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离散数学7习题解答
第7章习题解答
7.1
(1),
(2),(3),(5)都能构成无向图的度数列,其中除⑸外又都能构成无向简单图的度数列.
n
分析1°非负整数列d!
d2,…,dn能构成无向图的度数列当且仅当di为
i4
偶数,即d!
d2,…,dn中的奇数为偶数个.
(1),
(2),(3),(5)中分别有4个,0个,4
个,4个奇数,所以,它们都能构成无向图的度数列,当然,所对应的无向图很可能是非简单图.而⑷中有3个奇数,因而它不能构成无向图度数列.否则就违背了握手定理的推论.
2°(5)虽然能构成无向图的度数列,但不能构成无向简单度数列.否则,若存在无向简单图G,以1,3,3,3为度数列,不妨设G中顶点为v!
v2,v3,v4,且
d(Vi)=1,于是d(V2)=d(V3)=d(V4)=3.而V!
只能与v?
""之一相邻,设w与v?
相邻,这样一来,除V2能达到3度外,V3,V4都达不到3度,这是矛盾的.
在图7.5所示的4个图中,
(1)以1为度数列,
(2)以2为度数列,(3)以3为度数列,(4)以4为度数列(非简单图).
7.2设有几简单图D以2,2,3,3为度数列,对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4,由
于d(v)二d(v)d_(v),所示,d(vj-d-(y)=2-0=2,d(V2)=d(V2)-d“2)
=2—0=2,d(vj=d(Vs)_d—(V3)=3_2=1,d(V4)=d(Vq)_d^v。
)=3_3=0
由此可知,D的出度列为2,2,1,0,且满足add-(Vi).请读者画出
一个有向图•以2,2,3,3为度数列,且以0,0,2,3为入度列,以2,2,1,0为出度列.
7.3D的入度列不可能为1,1,1,1.否则,必有出度列为2,2,2,2(因为d(v)=d(v)d~(v)),)此时,入度列元素之和为4,不等于出度列元素之和8,这违背握手定理.类似地讨论可知,1,1,1,1也不能为D的出席列.
7.4不能.N阶无向简单图的最大度厶_n一1.而这里的n个正整数彼此不同因而这n个数不能构成无向简单图的度数列,否则所得图的最大度大于n,这与最大度应该小于等于n-1矛盾.
7.5
(1)16个顶点.图中边数m=16,设图中的顶点数为n.根据握手定理可
n
知2m=32二'd(vj=2n
i4
所以,n=16.
(2)13个顶点.图中边数m=21,设3度顶点个数为x,由握手定理有
2m=42=343x
由此方程解出x=10.于是图中顶点数n=310=13.
(3)由握手定理及各顶点度数均相同,寻找方程
224=nk
的非负整数解,这里不会出现n,k均为奇数的情况.其中n为阶级,即顶点数,k为度数共可得到下面10种情况.
1个顶点,度数为48.此图一定是由一个顶点的24个环构成,当然为非简单
22个顶点,每个顶点的度数均为
非简单图.
33个顶点,每个顶点的度数均为
44个顶点,每个顶点的度数均为
56个顶点,每个顶点的度数均为
24.这样的图有多种非同构的情况,一定为
16.所地应的图也都是非简单图.
12.所对应的图也都是非简单图.
8,所对应的图也都是非简单图.
6个顶点,每个顶点的度数均为6.所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图.
712个顶点,每个顶点的度数均为4.所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图•
816个顶点,每个顶点的度数均为3,所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图•
924个顶点,每个顶点的度数均为2.所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图•
1048个顶点,每个顶点的度数均为1,所对应的图是唯一的,即由24个K2构成的简单图•
分析由于n阶无向简单图G中,:
(G) 7.6设G为n阶图,由握手定理可知 n 70=235八d(vj_3n, i吕 所以, |70 =23. 这里,乂为不大于x的最大整数,例如.2」=2,25」=2,空=23. .3一 7.7由于: (G)=n-1,说明G中任何顶点v的度数d(v)八(G)=n-1,可是 由于G为简单图,因而列G)乞n-1,这又使得d(v)岂n-1,于是d(v)二n-1,也就是说,G中每个顶点的度数都是n-1,因而应有"G)乞n-1.于是G为(n-1)阶正则图,即G为n阶完全图Kn. 7.8由G的补图G的定义可知,GG为Kn,由于n为奇数,所以,Kn中各 项顶点的度数n-1为偶数.对于任意的V(G),应有vV(G),且 dG(v)_dG(v)二dg(v)二n-1 其中dG(v)表示v在G中的度数,dG(v)表示v在G中的度数.由于n_1为偶数,所以,dG(v)与dG(v)同为奇数或同为偶数,因而若G有r个奇度顶点,则G也有r个奇度顶点. 7.9由于D'D,所以,m'空m.而n阶有向简单图中,边数m乞n(n一1),所以,应有 n(n_1)=m\m乞n(n-d) 这就导致m=n(n-1),这说明D为n阶完全图,且D'=D. 7.10图7.6给出了K4的18个非同构的子图,其中有11个生成子图(8-18),其中连通的有6个11,12,13,14,16,17).图7.6中,n,m分别为顶点数和边数. 7.11K4有11个生成子图,在图7.6中,它们分别如图8-18所示.要判断它们之中哪些是自补图,首先要知道同构图的性质,设G1与G2的顶点数和边数.若G1三G? 贝U门丄=门2「且m . * Q 2 3 1 4 6 J ① 0 2 © OD 0 -一 3 Q 0O a &■——G © 乙 O A 4 生 于 © ◎Q 1: © ◎4Y O*1・ © n □ © © L © 国7,6 (8)的补图为(14)-K4,它们的边数不同,所以,不可能同构.因而(8)与(14)均不是自补图类似地,(9)的补图为(13),它们也非同构,因而它们也都不是自补图.(10)与(12)互为补图,它们非同构,因而它们都不是自补图.(15)与(17)互为补图,它们非同构,所以,它们都不是自补图•类似地,(16)与(18)互为补图且非同构,所以,它们也都不是自补图• 而(11)与自己的补图同构,所以,(11)是自补图• 7.123阶有向完全图共有20个非同构的子图,见图7.7所示,其中⑸-(20) 为生成子图,生成子图中(8),(13),(16),(19)均为自补图. 分析在图7.7所示的生成子图中,(5)与(11)互为补图,(6)与(10)互为补图,(7)与(9)互为补图,(12)与(14)互为补图,(15)与(17)互为补图,(18)与(20)互为补图,以上互为补图的两个图边数均不相同,所以,它们都不是自补图.而 (8),(13),(16),(19)4个图都与自己的补图同构,所以,它们都是自补图. 7.13不能. 分析在同构的意义下,G,G2,G3都中K4的子图,而且都是成子图.而K4的 两条边的生成子图中,只有两个是非同构的,见图7.6中(10)与(15)所示.由鸽巢原理可知,G,G2,G3中至少有两个是同构的,因而它们不可能彼此都非同构. 鸽巢原理m只鸽飞进n个鸽巢,其中m一n,则至少存在一巢飞入至少[凹]只 n 鸽子.这里x表示不小于x的最小整数.例如,|2=2,|2.5=3. 7.14G是唯一的,即使G是简单图也不唯一. 1 2 3 | 4 5 1 Q 2 0■ OO o_ © 生 子田 ©0 匕 込 込 匕 込 陡 ©n 込 阻7.7 分析由握手定理可知2m=3n,又由给的条件得联立议程组 '2m=3n、2n—3=m. 解出n=6,m二9.6个顶点,9条边,每个顶点的度数都是3的图有多种非同构 的情况,其中有多个非简单图(带平行边或环),有两个非同构的简单图,在图7.8中 (1), (2)给出了这两个非同构的简单图. 满足条件的非同构的简单图只有图7.8 中, (1), (2)所示的图, (1)与⑵所示的图, (1)与 (2)是非同构的. 注意在⑴中不存在3个彼此相邻的顶点而在⑵中存在3个彼此相邻的顶点,因而⑴图与 (2)图非同构.下面分析满足条件的简单图只有两个是非同构的.首先注意到 (1)中与 (2)中图都是K6的生成子图,并且还有这样 的事实,设G,G2都是n阶简单图,则G^G2当且仅当G^eG2,其中G,G2分别 为G与G2的补图.满足要求的简单图都是6阶9条边的3正则图,因而它们的补图都为6阶6条边的2正则图(即每个顶点度数都是2).而K6的所有生成子图中,6条边2正则的非同构的图只有两个,见图7.8中(3),(4)所示的图,其中(3)为 (1)的补图,(4)为 (2)的补图,满足要求的非同构的简单图只有两个. 但满足要求的非同简单图有多个非同构的,读者可自己画出多个来. 7.15将K6的顶点标定顺序,讨论X所关联的边.由鸽巢原理(见7.13题), 与V1关联的5条边中至少有3条边颜色相同,不妨设存在3条红色边,见图7.9中⑴所示(用实线表示红色的边)并设它们关联另外3个顶点分别为V2,v4,V6.若 V2,V4,V6构成的Kg中还有红色边,比如边(V2M)为红色,则Vj^M构成的Kg为 红色K3,见图7.9中⑵所示.若V2,V4,V6构成的K3各边都是蓝色(用虚线表示),则V2,V4,V6构成的Ka为蓝色的. 珂 7.16在图7.10所示的3个图中, (1)为强连通图, (2)为单向连通图,但不是强连通的,(3)是弱连通的,不是单向连通的,更不是强连通的. 图7.10 分析在⑴中任何两个顶点之间都有通路,即任何两个顶点都是相互可达的,因而它是强连能的. (2)中c不可达任何顶点,因而它不是强连通的,但任两个顶点存在一个顶点可达另外一个顶点,所以,它是单向可达的.(3)中a,c互相均 不可达,因而它不是单向连通的,更不是强连通的. 判断有向图的连通性有下面的两个判别法. 1°有向图D是强连通的当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路. 2°有向图D是单向连通的当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路. (1)中abcda为经过每个顶点一次的回路,所以,它是强连能的. (2)中abdc为经过每个顶点的通路,所以,它是单向连通的,但没有经过每个顶点的回路,所以,它不是强连通的.(3)中无经过每个顶点的回路,也无经过每个顶点的通路,所以,它只能是弱连通的. 7.17G-E'的连通分支一定为2,而G-V'的连通分支数是不确定的. 分析设E'为连通图G的边割集,则G-E'的连通分支数p(G-E')二2,不可能大于2.否则,比如p(G-E')=3,则G-E'由3个小图G「G2,G3组成,且E'中边的两个端点分属于两个不同的小图.设E"中的边的两个端点一个在G中,另一个 在G2中,则e"e',易知p(G一E")=2,这与E'为边割集矛盾,所以,p(G一E")=2. 但p(G-V')不是定数,当然它大于等于2,在图7.11中,V二{u,v}为⑴的点 割集,p(G-V)=2,其中 G为 (1)中图.V={v}为⑵中图的点割集,且v为割 tini 点,p(G-V)=4,其中G为⑵中图. 屛1 ;■ <]> £7.11 (2) 7.18解此题,只要求出D的邻接矩阵的前4次幕即可. 0110 1000A= 0101 .0000一 A2 A3 A4 ~1 101 110 001 001 21 1 D中长度为4的通路数为A4中元素之和,等于15,其中对角线上元素之和为3,即D中长度为3的回路数为3.V3到V4的长度为4的通路数等于a34)=2. 分析用邻接矩阵的幕求有向图D中的通路数和回路数应该注意以下几点: 1°这里所谈通路或回路是定义意义下的,不是同构意义下的.比如,不同始点(终点)的回路 2°这里的通路或回路不但有初级的、简单的,还有复杂的.例如,V1,V2,w,V2,V1是一条长为4的复杂回路. 3°回路仍然看成是通路的特殊情况. 读者可利用A2,A3,求D中长度为2和3的通路和回路数. 7.19答案A: ④. 分析G中有Nk个k度顶点,有(n—NQ个(k1)度顶点,由握手定理可知 n 、d(Vj)=kNk(k1)(n-Nk)=2m i4 =Nk=n(k1)-2n. 7.20答案A: ②;B: ③. 分析在图7.12中,图 (1)与它的补同构,再没有与图 (1)非同构的自补图了所以非同构的无向的4阶自补图只有1个.图⑵与它的补同构,图⑶与它的补也同构,而图⑵与图⑶不同构,再没有与 (2),(3)非同构的自补图了,所以,非同械的5阶自补图有2个. <1)(Z)⑶ 圉7.12 7.21答案A: ④;B: ③;C: ④;D: ①. 分析 (1)中存在经过每个顶点的回路,如adcba.. (2)中存在经过每个顶点的通路,但无回路.(3)中无经过每个顶点至少一次的通路,其实,b,d两个顶点互不可达.(4)中有经过每个顶点至少一次的通路,但无回路,aedcbd为经过每个顶点的通路.(5)中存在经过每个顶点至少一次的回路,如aedbcdba.(6)中也存在经过每个顶点的回路,如baebdcb.由7.16题可知, (1),(5),(6)是强连通的, (1), (2),(4),(5),(6)是单向连能的, (2),(4)是非强连通的单向连通图.注意, 强连通图必为单向连通图.6个图中,只有(3)既不是强连通的,也不是连通的,它只是弱连通图. 在⑶中,从a到b无通路,所以d,: : : a,b「: 而b到a有唯一的通路ba,所以 db,a=1. 7.22答案A: ①;B: ⑥㈩C: ②;D: ④. 分析用Dijkstra标号法,将计算机结果列在表7.1中.表中第x列最后标定 y/Z表示b到x的最短路径的权为y,且在b到x的最短路径上,Z邻接到x,即x的前驱元为Z.由表7.1可知,a的前驱元为c(即a邻接到c),c的前驱元为b,所以,b到a的最短路径为bca,其权为4.类似地计论可知,b到c的最短路径为be,其权为1.b到d的最短路径为bcegd,其权为9.b到e的最短路径为bee,其 权为7. 表7.1 顶点 〔a b c d e f g 0 7 0 1 QO QO QO QO 1 4 肌 CO 5 4 OO 2 4/c 12 5 4 QO 3 12 5 4/c 11 4 12 5/c 7 5 9 凶e 6 9/g 4 0 1 9 5 4 7 7.23答案A: ⑧;B: ⑩C: ③;D: ③和④. 分析按求最早、最晚完成时间的公式,先求各顶点的最早完成时间,再求 最晚完成时间,最后求缓冲时间 (1)最早完成时间: TE(vJ=0 -_(V2)二{vM, TE(v2)=max{03}=3 -_(V3)二{vz}, TE(v3)=max{02,3C}-3 厂(vj二{wm},TE(vJ=max{04,32}=5 -(V5)二Mm},TE(V5)=max{34,34}-7 -一山)={V4,V5}, TE(v7)=max{55,100}=10 (V8)={V6,V7}, TE(v8)=max{73,101}=11 -讥)二{V5,V8}, TE(v9)=max{76,111}=13 -_(V6)二“他}, TE(v6)=max{34,70}=7 (2)最晚完成时间: TL(V9)=13 -(V8)二{V9}, TL(v8)=min{13_1}=12; -(V6)={V8}, TL(v6)=min{12-3=9; -(V7)二g}, TL(v7)=min{12—1}=11; -(V5)={V6,V9}, TL(v5)=min{9-0,13-6}=7; : (V4)*7}, TL(V4)=min{11-5=6; -(V3)二{V4,V5,V6}, TL(v3)=min{6-2.7-4.9-4二5; (v2)={v3,V5}, TL(v2)=min{3-0.7-4}=3; ;(vj={V2,V3,V4}, TL(vJ=min{3—3.3—2,6—'4}=0; (3)缓冲时间: TS(Vi)二TS(V2)=TS(V3)=TS(V5)=TS(V9)=0TS(V4)=1,TS(V6)=2,TS(V7)=TS(V8)=1. (4)关键路径有两条: V1,V2,V5,V9和V1,V2,V3,V5,V9.
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