故当a>0时,F(x)的增区间为,
减区间为.
②当a≤0时,F′(x)<0(x>0)恒成立.
故当a≤0时,F(x)在(0,+∞)上单调递减.
(2)原式等价于方程a==φ(x)在区间[,e]上有两个不等解.
∵φ′(x)=在(,)上为增函数,
在(,e)上为减函数,则φ(x)max=φ()=,
而φ(e)=<φ
(2)
===φ().
∴φ(x)min=φ(e),
如图当f(x)=g(x)
在[,e]上有两个不等解时有
φ(x)min=,
a的取值范围为≤a<.
导数与函数单调性关系不清致误
典例:
(14分)已知f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最小值和最大值.
易错分析 求函数的单调增区间就是解导数大于零的不等式,受此影响,容易认为函数f(x)的导数在区间[2,+∞)上大于零,忽视了函数的导数在[2,+∞)上个别的点处可以等于零,这样的点不影响函数的单调性.
规范解答
解
(1)由题意,知f′(x)=3x2-2ax-3,[1分]
令f′(x)≥0(x≥2),得a≤.
记t(x)=,当x≥2时,t(x)是增函数,[3分]
所以t(x)min=×=,
所以a∈.[6分]
(2)由题意,得f′(3)=0,即27-6a-3=0,所以a=4.[7分]
所以f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3.[9分]
令f′(x)=0,得x1=-,x2=3.[10分]
又因为x∈[1,4],所以x=-(舍去),故x=3.
当x∈(1,3)时,f′(x)<0,
所以f(x)在[1,3]上为减函数;[11分]
当x∈(3,4)时,f′(x)>0,
所以f(x)在[3,4]上为增函数.[12分]
所以x=3时,f(x)有极小值.
于是,当x∈[1,4]时,f(x)min=f(3)=-18,
而f
(1)=-6,f(4)=-12,所以f(x)max=f
(1)=-6.[14分]
温馨提醒
(1)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,其逆命题不成立,因为f′(x)≥0包括f′(x)>0或f′(x)=0.当f′(x)>0时函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,当f′(x)=0时f(x)在这个区间内为常函数;同理,若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f′(x)≤0,其逆命题不成立.
(2)使f′(x)=0的离散的点不影响函数的单调性.
方法与技巧
1.利用导数证明不等式,就是把不等式恒成立的问题,通过构造函数,转化为利用导数求函数最值的问题.应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求,构造出相应的函数关系式.
2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.
失误与防范
1.研究函数的有关性质,首先要求出函数的定义域.
2.利用单调性求最值时不要忽视f′(x)=0的情况.
3.“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x0取到极值”的必要条件.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
62分)
一、填空题(每小题5分,共35分)
1.函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是________.
答案 (0,1)
解析 ∵f′(x)=2x-=(x>0),
∴当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
2.函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是________.
答案 0
解析 f′(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0,则f(x)在R上是增函数,故不存在极值点.
3.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围是__________.
答案
解析 f(x)在(0,1)内有最小值,即f(x)在(0,1)内有极小值,f′(x)=3x2-6b,
由题意,得函数f′(x)的草图如图,
∴ 即
解得0
4.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为_____________________________________________.
答案 [1,8)
解析 f′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3),令f′(x)=0,得x=-1或x=3.
当x∈[-2,-1)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(-1,3)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(3,5]时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
所以函数f(x)的极小值为f(3)=-24,极大值为f(-1)=8.
而f(-2)=1,f(5)=8,函数图象大致如图所示.故要使方程g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点,只需函数f(x)在[-2,5]内的函数图象与直线y=m有3个交点,故即m∈[1,8).
5.(2012·广东)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.
答案 2x-y+1=0
解析 ∵y′=3x2-1,
∴曲线在点(1,3)处的切线斜率k=3×12-1=2.
∴该切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.
6.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是__________.
答案 [-2,-1]
解析 由题意知,点(-1,2)在函数f(x)的图象上,
故-m+n=2.①
又f′(x)=3mx2+2nx,则f′(-1)=-3,
故3m-2n=-3.②
联立①②解得:
m=1,n=3,即f(x)=x3+3x2,
令f′(x)=3x2+6x≤0,解得-2≤x≤0,
则[t,t+1]⊆[-2,0],故t≥-2且t+1≤0,
所以t∈[-2,-1].
7.函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则实数m=________.
答案 1
解析 f(x)=x3-2mx2+m2x,f′(x)=3x2-4mx+m2,
由已知f′
(1)=0,即3-4m+m2=0,解得m=1或m=3.
当m=1时,f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),
当m=3时,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),
则m=3应舍去.
二、解答题(共27分)
8.(13分)设函数f(x)=x3-x2+6x-a.
(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
解
(1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),
因为x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m,即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,所以Δ=81-12(6-m)≤0,解得m≤-,
即m的最大值为-.
(2)因为当x<1时,f′(x)>0;当1当x>2时,f′(x)>0.
所以当x=1时,f(x)取极大值f
(1)=-a;
当x=2时,f(x)取极小值,f
(2)=2-a,
故当f
(2)>0或f
(1)<0时,f(x)=0仅有一个实根.
解得a<2或a>.
9.(14分)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b为实数,且a>1)在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)-mx在区间[-2,2]上为减函数,求实数m的取值范围.
解
(1)f′(x)=3x2-3ax,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=a,∵a>1,
∴f(x)在[-1,0]上为增函数,在[0,1]上为减函数.
∴f(0)=b=1,
∵f(-1)=-a,f
(1)=2-a,∴f(-1)(1),
∴f(-1)=-a=-2,a=.∴f(x)=x3-2x2+1.
(2)g(x)=x3-2x2-mx+1,g′(x)=3x2-4x-m.
由g(x)在[-2,2]上为减函数,
知g′(x)≤0在x∈[-2,2]上恒成立.
∴,即∴m≥20.
∴实数m的取值范围是m≥20.
B组 专项能力提升
(时间:
35分钟,满分:
58分)
一、填空题(每小题5分,共30分)
1.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为__________________.
答案 (-∞,-3]∪[-,+∞)
解析 f′(x)=x2+2ax+5,当f(x)在[1,3]上单调递减时,由得a≤-3;
当f(x)在[1,3]上单调递增时,f′(x)≥0恒成立,则有Δ=4a2-4×5≤0或或
得a∈[-,+∞).
综上a的取值范围为(-∞,-3]∪[-,+∞).
2.若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有______个根.
答案 1
解析 设f(x)=x3-ax2+1,则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),因为a>2,所以2a>4,所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0,则f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f
(2)=1×=-4a<0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有1个根.
3.(2011·湖南改编)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为________.
答案
解析 由题意画出函数图象如图所示,由图可以看出|MN|=y=t2-lnt(t>0).
y′=2t-==.
当0当t>时,y′>0,可知y在此区间内单调递增.
故当t=时,|MN|有最小值.
4.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是__________.
答案 (-4,0)
解析 由题意知使函数f(x)=x3-3x2-a的极大值大于0且极小值小于0即可,又f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0,得x1=0,x2=2,当x<0时,f′(x)>0;当02时,f′(x)>0,所以当x=0时,f(x)取得极大值,即f(x)极大值=f(0)=-a;当x=2时,f(x)取得极小值,即f(x)极小值=f
(2)=-4-a,
所以解得-45.如果在上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=+在同一点处取得相同的最小值,那么f(x)在上的最大值是________.
答案 4
解析 ∵g(x)=+且x∈,则g(x)≥3,
当且仅当x=1时,g(x)=3.又f′(x)=2x+p,
∴f′
(1)=0,即2+p=0,得p=-2,
∴f(x)=x2-2x+q,又f(x)min=f
(1)=3,
∴1-2+q=3,∴q=4,
∴f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,x∈,
∴f(x)max=f
(2)=4.
6.已知函数f(x)的导数f′(x)=2x-9,且f(0)的值为整数,当x∈(n,n+1](n∈N*)时,f(x)的值为整数的个数有且只有1个,则n=________.
答案 4
解析 ∵f′(x)=2x-9,∴f(x)=x2-9x+c,
∵f(0)=c为整数,∴c∈Z,又f
(1)=-8+c,f
(2)=-14+c,f
(2)-f
(1)=-6,可见在f
(1)到f
(2)之间并非有且只有一个整数;同样在f
(2)到f(3)之间、f(3)到f(4)之间也并非有且只有一个整数;而f(4)=-20+c,f(5)=-20+c,故在f(4)到f(5)之间有且只有一个整数.因为x∈(n,n+1](n∈N*),x≠n,所以在x=5时取得的整数为f(5)=-20+c,故n=4.
二、解答题(共28分)
7.(14分)(2012·安徽)设函数f(x)=aex++b(a>0).
(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;
(2)设曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
解
(1)f′(x)=aex-,
当f′(x)>0,即x>-lna时,f(x)在(-lna,+∞)上递增;
当f′(x)<0,即x<-lna时,f(x)在(-∞,-lna)