答】解:
由题意知本题是一个计数原理的应用,
从5列中选择三列C53=10;
从某一列中任选一个人甲有6种结果;
从另一列中选一个与甲不同行的人乙有5种结果;
从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有4种结果
根据分步计数原理知共有10×6×5×4=1200.
故答案为:
1200.
三.选择题(共1小题)
17.(2016春•泰兴市校级月考)25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?
【解答】解:
由题意知本题是一个计数原理的应用,
从5列中选择三列C53=10;
从某一列中任选一个人甲有5种结果;
从另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果;
从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有3种结果
根据分步计数原理知共有10×5×4×3=600.
四.选择题(共3小题)
18.(2016春•邗江区校级期中)在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一格,共有 14400 种停放方法.(用数字作答)
【解答】解:
第一步先选车有
种,第二步因为每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一格,从中选取一辆车后,把这辆车所在的行列全划掉,依次进行,则有
=
种,根据分步计数原理得;
=14400种.
故答案为:
14400.
19.(2014秋•朝阳区期末)在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点,边OB上有异于顶点O的4个点,加上点O,以这11个点为顶点共可以组成 120 个三角形(用数字作答).
【解答】解:
第一类:
三角形顶点不包括O点,在OA上取两点,在OB上取一点,或者在OA上取一点,在OB上取两点,此时构成三角形的个数为
+
=96,
第二类:
三角形顶点,包括O点,在OA上取一点,在OB上取一点,此时构成三角形的个数为
=24,
根据分类计数原理,以这11个点为顶点共可以组成96+24=120个三角形
故答案为:
120.
20.(2007春•洪泽县月考)以长方体ABCD﹣A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形共面的概率是
(用数字作答).
【解答】解:
用长方体的八个顶点做三角形可做C83=56个,
从56个三角形中任取两个三角形共有C562=1540种不同的取法,
要使两个三角形共面,则两个三角形要在同一个长方体的表面或对角面上有12×C42=72,
∴P=
=
.
故答案为:
五.选择题(共3小题)
21.(2014•江北区校级模拟)由正方体的八个顶点中的任意两个所确定的所有直线中取出两条,这两条直线是异面直线的概率是
.
【解答】解:
因为从正方体的八个顶点中任取两个点共有C82=28条直线,
从中任意取出两条有C282种取法,
从八个顶点任取四个不共面的点共有C84﹣12组;
而其中每一组不共面的四点可出现3对异面直线.
∴所求的概率为P=
=
.
故答案为:
.
22.(2015春•重庆校级月考)大小形状完全相同的8张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中任意抽取6张卡片排成3行2列,则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为
.
【解答】解:
根据题意,从8张卡片中任取6张,有A86种不同的取法,
再求出“3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5”的情况数目,
依据要求,则中间行的数字只能为1,4或2,3,共有C21A22=4种排法,
然后确定其余4个数字,其排法总数为A64=360,
其中不合题意的有:
中间行数字和为5,还有一行数字和为5,有4种排法,
余下两个数字有A42=12种排法,
所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法;
由乘法原理可知满足“3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5”共有4×312=1248种不同的排法,
则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为
=
.
故答案为:
.
23.(2015春•泉州校级期末)有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排正中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 .
【解答】解:
由题意知本题是一个分类计数问题,
都在前排左面4个座位6种
都在前排右面4个座位6种
分列在中间3个的左右4×4×2=32种
在前排一共6+6+32=44种
甲乙都在后排共有
=110种
甲乙分列在前后两排
A22×12×8=192种
一共有44+110+192=346种,
故答案为:
346
六.选择题(共1小题)
24.(2011•上海)随机抽取的9位同学中,至少有2位同学在同一月份出生的概率为 0.985 (默认每个月的天数相同,结果精确到0.001)
【解答】解:
由题意知本题是一个古典概型,
试验发生包含的事件数129,
至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月,共有A129种结果,
∴要求的事件的概率是1﹣
=1﹣
≈0.985,
故答案为:
0.985
七.填空题(共2小题)
25.(2005•黑龙江)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有 192 个.
【解答】解:
六个数字组成没有重复数字的四位数共A64
由于0不能排第一位,要去掉A53
不5整除可以看做总数减去能被5整除的数当个位是0或5时,这四位数就能被5整除.当个位是0时有A53
当个位是5时有A53﹣A42
∴共有A64﹣3×A53+A42=192,
故答案为:
192.
26.(2010•南开区一模)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中能被3整除的四位数有 96 个.
【解答】解:
各位数字之和是3的倍数能被3整除,符合题意的有:
一类:
含0、3则需1、4和2、5各取1个,可组成C21C21C31A33;
二类:
含0或3中一个均不适合题意;
三类:
不含0,3,由1、2、4、5可组成A44个,
共有C21C21C31A33+A44=96个.
故答案为:
96.
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